第二节 二重积分的计算法
教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法
教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容：
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.
讨论中,我们假定
；
假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续.
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面
为顶的曲顶柱体的体积.
f x y d D
(,)σ⎰⎰
f x y (,)≥0D a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()ϕ1()x ϕ2()x [,]a b f x y d D
(,)σ⎰⎰
D z f x y =(,)
在区间上任意取定一个点,作平行于
面的平面,这平
面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得
截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
(1) 上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.
这个先对
, 后对的二次积分也常记作
[,]a b x 0yoz x x =0[(),()]ϕϕ1020x x z f x y =(,)0A x f x y dy x x ()(,)()()
0010
20=
⎰ϕϕ
[,]a b x yoz A x f x y dy x x ()(,)()()=
⎰ϕϕ1
2V A x a dx f x y dy dx b
x x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()
ϕϕ
12dx dy y x f d y x f b
a x x D
⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσx ),(y x f y ),(y x f )(1x ϕ)(2x ϕx x a b y x
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的.
例如:计算
解:
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,
在上连续,则
(2)
显然,(2)式是先对,后对
的二次积分.
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I 型(或II 型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点.
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集.
f x y d dx f x y dy D
a
b
x x (,)(,)()
()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=120),(≥y x f ),(y x f D I x d D x y x y D
=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022
σ[]dx y x dy x dx I 2
1
1
2
2
02
1
1
)1()1(⎰⎰⎰---=
-=38322)1(21
131
1
2
=-=-=--⎰x x dx x D c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12φ1()y φ2()y [,]c d f x y (,)D f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d
c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤
⎦⎥⎥=121
2x y y x
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二
次积分限的方法
-- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与
区域的边界有两个交点与,这里的、
就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,
所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.
例1
计算
,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
类似地,
D ],[b a x x y D D ))(,(1x x ϕ))(,(2x x ϕ)(1x ϕ)(2x ϕx y x [,]a b x x a b 322x y d D
⎰⎰σD x y y x =-1
2D y x y :,0101≤≤≤≤-[]
==-
⎰⎰-x y dy y y dy y
32
1
13
2
20
1
1()33220
1
220
1x y d dy x y dx D
y ⎰⎰⎰⎰
=-σ
