二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定

摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.

关键词:二重积分累次积分积分限积分次序

引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。

1．高等数学中计算二重积分的方法

在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。

(1)画出积分区域

(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将

积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.

(3)用公式化二重积分为累次积分.

(4)计算累次积分的值.

在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.

2．教学过程中总结的方法

本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限.

3．例题解析

例1 计算⎰⎰

D xydxdy,其中D是由直线x

y

y

x=

=

=,1

,2所围成的区域.

解:作出积分区域D的图形

x

在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选择先对

先定下的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x ,

来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其

左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:

8

11)81()212(21422

1

221

2=-=-

==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy D

y

若我们选择先对y 积分也是可以的。先把后积分的变量x 的积分限根据积分区域

确定下来。从积分区域图易见x 最小取到1最大取到2。然后在1=x 和2=x 内画一条和这两条直线平行的直线，只要这条线画在1=x 和2=x 内，则其下边总是和

1=y 相交，而上面总是x y =相交。从而y 这个积分变量的下限为1上限为x 。于

是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算：

81

148

)22(2

1242

1

1

2

1

3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰⎰

⎰⎰

x x dx x x ydy xdx xydxdy D

x 例2 计算

⎰⎰D

xydxdy ，其中D 是由抛物线x y

=2

和直线2-=x y 所围成的区域。

解 首先作出积分区域图

x

在本题中若我们选择先对x 积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该二重积分化为二次积分为：

⎰⎰⎰⎰

⎰--+=-+==21522

1

2

5

5])2([12

dy y y y xdx ydy xydxdy D

y y

在本题中若我们选择先对y 积分，则根据积分区域图我们先把x 的上下限定下来，由图可见x 最小取到0 最大取到4 。但在0=x 和4=x 这两条直线之间画和他们平行的直线的时候发现在1=x 这条直线的左右两侧情况有所不同：在1=x 的左侧所画直线上下均与抛物线x y =2

相交，而右侧所画直线下面是与直线

2-=x y 相交上面是与抛物线相交。从而本题若选择先对y 后对x 积分则需要将

积分区域从直线1=x 处分割成两半来处理：

⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰--+=D

x

x

x

x ydy xdx ydy xdx xydxdy 41

2

10

显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般

来讲我们会选择先对x 后对y 积分。还有的情况恰与这种情况相反，那么我们为了简便起见一般会选择先对y 后对x 积分。比如： 例3：计算

⎰⎰D

xydxdy ，其中D 解 首先作出积分区域图

在本题中若我们仍然选择先对x 积分，则根据积分区域图易知：积分变量y 的最小取到0最大取到4。但是在40＝和y y =这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线1=y 的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同：在直线1=y 的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。在直线1=y 的上侧，所画直线左端与直线相交右端与抛物线相交。于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线1=y 分割成两块来处理：

⎰

⎰⎰

⎰⎰-+=410

y

y

y

D

xdx ydy xdx ydy xydxdy

下面我们选择先对y 积分看是否可以起到简化计算的效果：

从积分区域图可以看到积分变量x 最小取到-1最大取到2，在直线1-=x 和

2=x 之间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线2+=x y 相交下端总是

与抛物线2

x y =相交，从而二重积分化为累次积分如下：

2

1

6234215232

2

1

612344121)44(212

--+-⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-++=-++==⎰⎰⎰⎰⎰

x x x x dx x x x x ydy xdx xydxdy x x

D