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数学思想与方法整理全网最全资料，一抄在手所向无敌一、填空题1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表着作是古希腊欧几里得（《几何原本》）3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显着特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。
18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
谈谈我对我国小学数学教育的看法九年义务教育改革的核心是实施素质教育，数学作为一门基础自然学科，如何实施素质教育这正是当前广大数学教师非常关注的新课题。
实施素质教育是我国社会主义现代化建设和迎接国际竞争的迫切需要。
我们要在21世纪激烈的国际竞争中处于战略主动地位，就必须优先发展教育，必须实施素质教育，唯有如此才能实现发展教育的根本任务，提高全民整体索质，从而实现社会的快速发展。
素质教育关系着一个国家和民族的未来。
小学是义务教育的奠基工程，而小学数学则是基础教育的一门重要学科。
如何在小学数学教学中全面贯彻落实素质教育，发挥整体育人功能，这是每位教育工作者都应认真思考的问题。
本文就小学数学素质教育谈几点认识。
一、学习素质理论，统一思想认识由于我国的基础教育在“应试教育”的轨道上运行多年，人们在思想观念、政策导向、管理体制乃至教育的内容与方法等诸多方面，都形成了一整套固定的模式，因此，要实现从应试教育向素质教育的转轨，决非轻而易举的事。
随着社会的进步和发展，以及教育体制持续不断的改进，大家认识到素质教育是一种旨在谋求学生身心发展的教育，是一种承认差异，重视个性的教育，是确认学生主体，从学生个体实际出发的教育，是一种根据社会需要，给学生的素质发展以价值导向与限定的教育，同时又是一种重知识，又不唯知识，以提高民族素质为最终目的的教育。
二、素质教育是数学教学改革的主旋律围绕素质教育的实施这一主题，数学教学改革应重视如下几个方面：1．重视非智力因素，培养学生的个性品质。
一般来说，非智力因素可以转化学习动机，成为学生学习的内驱力；还可以对学生的学习起到调节、强化作用。
智力和非智力因素是学生统一的心理活动过程和不同方面，认知过程是这两方面综合作用的结果。
我们着眼于学生的素质培养，不仅能使非智力因素对智能发展起到调节、促进作用，更重要的把促进学生非智力因素的发展本身看成是数学教学的一项重要目标，发展学生的个性品质。
2．重视学法指导，培养学习能力。
国开电大数学思想与方法案例分析参考答案二元一次方程组的应用》各环节配题一、提出问题，导入新课问题1：解二元一次方程组。
问题2：母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄的3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。
由题意得26+x=3x。
解法二：设母亲的年龄为x岁。
由题意得x=3（x－26）。
二、精选讲例，探求新知例：某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。
已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练：小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
三、变式训练，激活学生思维问题1：小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。
问题2：已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。
小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。
四、课堂练，巩固新知1.A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时后相遇。
若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。
2.某班借来一批图书，分借给同学阅览，如果每人借6本，那么会有一个同学没书可借，如果每人借5本，那么还剩5本书没人借，问该班有多少人，有多少书。
五、拓展1.变题训练问题2中，若学校要购买A、B、C3种型号的电脑，有如何安排？2.某中学新建一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进、出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
电大形考三1：《数学思想与方法》案例分析理论应用答案本案例分析主要涉及数学思想与方法的理论应用。
以下是对案例的分析和解答。
案例一问题一答：根据题意，我们可以通过以下步骤来解决问题：1. 确定要计算的商品价格：根据题目给出的信息，商品价格为300元。
2. 计算原价的折扣：根据题目给出的信息，原价折扣为8折，即80%。
所以我们将原价乘以80%即可得到折扣后的价格。
计算公式：折扣后价格 = 原价 * 折扣计算结果：折扣后价格 = 300 * 0.8 = 240元3. 计算实际支付的价格：根据题目给出的信息，还需支付运费20元。
所以我们将折扣后的价格加上运费即可得到实际支付的价格。
计算公式：实际支付价格 = 折扣后价格 + 运费计算结果：实际支付价格 = 240 + 20 = 260元所以，该商品的实际支付价格为260元。
问题二答：根据题意，我们可以通过以下步骤来解决问题：1. 确定要计算的商品价格：根据题目给出的信息，商品价格为400元。
2. 计算原价的折扣：根据题目给出的信息，原价折扣为75%，即0.75。
所以我们将原价乘以0.75即可得到折扣后的价格。
计算公式：折扣后价格 = 原价 * 折扣计算结果：折扣后价格 = 400 * 0.75 = 300元3. 计算实际支付的价格：根据题目给出的信息，还需支付运费25元。
所以我们将折扣后的价格加上运费即可得到实际支付的价格。
计算公式：实际支付价格 = 折扣后价格 + 运费计算结果：实际支付价格 = 300 + 25 = 325元所以，该商品的实际支付价格为325元。
案例二问题一答：根据题意，我们可以通过以下步骤来解决问题：1. 确定要计算的商品价格：根据题目给出的信息，商品价格为1000元。
2. 计算原价的折扣：根据题目给出的信息，原价折扣为9折，即90%。
所以我们将原价乘以90%即可得到折扣后的价格。
计算公式：折扣后价格 = 原价 * 折扣计算结果：折扣后价格 = 1000 * 0.9 = 900元3. 计算实际支付的价格：根据题目给出的信息，还需支付运费50元。
一、简答题1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。
解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。
2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。
解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。
决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。
因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。
在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。
用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。
但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。
同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。
这些是确定数学的局限所在。
二、论述题1. 论述社会科学数学化的主要原因。
解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
数学思想方法练习题答案一、选择题1. 以下哪个是数学中的归纳推理？A. 观察个别事实，得出一般结论B. 从一般到特殊C. 通过实验得出结论D. 通过类比得出结论答案：A2. 演绎推理的典型例子是：A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 黄金分割答案：B3. 以下哪个是数学中的类比推理？A. 从已知数列推导出未知数列的规律B. 从已知函数推导出未知函数的性质C. 从已知图形推导出未知图形的性质D. 所有以上选项答案：D二、填空题1. 数学中的反证法是一种________推理方法。
答案：间接2. 归纳推理的基本步骤包括：观察、________、概括。
答案：归纳3. 演绎推理的三段论包括：大前提、小前提和________。
答案：结论三、简答题1. 请简述数学中的归纳推理和演绎推理的区别。
答案：归纳推理是从个别事实出发，通过观察和实验，总结出一般性的结论。
而演绎推理则是从已知的一般性结论出发，通过逻辑推理得出特殊性的结论。
归纳推理是“从特殊到一般”，演绎推理是“从一般到特殊”。
2. 举例说明数学中的类比推理。
答案：类比推理是通过比较两个或多个对象的相似性，推断它们在其他属性上也可能相似。
例如，在几何学中，通过比较相似三角形的性质，我们可以推断出未知三角形的一些性质。
四、应用题1. 已知数列 1, 4, 9, 16, ... 请使用归纳推理找出数列的通项公式。
答案：观察数列可以发现，每一项都是其项数的平方。
因此，数列的通项公式为 \( a_n = n^2 \)。
2. 使用反证法证明：如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
答案：假设存在一个内角和不等于180度的三角形ABC，根据欧几里得几何的公理，任意三角形的内角和必须等于180度。
这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
五、论述题1. 论述数学中的数学思维方法在解决实际问题中的应用。
谈谈我对我国小学数学教育的看法九年义务教育改革的核心是实施素质教育，数学作为一门基础自然学科，如何实施素质教育这正是当前广大数学教师非常关注的新课题。
实施素质教育是我国社会主义现代化建设和迎接国际竞争的迫切需要。
我们要在21世纪激烈的国际竞争中处于战略主动地位，就必须优先发展教育，必须实施素质教育，唯有如此才能实现发展教育的根本任务，提高全民整体索质，从而实现社会的快速发展。
素质教育关系着一个国家和民族的未来。
小学是义务教育的奠基工程，而小学数学则是基础教育的一门重要学科。
如何在小学数学教学中全面贯彻落实素质教育，发挥整体育人功能，这是每位教育工作者都应认真思考的问题。
本文就小学数学素质教育谈几点认识。
一、学习素质理论，统一思想认识由于我国的基础教育在“应试教育”的轨道上运行多年，人们在思想观念、政策导向、管理体制乃至教育的内容与方法等诸多方面，都形成了一整套固定的模式，因此，要实现从应试教育向素质教育的转轨，决非轻而易举的事。
随着社会的进步和发展，以及教育体制持续不断的改进，大家认识到素质教育是一种旨在谋求学生身心发展的教育，是一种承认差异，重视个性的教育，是确认学生主体，从学生个体实际出发的教育，是一种根据社会需要，给学生的素质发展以价值导向与限定的教育，同时又是一种重知识，又不唯知识，以提高民族素质为最终目的的教育。
二、素质教育是数学教学改革的主旋律围绕素质教育的实施这一主题，数学教学改革应重视如下几个方面：1．重视非智力因素，培养学生的个性品质。
一般来说，非智力因素可以转化学习动机，成为学生学习的内驱力；还可以对学生的学习起到调节、强化作用。
智力和非智力因素是学生统一的心理活动过程和不同方面，认知过程是这两方面综合作用的结果。
我们着眼于学生的素质培养，不仅能使非智力因素对智能发展起到调节、促进作用，更重要的把促进学生非智力因素的发展本身看成是数学教学的一项重要目标，发展学生的个性品质。
2．重视学法指导，培养学习能力。
案例描述：探索分数的基本性质1、教学例1。
师：同学们，咱们已经认识了分数！这儿有几幅图，请你用分数表示涂色部分！师：结合图形判断，这四个分数你能把它分分类吗？生：==放一类师：到底等不等？我们来进行比较。
教师演示。
2、教学例2。
师（指示）：观察这三个分数，它们的分母一样吗？分子呢？但大小？猜一猜，其他分数是不是也有这样的特点呢？咱们不妨借助操作来寻找答案！请同学们拿出这张正方形纸。
出示操作要求（略）学生操作，教师巡视（指导学生用对折的方法和变化的规律）。
师：同桌相互交流交流。
学生交流。
师：谁来说说，你折出了哪些与相等的分数？还有吗？生：，，，……教师板书学生找出的分数。
师：同学们，这些分数与相等吗？都同意？你们是这样得来的吗？师：谢谢你！这个分数呢？只要对折几次就可以了？它与相等吗？生：对折；相等。
师：这个分数是谁找到的？你是折出来的吗？那是怎样得来的？生：不是；我是按照他们的变化规律推出来的。
3、总结规律。
师：这是咱们从左往右看的，反过来，你发现了什么？合起来怎么说？生：……补充板书：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。
师：请同学们把规律自由读一读。
学生读。
师：好了！同学们，对咱们来说，得出这样的规律其实并不难！而难就难在需要推敲这句话是否科学，有没有问题！在读的过程中，对这个规律你有疑问吗？（这句话中哪个词最可能有问题？）生：……师：是呀！0是一个不可忽视的数！你觉得这个数能为0吗？为什么？生：不能！因为0不能作除数，而且把分子和分母同时乘0后，分母就是0了。
师：言之有理！所以，这句话还得加上——生：0除外。
师：（板书课题）这个规律就是我们今天这节课所研究的分数的基本性质。
师：这个规律你觉得哪些地方要提醒大家？（重要的地方重读）评析：1、体现学生主体地位，彰显教师主导作用《数学课程标准》指出：“学生是学习数学的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”这就要求我们在教学活动中应该为学生提供大量数学活动的机会，让学生去探索、交流、发现，从而真正落实学生的主体地位。
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
2.设x 是一个自然数．若一串自然数x 0＝1，x 1，x 2，…，x t －1，x t ＝x ，满足x i －1＜x i ，x i －1|x i ，i ＝1，2，…，t ．则称{x 0，x 1，x 2，…x t }为x 的一条因子链，t 为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x ＝5k ×31m ×1990n (k ，m ，n 是自然数)试求T(x)与R(x)．3.确定所有正整数n ，使方程x n ＋(2＋x)n ＋(2－x)n ＝0有整数解．4.(本小题满分12分) 设b a x x f ,,lg )(=为实数，且b a <<0．（1）求方程1)(=x f 的解；（2）若a ，b 满足f(a)=f(b)，求证：①1=⋅b a ；②12>+ba 5.已知331)(+=x x f ，分别求)1()0(f f +，)2()1(f f +-，)3()2(f f +-，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论。
6.课间休息时，n 个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学生们发糖：他选择一个学生并给一块糖，隔一个学生给下一个学生一块，再隔2个学生给下一个学生一块，再隔3个学生给下一个学生一块…．试确定n 的值，使最后(也许绕许多圈)所有学生每人至少有一块糖．7.设p ＝(a 1，a 2，…，a 17)是1，2，…，17的任一排列，令k p 是满足不等式a 1＋a 2＋…＋a k ＜a k ＋1＋…＋a 17的最大下标k ，求k p 的最大值和最小值，并求所有不同的排列p 相应的k p 的和．8.对正整数n ≣1的一个划分π，是指将n 分成一个或若干个正整数之和，且按非减顺序排列(如n ＝4，划分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5种)．对任一划分π，定义A(π)为划分π中数1出现的个数；B(π)为π中出现不同的数的个数(如对n ＝13的一个划分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A(π)＝2，B(π)＝3)．求证：对任意正整数n ，其所有划分π的A(π)之和等于B(π)之和． 9.证明：若则为整数．10.8分和15分的邮票可以无限制地取用．某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成．求不能凑成的最大额数n ，即大于n 的额数都能够凑成，并证明你的答案．试卷答案1.解析：（I ）f(x)=－x 2+8x=－(x －4)2+16,当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t ，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t 2+6t+7;当t ≢4≢t+1时,即3≢t ≢4时，h(t)=f(4)=16; 当t>4时，f(x)在[t ，t+1]上单调递减， h(t)=f(x)=－t 2+8t .综上，h(t)=⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,8,16,7622t t t t（II ）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数ϕ(x )=g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
一、简答题1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。
解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
b5E2RGbCAP代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
p1EanqFDPw 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。
DXDiTa9E3d2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。
解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。
决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。
因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。
RTCrpUDGiT在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。
用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。
但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。
同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。
这些是确定数学的局限所在。
5PCzVD7HxA二、论述题1. 论述社会科学数学化的主要原因。
解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
2. 论述数学的三次危机对数学发展的作用。
解答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。
第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。
由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
jLBHrnAILg三、分析题1. 分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？<1）封闭的演绎体系因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念<除原始概念）也基本上是符合逻辑上xHAQX74J0X对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是封闭的。
所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
LDAYtRyKfE<2）抽象化的内容《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现Zzz6ZB2Ltk实原型。
因此《几何原本》的内容是抽象的。
<3）公理化的方法《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。
定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。
以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。
这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。
dvzfvkwMI12. 分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？解答：<1）开放的归纳体系从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。
rqyn14ZNXI在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综EmxvxOtOco合起来，就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。
SixE2yXPq5因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
<2）算法化的内容《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。
因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。
6ewMyirQFL<3）模型化的方法《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。
当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
kavU42VRUs数学思想与方法作业参考解答<2）一、简答题1．叙述抽象的含义及其过程。
解答：抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。
y6v3ALoS89人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。
所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。
然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。
这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。
M2ub6vSTnP2．叙述概括的含义及其过程。
解答：概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。
0YujCfmUCw概括通常可分为经验概括和理论概括两种。
经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。
在数学中经常使用的是理论概括。
eUts8ZQVRd一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
3．简述公理方法历史发展的各个阶段。
解答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。
第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。
非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。
希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。
sQsAEJkW5T 4．简述化归方法并举例说明。
解答：所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
GMsIasNXkA 例如：要求解四次方程可以令，将原方程化为关于的二次方程这个方程我们会求其解：和，从而得到两个二次方程：和这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解：，，，.这里所用的就是化归方法。
二、论述题 1．叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。
解答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S=；由于具有属性p ，具有属性p ，……具有属性p ，因此推断：S 类事物中的每一个对象都可能具有属性p 。
例如：记，由于6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，这里3，5，7都是奇素数，因此推断：S 中的数，即大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。
2．叙述类比推理的形式。
如何提高类比的可靠性？ 解答：类比推理通常可用下列形式来表示： A 具有性质B 具有性质因此，B 也可能具有性质。
其中，分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：(1>A 与B 共同(或相似>的属性尽可能地多些；(2>这些共同(或相似>的属性应是类比对象A 与B 的主要属性；(3>这些共同(或相似>的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的； (4>可迁移的属性d 应该是和属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
3．试比较归纳猜想与类比猜想的异同。
解答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。
TIrRGchYzg归纳猜想与类比猜想的不同点是：归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例—归纳—猜测”。
类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想—类比—猜测”。
三、设计题设计运用“猜想”进行数学教案的一个片断。
解答：以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教案片断。
将教案过程设计成四个层次：①让学生说一说：我们周围有哪些长方形物体？学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。
②要求学生仔细观察：看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？学生经过观察后，会猜想：长方形相对的两条边长度相等。
7EqZcWLZNX③教师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？这时，学生会想出许多办法，如：用尺量、将图形对折等方法。
教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。
教师板书：长方形对边相等。
接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。
lzq7IGf02E④巩固长方形对边相等的认识。
利用多媒体展示下面的长方形：教师提问：如何填写括号内的数字？为什么？要求学生会用“因为…所以…”句式回答。
如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是3厘M，所以它的对边也是3厘M。
