2015届高考数学第一轮考点分类检测试题考点55不等式选讲
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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=()B2n4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()....6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则().8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()﹣,,,)(2k+9.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()255211.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()12.(5分)设函数f(x)=e x(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<l,若存在唯一的整数x0使得f(x0)[[[[二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数.则a=.14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为.15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为.16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是.三、解答题:17.(12分)S n为数列{a n}的前n项和,己知a n>0,a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式:(Ⅱ)设b n =,求数列{b n }的前n 项和.18.(12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE 丄平面ABCD ,DF 丄平面 ABCD ,BE=2DF ,AE 丄EC . (Ⅰ)证明:平面AEC 丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i﹣)2(w i ﹣)2(x i ﹣)(y i )(w i ﹣)(y i表中w i =1,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(u n v n),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由)21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)(2015春•新乐市校级月考)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN 的面积.选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设复数z满足=i,则|z|=()满足=iB.2n4.(5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.己知某同学每次投篮投5.(5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()....=﹣(﹣<<6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(),则,××(,÷7.(5分)设D为△ABC所在平面内一点,,则().利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量表示为8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()﹣,,,)(2k+)的部分图象,可得函数的周期为(﹣可得+=,)≤≤2k+)的单调递减区间为()9.(5分)执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552,的通项为=的系数为11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()×+22r+12.(5分)设函数f(x)=e x(2x﹣1)﹣ax+a,其中a<l,若存在唯一的整数x0使得f(x0)[[[[<﹣时,,>﹣时,﹣,,解得二、填空题(本大题共有4小题,每小题5分)13.(5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数.则a=1.x+14.(5分)一个圆经过椭圆=1的三个顶点.且圆心在x轴的正半轴上.则该圆标准方程为(x﹣)2+y2=.解:一个圆经过椭圆,解得,,).)15.(5分)若x,y满足约束条件.则的最大值为3.,则,解得,即=3的最大值为16.(5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°.BC=2,则AB的取值范围是(﹣,+).x x xx+m=+AD=x+mx+m=,x+m x=+x的取值范围是(﹣+﹣,)三、解答题:17.(12分)S n为数列{a n}的前n项和,己知a n>0,a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式:(Ⅱ)设b n=,求数列{b n}的前n项和.,利用裂项法即可求数列==(﹣(﹣+﹣)(﹣.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE丄平面ABCD,DF丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.(Ⅰ)证明:平面AEC丄平面AFC(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.AG=GC=,且BE=,故,,EF=,),=,)=,﹣,,>=﹣.19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(x i ﹣)2(w i ﹣)2(x i ﹣)(y i )(w i ﹣)(y i表中w i=1,=(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(u n v n),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.w=,建立y=c+dw=的线性回归方程,由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68,的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68)﹣+20.12=20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分別求C在点M和N处的切线方程.(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?(说明理由),利用导数的运算法则,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程..)联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为:,化为==.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.,,即可得出零点的个数;,解得.时,﹣=a+<﹣=a+=,∴当)在内单调递减,在x==,即,则,即,=a+a时,或时,或选修4一1:几何证明选讲22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.,BE=选修4一4:坐标系与参数方程23.(10分)(2015春•新乐市校级月考)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN 的面积.3的面积(3=2=.选修4一5:不等式选讲24.(10分)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,或求得<,a|=,,[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有:刘长柏;qiss;maths;changq;caoqz;cst;lincy;吕静;双曲线;whgcn;孙佑中(排名不分先后)菁优网2015年7月20日。
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(不等式)姓名:沈金鹏院、系:数学学院专业: 数学与应用数学2015年10月10日专题七不等式1.(15北京理科)若x ,y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≤,≥,则2z x y =+的最大值为A .0B .1C .32D .2【答案】D【解析】试题分析:如图,先画出可行域,由于2z x y =+,则1122y x z =-+,令0Z =,作直线12y x =-,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取得最小值2. 考点:线性规划;2.(15北京文科)如图,C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ,(),x y P 为D 中任意一点,则23z x y =+的最大值为.【答案】7考点:线性规划.3.(15年广东理科)若变量,满足约束条件则的最小值为A .B.6C.D. 4 【答案】.【解析】不等式所表示的可行域如下图所示,由得,依题当目标函数直线:经过时,取得最小值即,故选 【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题,属于容易题.4.(15年广东文科)若变量,满足约束条件,则的最大值为() A .B .C .D .【答案】Cx y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=531523C 32z x y =+322z y x =-+l 322z y x =-+41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭z min 42331255z =⨯+⨯=C考点:线性规划. 5.(15年广东文科)不等式的解集为.(用区间表示)【答案】【解析】 试题分析:由得:,所以不等式的解集为,所以答案应填:.考点:一元二次不等式.5.6.(15年安徽文科)已知x ,y 满足约束条件,则z=-2x+y 的最大值是( )(A )-1 (B )-2 (C )-5 (D )1 【答案】A 【解析】0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩试题分析:根据题意作出约束条件确定的可行域,如下图:令,可知在图中处,取到最大值-1,故选A.考点:简单的线性规划.7.(15年福建理科)若变量满足约束条件则的最小值等于( ) A .B .C .D .2 【答案】A 【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为,当最小时,直线的纵截距最大,故将直线经过可行域,尽可能向上移到过点时,取到最小值,最小值为 ,故选A . 考点:线性规划.8.(15年福建理科)已知,若点是所在平面内一点,y x z +-=2⇒z x y --=2)1,1(A y x z +-=2,x y 20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩2z x y =-52-2-32-2y x z =-z 2y x z =-2y x =1(1,)2B -z 152(1)22z =⨯--=-1,,AB AC AB AC t t⊥==P ABC ∆且,则的最大值等于()A .13B .15C .19D .21 【答案】A考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式. 9.(15年福建文科)若直线过点,则的最小值等于() A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】C考点:基本不等式.4AB ACAP AB AC=+PB PC ⋅1(0,0)x ya b a b+=>>(1,1)a b +10.(15年福建文科)变量满足约束条件,若的最大值为2,则实数等于()A .B .C .D . 【答案】C 【解析】试题分析:将目标函数变形为,当取最大值,则直线纵截距最小,故当时,不满足题意;当时,画出可行域,如图所示,其中.显然不是最优解,故只能是最优解,代入目标函数得,解得,故选C . 考点:线性规划.11.(15年新课标1理科)若x,y 满足约束条件则的最大值为. 【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.,x y 02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩2z x y =-m 2-1-12–12y x z =-z 0m ≤0m >22(,)2121mB m m --(0,0)O 22(,)2121m B m m --4222121mm m -=--1m =yxyxy x12.(15年新课标2理科)若x ,y 满足约束条件,则的最大值为____________. 【答案】13.(15年新课标2文科)若x ,y 满足约束条件 ,则z =2x +y 的最大值为.【答案】850210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩考点:线性规划14.(15年陕西理科)设,若,,,则下列关系 式中正确的是()A .B .C .D . 【答案】C考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性.15.(15年陕西理科)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最 大利润为() A .12万元 B .16万元 C .17万元 D .18万元【答案】D 【解析】试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨,则利润()ln ,0f x x a b =<<p f =()2a bq f +=1(()())2r f a f b =+q r p =<q r p =>p r q =<p r q =>x y 34z x y =+由题意可列,其表示如图阴影部分区域:当直线过点时,取得最大值,所以,故选D .考点:线性规划.16.(15年陕西文科)某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B .16万元C .17万元D .18万元【答案】32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=D当直线过点时,取得最大值故答案选考点:线性规划.17.(15年天津理科)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为(A )3 (B )4 (C )18 (D )40【答案】C考点:线性规划.340x y z +-=(2,3)A z 324318z =⨯+⨯=D18.(15年天津文科)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为()(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点:线性规划19.(15年天津文科)设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的()(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A.考点:1.不等式;2. 充分条件与必要条件.20.(15年天津文科)已知0,0,8,a b ab >>=则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【解析】试题分析:()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==考点:基本不等式.21.(15年湖南理科)执行如图1所示的程序框图,如果输入,则输出的( )A. B. C. D.3n =S =67378949时,的最小值是,故选A.1=y y x z -=37-考点:线性规划.22.(15年山东理科)不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B)(,1)-∞ (C)(1,4) (D)(1,5)解析:当1x <时,1(5)42x x ---=-<成立;当15x ≤<时,1(5)262x x x ---=-<,解得4x <,则14x ≤<;当5x ≥时,1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <,答案选(A)23.(15年山东理科)已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =(A)3 (B)2 (C)2- (D)3-解析:由z a x y =+得y ax z =-+,借助图形可知:当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0,不符合题意;当01a ≤-<,即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<≤;当10a -<-≤,即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <≤;当1a -<-,即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==,满足1a >;答案选(B)24.(15年江苏)不等式224x x -<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】试题分析:由题意得:2212x x x -<⇒-<<,解集为(1,2).-考点:解指数不等式与一元二次不等式。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(05不等式)一、选择题:1.(2015文)已知x,y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则yxz+-=2的最大值是()(A)-1 (B)-2(C)-5 (D)12.(2015理)若x,y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≤,≥,则2z x y=+的最大值为()A.0 B.1 C.32D.2【答案】D【解析】试题分析:如图,先画出可行域,由于2z x y=+,则1122y x z=-+,令0Z=,作直线12y x=-,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z取得最小值2.考点:线性规划;3.(2015文)若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,1),则a b+的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C考点:基本不等式.4.(2015理)若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( ) A.52- B.2- C.32- D.2【答案】A【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为2y x z=-,当z最小时,直线2y x z=-的纵截距最大,故将直线2y x=经过可行域,尽可能向上移到过点1(1,)2B-时,z取到最小值,最小值为152(1)22z=⨯--=-,故选A.考点:线性规划.5.(2015文)变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,若2z x y=-的最大值为2,则实数m等于()A.2- B.1-C.1 D.2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析:将目标函数变形为2y x z =-,当z 取最大值,则直线纵截距最小,故当0m ≤时,不满足题意;当0m >时,画出可行域,如图所示, 其中22(,)2121mB m m --.显然(0,0)O 不是最优解,故只能22(,)2121m B m m --是最优解,代入目标函数得4222121mm m -=--,解得1m =,故选C .考点:线性规划.6.(2015文)若变量x ,y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则23z x y =+的最大值为( )A .10B .8C .5D .2 【答案】C考点:线性规划.7.(2015理)若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为( )A .531 B. 6 C. 523D. 4【答案】C .【解析】不等式所表示的可行域如下图所示,由32z x y =+得322z y x =-+,依题当目标函数直线l :322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时,z 取得最小值即min42331255z =⨯+⨯=,故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题,属于容易题.8. (2015文)不等式2340x x --+>的解集为 .(用区间表示) 【答案】()4,1- 【解析】试题分析:由2340x x --+<得:41x -<<,所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-,所以答案应填:()4,1-. 考点:一元二次不等式.9、(2015文)若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则z=2x-y 的最小值为( )A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】AxyOA l考点:简单的线性规划10. (2015理)若变量x,y满足约束条件1 211 x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则3z x y=-的最小值为()A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x,1=y时,min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-,故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值,属于容易题,在画可行域时,首先必须找准可行域的围,其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小,从而确定目标函数取到最优解时所经过的点,切忌随手一画导致错解.11、(2015文)若实数a,b满足12aba b+=,则ab的最小值为( )A2 B、2 C、2 D、4【答案】C考点:基本不等式12.(2015理)已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y=+的最大值为4,则a=()(A)3 (B)2 (C)-2 (D)-3 【答案】B【解析】不等式组2xyx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示,若z ax y=+的最大值为4,则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==,经检验,2,0x y==是最优解,此时2a=;1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题,通过确定参数a的值,考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性,意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015理)设()ln,0f x x a b=<<,若)p f ab=,()2a bq f+=,1(()())2r f a f b=+,则下列关系式中正确的是()A.q r p=< B.q r p=> C.p r q=< D.p r q=>【答案】C考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性.14. (2015文)设()ln ,0f x x a b =<<,若()p f ab =,()2a b q f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )A .q r p =<B .q r p =>C .p r q =<D .p r q => 【答案】C 【解析】试题分析:1()ln ln 2p f ab ab ab ===;()ln22a b a bq f ++==;11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>,由()ln f x x =是个递增函数,()()2a b f f ab +>所以q p r >=,故答案选C考点:函数单调性的应用.15. (2015文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示,如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值324318z =⨯+⨯=故答案选D考点:线性规划.16. (2015理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )D .18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】试题分析:设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨,则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,其表示如图阴影部分区域:当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值,所以max 324318z =⨯+⨯=,故选D . 考点:线性规划.17. (2015文)下列不等式中,与不等式23282<+++x x x 解集相同的是( ).A. 2)32)(8(2<+++x x xB. )32(282++<+x x xC.823212+<++xxxD.218322>+++xxx【答案】B18、(2015理)记方程①:2110x a x++=,方程②:2220x a x++=,方程③:2340x a x++=,其中1a,2a,3a是正实数.当1a,2a,3a成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是()A.方程①有实根,且②有实根 B.方程①有实根,且②无实根C.方程①无实根,且②有实根 D.方程①无实根,且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根,且②无实根时,22124,8a a≥<,从而4222321816,4aaa=<=即方程③:2340x a x++=无实根,选B.而A,D由于不等式方向不一致,不可推;C推出③有实根【考点定位】不等式性质19. (2015文)若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m的值为()(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析:如图,;由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ,且其面积等于43,再注意到直线AB :x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直,所以三角形ABC 是直角三角形;易知,A (2,0),B (1-m,m+1),C(2422,33m m -+); 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43,化简得:2(1)4m +=,解得m=-3,或m=1;检验知当m=-3时,已知不等式组不能表示一个三角形区域,故舍去;所以m=1; 故选B.考点:线性规划.20、(2015文)设实数x ,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识,考查知识的整合与运用,考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中,对可行域的处理并不是大问题,关键是“求xy 最大值”中,xy 已经不是“线性”问题了,如果直接设xy =k ,,则转化为反比例函数y =的曲线与可行域有公共点问题,难度较大,且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中,用基本不等式的思想,通过系数的配凑,即可得到结论,当然,对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为( )(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点:线性规划22.( 2015天津理)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为( )(A )3 (B )4 (C )18 (D )40【答案】C864224681510551015AB考点:线性规划.23、(2015文)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:2m)分别为x,y,z,且x y z<<,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/2m)分别为a,b,c,且a b c<<.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax by cz++ B.az by cx++ C.ay bz cx++ D.ay bx cz++【答案】B考点:1.不等式性质;2.不等式比较大小.二、填空题:1、(2015文)如图,C∆AB及其部的点组成的集合记为D,(),x yP为D中任意一点,则23z x y=+的最大值为.【答案】7考点:线性规划.2.(2015文)若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________.【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题,属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题,重点考查线性规划问题的基本解决方法,体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性,能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为.【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线l:30x y+=,平移直线l,当直线l:z=3x+y 过点A时,z取最大值,由2=021=0x yx y+-⎧⎨-+⎩解得A(1,1),∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题,先作出可行域,在作出目标函数,利用z的几何意义,结合可行域即可找出取最值的点,通过解方程组即可求出做最优解,代入目标函数,求出最值,要熟悉相关公式,确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键,目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx是可行域一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故yx的最大值为3.考点:线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为.【答案】8考点:线性规划6.(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x,y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,,则z x y=+的最大值为____________.【答案】32【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为y x z=-+,当z取到最大时,直线y x z=-+的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D,则z x y=+的最大值为32.考点:线性规划.xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015文)若x,y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析:画出可行域及直线30x y+=,平移直线30x y+=,当其经过点(1,2)A时,直线的纵截距最大,所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.考点:简单线性规划.8. (2015文)定义运算“⊗”:22x yx yxy-⊗=(,0x y R xy∈≠,).当00x y>>,时,(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 .2【解析】试题分析:由新定义运算知,2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==,因为,00x y>>,,所以,2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=2x y=时,(2)x y y x⊗+⊗2考点:1.新定义运算;2.基本不等式.9. (2015文)若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx,则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域,简单的线性规划.10. (2015天津文)已知0,0,8,a b ab>>=则当a的值为时()22log log2a b⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析:()()()()22222222log log211log log2log2log164,244a ba b ab+⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b=时取等号,结合0,0,8,a b ab>>=可得4, 2.a b==考点:基本不等式.11. (2015文)设,0,5a b a b>+=,1++3a b+ ________.【答案】23考点:基本不等式.12、(2015文)已知实数x ,y 满足221x y +≤,则2463x y x y +-+--的最大值是 . 【答案】15 【解析】试题分析: 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时,满足的是如图的AB 劣弧,则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5;当22y x <-时,满足的是如图的AB 优弧,则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值,故1015z d -==,所以15z =,故该目标函数的最大值为15.考点:1.简单的线性规划;13. (2015理)若实数,x y 满足221x y +≤,则2263x y x y +-+--的最小值是 .三、解答题。
第十七章不等式选讲考点不等式的解法及证明4.(2015课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x23<x<2.(5分)(2)由题设可得,f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a, -x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)5.(2015课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则a+b>c+d;(2)a+>c+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+>c+.(ii)若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 6.(2015陕西,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+.解析(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)-3t+12+t=34-t+t≤[(3)2+12][(4-t)2+(t)2] =24-t+t=4,当且仅当4-t3=t1,即t=1时等号成立,故(-3t+12+t)max=4.。
第5讲 不等式经典精讲题一:解不等式|x 2-2x +3|<|3x -1|.题二:解关于x 的不等式|2x -1|<2m -1(m ∈R).题三:求函数y x =的值域.题四:设x ,y 为实数.若4x 2+y 2+xy =1,则2x +y 的最大值是________题五:若bc -ad ≥0,bd >0,求证:a +b b ≤c +dd.题六:已知m ∈R ,a >b >1,f (x )=mxx -1,试比较f (a )与f (b )的大小.题七:函数f (x )=-sin 2x +sin x +a ,若1≤f (x )≤174对任意的x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.题八:已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.题九:设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ,求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值.题十:设函数f (x )=|x -1|+|x -a |.(1) 若a =-1,解不等式f (x )≥3;(2)如果∀x ∈R,f (x )≥2,求a 的取值范围.题十一:证明:关于x 的不等式(3k -2)x 2+2kx +k -1<0与(k 2-112)x 2+kx +1>0,当k 为任意实数时,至少有一个恒成立.题十二:已知f (x )=32x -(k +1)·3x+2,对任意的x ∈R ,恒有f (x )>0,则k 的取值范围是( ).A .(-∞, -1)B .(-∞, 22-1)C .(-1, 22-1)D .(-22-1, 22-1)题十三:解关于x 的不等式x 2-2ax -3a 2>0.题十四:已知集合A ={x |2x 2-3x -2≤0},B ={x |x 2-ax +3a ≤0,a ∈R},且B ⊆A ,求a的取值范围.题十五:若不等式ax 2-bx +c >0的解集是(-12,2),则以下结论中:①a >0;②b <0;③c >0;④a +b +c >0;⑤a -b +c >0,正确结论的序号是( ). A .①②③ B .②③④ C .②③⑤ D .③⑤题十六:函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0有两根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1a,当x∈(0,x 1)时,证明:x <f (x )<x 1.第5讲 不等式经典精讲题一: {x |1<x <4}.详解:原不等式⇔(x 2-2x +3)2<(3x -1)2⇔[(x 2-2x +3)+(3x -1)][(x 2-2x +3)-(3x -1)]<0⇔(x 2+x +2)(x 2-5x +4)<0 ⇔x 2-5x +4<0(因为x 2+x +2恒大于0)⇔1<x <4. 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}.题二: 当m ≤12时,解集为∅;当m >12时,解集为:{x |1-m <x <m }.详解:若2m -1≤0,即m ≤12,则|2x -1|<2m -1恒不成立,此时,原不等式无解;若2m -1>0,即m >12.则-(2m -1)<2x -1<2m -1,所以1-m <x <m . 综上所述:当m ≤12时,原不等式的解集为∅,当m >12时,原不等式的解集为:{x |1-m <x <m }.题三:.详解:函数y x =的定义域为,1],设sin ()22x t t ππ=-≤≤,则原函数y x =可化为sin cos y t t =+)4t π+∵22t ππ-≤≤∴3444t πππ-≤+≤看图象(图2)可知sin()124t π-≤+≤∴1)4t π-≤+≤∴1y -≤≤即原函数的值域为].题四:2105. 详解:依题意有(2x +y )2=1+3xy =1+32×2x ×y ≤1+32 · (2x +y 2)2,得58(2x +y )2≤1,即|2x +y |≤2105.当且仅当2x =y =105时,2x +y 达到最大值2105.题五: 见详解.证明:∵bc -ad ≥0,bd >0,∴bc ≥ad ,1bd>0,∴c d ≥a b .∴c d +1≥a b +1,即c +d d ≥a +b b ,即a +b b ≤c +dd.题六: 当m >0时,f (a )<f (b );当m =0时,f (a )=f (b );当m <0时,f (a )>f (b ).详解: f (x )=mxx -1=m (1+1x -1),f (a )=m (1+1a -1),f (b )=m (1+1b -1).∵a >b >1,∴a -1>b -1>0,∴1+1a -1<1+1b -1.①当m >0时,m (1+1a -1)<m (1+1b -1),即f (a )<f (b );②当m =0时,f (a )=f (b );③当m <0时,m (1+1a -1)>m (1+1b -1),即f (a )>f (b ).综上所述,当m >0时,f (a )<f (b );当m =0时,f (a )=f (b );当m <0时,f (a )>f (b ).题七: 3≤a ≤4.详解:令t =sin x ,t ∈[-1,1],则f (x )=-sin 2x +sin x +a =-t 2+t +a =-(t -12)2+a +14,当t =12时,f (x )有最大值a +14,当t =-1时,f (x )有最小值a -2.故函数f (x )(x ∈R)的值域为[a -2,a +14],从而⎩⎪⎨⎪⎧a +14≤174a -2≥1,解得3≤a ≤4.题八: (1)a =2,b =-5;(2) g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6,k ∈Z ;g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .详解: (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,∴-2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6∈[-2a ,a ].∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1, ∴b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5.(2)由(1)得a =2,b =-5,∴f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6-1, g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π2=-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +7π6-1=4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6-1,又由lg g (x )>0得g (x )>1,∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6>12, ∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π,k π+π6,k ∈Z 又∵当2k π+π2<2x +π6 <2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .题九: y mi n =-1;y max =0.详解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0.∴-3≤21log x ≤-23. 即21log (21)-3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)-3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈[22,8]}又f (x )=(log 2x -1)(log 2x -3)=log 22x -4log 2x +3=(log 2x -2)2-1.∵22≤x ≤8 ∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时,y mi n =-1;当log 2x =3,即x =8时,y max =0.题十: (1) ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞;(2) (-∞,-1]∪[3,+∞). 详解:(1)当a =-1时,f (x )=|x -1|+|x +1|. 由f (x )≥3得|x -1|+|x +1|≥3. ① 当x ≤-1时,不等式化为1-x -1-x ≥3,即-2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤-1,f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32.②当-1<x ≤1时,不等式化为1-x +x +1≥3,此不等式不成立,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧-1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅.③当x >1时,不等式化为x -1+x +1≥3,即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1,f (x )≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.综上得,f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞.(2)若a =1,f (x )=2|x -1|,不满足题设条件. 若a <1,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +a +1,x ≤a ,1-a ,a <x <1,2x -(a +1),x ≥1. f (x )的最小值为1-a .若a >1,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +a +1,x ≤1,a -1,1<x <a ,2x -(a +1),x ≥a .f (x )的最小值为a -1.所以∀x ∈R,f (x )≥2的充要条件是|a -1|≥2,从而a 的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).题十一: 证明:由(3k -2)x 2+2kx +k -1<0恒成立.①当k =23时,不等式变为43x -13<0,不恒成立,∴k ≠23.②当k ≠23时,对应抛物线恒在x 轴下方,∴⎩⎪⎨⎪⎧3k -2<0,4k 2-k -k -⇒k <12.由(k 2-112)x 2+kx +1>0恒成立,并有k 2≠112.∴对应抛物线恒在x 轴上方,∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2-112>0,k 2-k 2-112⇒k <-13或k >13.由不等式(3k -2)x 2+2kx +k -1<0恒成立或(k 2-112)x 2+kx +1>0恒成立,∴k 的范围是{k |k <12}∪{k |k >13或k <-13}=R .∴k 为任意实数时,上述两个不等式至少有一个恒成立,命题得证.题十二: B .详解:函数f (x )=32x -(k +1)·3x +2是关于3x 的二次函数,记t =3x>0,函数转化成f (t )=t 2-(k +1)t +2对任意的t >0,恒有f (t )>0.当Δ=[-(k +1)]2-4×1×2<0,即(k +1)2-8<0时,条件成立, 所以-22-1<k <22-1;当Δ=[-(k +1)]2-4×1×2≥0,k ≤-22-1或k ≥22-1时.由⎩⎪⎨⎪⎧k +12≤0,f=2≥0解得k ≤-1,所以k ≤-22-1.综上所述,1k <,即)122,(--∞∈k .题十三: 若a >0,则x >3a 或x <-a ;若a =0,则x ≠0,x ∈R ;若a <0,则x <3a 或x >-a . 详解:原不等式可以化为:(x -3a )(x +a )>0, 若a >0即3a >-a ,则x >3a 或x <-a ;若a =0即3a =-a ,则x 2>0,x ≠0,x ∈R ; 若a <0即3a <-a ,则x <3a 或x >-a .题十四: a ∈[-114,12).详解:A ={x |-12≤x ≤2},设f (x )=x 2-ax +3a ,(1)当Δ=a 2-4·3a <0,即0<a <12时,B =Ø,满足B ⊆A ;(2)当Δ=a 2-12a ≥0,要使B ⊆A ,则f (x )=x 2-ax +3a 的图象满足下图所示,即⎩⎪⎨⎪⎧-12≤a 2≤2Δ=a 2-12a ≥0f-12f,解得-114≤a ≤0,综上可得a ∈[-114,12).题十五: C .详解:∵不等式ax 2-bx +c >0的解集是(-12,2),∴方程ax 2-bx +c =0的根是-12,2,且a <0.由韦达定理,得b a =32>0,ca=-1<0.∵a <0,∴b <0,c >0.又当x =1时,不等式成立,即得a -b +c >0.题十六: 证明:∵x 1、x 2是方程f (x )-x =0的两根,∴f (x )-x =a (x -x 1)(x -x 2).∵x ∈(0,x 1), ∴x -x 1<0,x -x 2<0,∵a >0,∴f (x )-x >0,即f (x )>x .f (x )-x 1=f (x )-x +x -x 1=a (x -x 1)(x -x 2)+(x -x 1)=(x -x 1)(ax -ax 2+1).∵0<x 2<1a,∴ax 2<1,1-ax 2>0,ax >0,∴ax -ax 2+1>0,x -x 1<0,∴(x -x 1)(ax -ax 2+1)<0,f (x )-x 1<0,f (x )<x 1,综上所述:x <f (x )<x 1.。
考点55 不等式选讲一、选择题1.(2013·某某高考理科·T4)“a ≤0”“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 ( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数()=(-1)f x ax x 的简图,数形结合判断。
【解析】选C.由函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增可得其图象如图所示,,由图象可知选项C 正确。
二、填空题2. (2013·某某高考理科·T15)已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为.【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am (,且仅当 n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2. 【答案】 2.3. (2013·某某高考文科·T15)设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是. 【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识||||b x a x -+-表示数轴上某点到a ,b 的距离之和即可得解. 【解析】函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为: 2||)().|,[|>-≥∈∀+∞-b a x f R x b a 时,因此,当. 所以,不等式2||||>-+-b x a x 的解集为R 。
【答案】 R.4.(2013·某某高考理科·T15)在实数X 围内,不等式||x 2|1|1--≤的解集为___________. 【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义,||x 2|1|1--≤等价于0|x 2|2≤-≤,即2x 22-≤-≤,即0x 4≤≤.【答案】[0,4].5. (2013·某某高考理科·T16)若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值X 围是【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式53x x a -++<无解,即()min35++-≤x x a因为8)3()5(35=+--≥++-x x x x ,所以8≤a 【答案】(]8,∞-.6. (2013·某某高考理科·T13)设x ,y ,z ∈R ,且满足:x 2+y 2+z 2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z= 【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件,求出相应的x ,y ,z 的值。
2015年5月数学高考题分类不等式复习测试一不等关系与不等式一、选择题1.(2013·浙江高考文科·T10)设a,b ∈R ,定义运算“∧”和“∨”如下: a ∧a ∨若正数a,b,c,d 满足ab ≥4,c+d ≤4,则 ( ) A.a ∧b ≥2,c ∧d ≤2 B.a ∧b ≥2,c ∨d ≥2 C.a ∨b ≥2,c ∧d ≤2D.a ∨b ≥2,c ∨d ≥2【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解.【解析】选C.因为a ∧b=min{a,b},a ∨b=max{a,b},又ab ≥4,所以a,b 中至少有一个大于等于2,所以a ∨b ≥2,排除A,B;因为c+d ≤4,所以c,d 中至少有一个小于等于2,所以c ∧d ≤2,故选C. 二、填空题2.(2013·浙江高考文科·T16)设a,b ∈R ,若x ≥0时恒有0≤x 4-x 3+ax+b ≤(x 2-1)2,则ab= .【解题指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b 的关系,再由不等式恒成立求得ab. 【解析】因为x ≥0时,0≤x 4-x 3+ax+b≤(x 2-1)2恒成立,所以当x=1时,0≤a+b ≤0成立,所以a+b=0,a=-b,当x=0时,0≤b ≤1,所以-1≤a ≤0,所以原不等式为0≤x 4-x 3+ax-a≤(x 2-1)2,ax-a ≤x 3-2x 2+1,所以a(x-1)≤(x 2-x-1)(x-1),当x>1时, a ≤x 2-x-1=21524⎛⎫-- ⎪⎝⎭x (x ≥1)恒成立,得a ≤-1;所以a=-1.当x<1时,同理可得a=-1,所以ab=-a 2=-1. 【答案】-1一元二次不等式及其解法一、选择题3. (2013·重庆高考文科·T7)关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x ,且2115x x -=,则a = ( )A.52 B.72 C.154 D.152【解题指南】直接求出不等式的解集,根据2115x x -=求出a 的值.【解析】选A.由题意知, 不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为)4,2(a a -,因为2115x x -=,所以15)2(4=--a a ,解得25=a . 4.(2013·江西高考文科·T6)下列选项中,使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B. (-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞) 【解题指南】转化为不等式组,应注意x>0与x<0的区别.【解析】选A.当x 0>时不等式化为23x 1x 1⎧<⎪⎨>⎪⎩,此时无解;当x 0<时不等式化为23x 1x 1⎧>⎪⎨<⎪⎩,此时解得x 1<-.5.(2013·安徽高考理科·T6)已知一元二次不等式()<0f x 的解集为1x|<-1>2⎧⎫⎨⎬⎩⎭或x x ,则(10)>0xf 的解集为 ( ) A . {}|<-1>lg2x x x 或 B.{}|-1<<lg2x x C. {}|>-lg2x x D.{}|<-lg2x x【解题指南】根据一元二次不等式、指数函数、对数函数的图像与性质进行判断. 【解析】选D 。
不等式1.【2015高考四川,理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥,在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递减,则mn 的最大值为( )(A )16 (B )18 (C )25 (D )812【答案】B【解析】2m ≠时,抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意,当2m >时,822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时,抛物线开口向下,据题意得,8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>,故应舍去.要使得mn 取得最大值,应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=,所以最大值为18.选B..2.【2015高考北京,理2】若x ,y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤,≤,≥,则2z x y =+的最大值为( )A .0B .1C .32D .2【答案】D【解析】如图,先画出可行域,由于2z x y =+,则1122y x z =-+,令0Z =,作直线12y x =-,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大,Z 取得最小值2.3.【2015高考广东,理6】若变量x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+231854yxyx则yxz23+=的最小值为()A.531B. 6C.523D. 4【答案】C.4.【2015高考陕西,理9】设()ln,0f x x a b=<<,若(p f ab=,()2a bq f+=,1(()())2r f a f b=+,则下列关系式中正确的是()A.q r p=< B.q r p=> C.p r q=< D.p r q=>【答案】C【解析】lnp f ab ab==,()ln22a b a bq f++==,11(()())ln22r f a f b ab ab=+==,函数()lnf x x=在()0,+∞上单调递增,因为2a bab+>,所以()(2a bf f ab+>,所以q p r>=,故选C.5.【2015高考湖北,理10】设x∈R,[]x表示不超过x的最大整数. 若存在实数t,使得[]1t=,2[]2t=,…,[]n t n=同时成立....,则正整数n的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为[]x 表示不超过x 的最大整数.由1][=t 得21<≤t ,由2][2=t 得322<≤t ,由3][4=t 得544<≤t ,所以522<≤t ,所以522<≤t ,由3][3=t 得433<≤t ,所以5465<≤t ,由5][5=t 得655<≤t ,与5465<≤t 矛盾,故正整数n 的最大值是4.6.【2015高考天津,理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数6z x y =+的最大值为( )(A )3 (B )4 (C )18 (D )40 【答案】C7.【2015高考陕西,理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A .12万元B .16万元C .17万元D .18万元甲乙原料限额A (吨) 32 12B (吨)128【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨,则利润34z x y =+由题意可列321228x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,其表示如图阴影部分区域:当直线340x y z+-=过点(2,3)A时,z取得最大值,所以max324318z=⨯+⨯=,故选D.8.【2015高考山东,理5】不等式152x x---<的解集是()(A)(-错误!未找到引用源。
2015届高考数学第一轮考点分类检测试题考点55 不等式选讲一、选择题1.(2013·安徽高考理科·T4)“a ≤0”“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 ( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】 画出函数()=(-1)f x ax x 的简图,数形结合判断。
【解析】选C.由函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增可得其图象如图所示,,由图象可知选项C 正确。
二、填空题2. (2013·陕西高考理科·T15)已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解.【解析】212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am (,且仅当n m bmbnan am =⇒=时取最小值 2. 【答案】 2.3. (2013·陕西高考文科·T15)设a , b ∈R , |a -b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识||||b x a x -+-表示数轴上某点到a ,b 的距离之和即可得解.【解析】函数|xxf-+=的值域为:a-|x||(b)xa-bf+∞b∀因此,当.a时,xR∈)|2≥(|[|>|,-).所以,不等式2-bxax的解集为R。
+||-||>【答案】R.4.(2013·江西高考理科·T15)在实数范围内,不等式||x2|1|1--≤的解集为___________.【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.【解析】由绝对值的意义,||x2|1|1≤-≤,即--≤等价于0|x2|2-≤-≤,即0x42x22≤≤.【答案】[0,4].5.(2013·重庆高考理科·T16)若关于实数x的不等式53-++<x x a 无解,则实数a的取值范围是【解题指南】利用绝对值不等式的性质进行求解.【解析】不等式53-++<无解,即()minx x axa≤x35++-因为8++≥)3xx,所以8x--x)5(-(3+5=a≤【答案】(]8,∞-.6.(2013·湖北高考理科·T13)设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件,求出相应的x,y,z 的值。
【答案】7. 7. (2013·湖南高考理科·T10)已知a,b,c ∈R,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 .【解题指南】本题是利用柯西不等式2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++求最值 【解析】因为36)32()94)(111(2222222=++≥++++c b a c b a ,所以1294222≥++c b a【答案】 12. 三、解答题8.(2013·辽宁高考文科·T24)与(2013·辽宁高考理科·T24)相同已知函数(), 1.f x x a a =->其中()I 当2a =时,求不等式()44f x x ≥--的解集;()II 已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤,求a 的值。
【解题指南】利用绝对值的意义,去掉绝对值号,转化为整式不等式问题,是常用的化归方法.【解析】()I 当2a =时,26,2,()42,24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-=-<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时,由()442641f x x x ≥--⇒-+≥⇒≤;当24x <<时,由()4424f x x ≥--⇒≥,不成立; 当4x ≥时,由()442645f x x x x ≥--⇒-≥⇒≥; 综上,1,5x x ≤≥或所以,当2a =时,不等式()44f x x ≥--的解集为{}1,5.x x x ≤≥或()II 记()(2)2()22h x f x a f x x x a =+-=--则2,0,()42,0,2,.a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩由(2)2()2f x a f x +-≤得()2h x ≤, 即11422242222a a x a x a x -+-≤⇒-≤-≤⇒≤≤ 由已知不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤ 亦即()2h x ≤的解集为{}12x x ≤≤所以112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得 3.a =24.9.(2013·新课标Ⅰ高考文科·T24)与(2013·新课标Ⅰ高考理科·T24)相同已知函数|2||12|)(a x x x f ++-=,3)(+=x x g (Ⅰ)当2-=a 时,求不等式)()(x g x f <的解集;(Ⅱ)设1->a ,且当]21,2[a x -∈)时,)()(x g x f ≤,求a 的取值范围. 【解析】当2-=a 时,不等式)()(x g x f <化为03|22||12|<---+-x x x . 设函数3|22||12|---+-=x x x y ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=1,63121,221,5x x x x x x y其图象如图所示,从图象可知,当且仅当)2,0(∈x 时,0<y .所以原不等式的解集是}20|{<<x x .(Ⅱ)当]21,2[a x -∈时,a x f +=1)(. 不等式)()(x g x f ≤化为31+≤+x a .所以2-≥a x 对]21,2[a x -∈都成立,故22-≥-a a ,即34≤a . 从而a 的取值范围为]34,1(-10. (2013·湖南高考理科·T20)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明).(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小.【解题指南】(1)本题必须根据题目中图的提示弄清“L路径”是由直线段构成,所以只能用绝对值来表示.(2)先写出点P到三个居民区的“L路径”,则点P到三个居民区的“L 路径”长度值和的最小值为三个“L路径”的最小值之和,再利用绝对值知识去处理.【解析】设点P的坐标为(x,y),(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24.(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立,d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|. 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立. 综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 11.(2013·安徽高考理科·T20)设函数22*222()1(,)23nn x x x f x x x R n N n=-+++++挝,证明:(1)对每个*n N Î,存在唯一的2[,1]3n x Î,满足()0n n f x =;(2)对任意*p N Î,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<。
【解题指南】 (1)利用导数证明()n f x 在0+¥(,)内单调递增,证明()n f x 在2[,1]3n x Î内有零点;(2)利用(1)得{}n x 的递减函数,联立()n n f x 与()n p n p f x ++得n n p x x +-的关系式,适当放缩证明。
【解析】(1)对每个*n N Î,当x>0时,-1()10,()(0,)2n nn xx f x f x n=+++>+ ‘故在内单调递增,由于1(1)0f =,当2221112(1)0,(1)023n n n f f n?+++>时,,又2222()221123()1()33343k n n kn k k f k ===-++?+邋=21122[1()]111233-..()02343313n n ---+=-<-(),所以存在唯一的2[,1]3n x Î满足()0n n f x =。
(2)当x>0时,1+12()()()(1)n n n n x f x f x f x n +=+>+,故 +111()()()0,n n n n n n f x f x f x ++>==由+1()+n f x ¥在(0,)内单调递增知,+1{}n n n x x x ,故<为单调递减数列,从而对任意*,n p N Î,n p n x x +<,对任意*p N Î,由于222()102n nnn n n x x f x x n=-++++= ① 21+2222()1...+02(1)()n n n pn p n pn pn pn p n p n p x x x x f x x nn n p ++++++++=-++++++=++ ②①式减去②式并移项,利用+p 01n n x x << 得222211i kiin p n pnn p nn pn pn n p k k n k n x x x x x x k k k ++++++==+=+--=+邋21111111(1)n p n pk n k n kk k n n p n ++=+=+?=-<-+邋,因此,对任意*p N Î,都有10n n p x x n+<-<。