1矩形的性质与判定学生版

矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。

性质：1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相互平分且相等。

3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。

4.矩形的面积为长乘宽。

判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.有三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。

2.两组对边分别相等。

3.两组对角分别相等。

4.对角线相互平分。

区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相互平分且相等。

例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。

例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。

考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。

例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。

变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。

可以证明四边形ADCE是矩形。

变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。

(1) 可以证明△ABE≌△FCE。

(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。

课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。

2、正确的个数是6个。

3、不一定正确的是B、AC=BDC。

矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定CDB A【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

第17讲矩形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习矩形的判定和性质。

矩形是初中四边形中的一节重要内容，是中考几何证明题考查的重点，涉及到后面菱形与正方形的学习，关系密切，因此本节课要重点掌握。

知识梳理讲解用时：20分钟矩形的性质和判定1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.矩形的性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质；（2）矩形的对角线相等且互相平分；（3）矩形的四个角都是90°；（4）矩形是轴对称图形.性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称1.矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形；（4）对角线相等且互相平分的四边形是矩形.课堂精讲精练【例题1】如图，在矩形ABCD 中，点O 为对角线AC 、BD 的交点，点E 为BC 上一点，连接EO ，并延长交AD 于点F ，则图中全等三角形共有（）A ．5对B ．6对C ．8对D ．10对【答案】D【解析】根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．解：∵四边形ABCD 为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分，∴AB=CD ，AD=BC ，AO=CO ，BO=DO ，EO=FO ，∠DAO=∠BCO ，又∠AOB=∠COD ，∠AOD=∠COB ，∠AOE=∠COF ，易证△ABC ≌△DCB ，△ABC ≌△CDA ，△ABC ≌△BAD ，△BCD ≌△ADC ，△BCD ≌△DAB ，△ADC ≌△DAB ，△AOF ≌△COE ，△DOF ≌△BOE ，△DOC ≌△AOB ，△AOD ≌△BOC 故图中的全等三角形共有10对．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图：OA=OB=OC=12AC你知道怎么证明吗？讲解用时：3分钟解题思路：本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：杭州模拟年份：2017【练习1.1】如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．【答案】（1）BD=BE；（2）24【解析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE，（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8在Rt△BCD中，BC===4，∴四边形ABED的面积=（4+8）×4=24．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握矩形的性质以及平行四边形的性质和判定.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：肇庆年份：2012【例题2】如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．∠ABD=∠DBC C．AO=BO D．AC⊥BD【答案】C【解析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠DBC，得出四边形ABCD是菱形，不是矩形；故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AO=BO，，∴OA=OC=OB=OD即AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：上城区期末年份：2017【练习2.1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC【答案】C【解析】四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．教学建议：熟记矩形的判定定理并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：黔南州年份：2012【例题3】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，且CD=4，求AB的长.【答案】8【解析】根据直角三角形斜边上中线性质求出AB=2CD，代入求出即可．解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD，CD=4，∴AB=2CD=8.讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出AB=2CD，是一道简单的题目．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，求∠DFE的度数.【答案】60°【解析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20°，∠ADC=40°然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出∠DFE=60°．解：∵∠C=90°，AE=BE=EC，AD=DB，∴∠BAD=20°，∠ADC=40°，∠DAC=∠ECA=50°．∴∠ECD=20°，∠FDC=40°．∴∠DFE=60°．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的中线等于斜边的一半和三角形的内角和与外角和的运用．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：台湾年份：2007【例题4】在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数的比是1：5：6，AB边上的中线长是2，求△ABC的面积.【答案】2【解析】根据度数比可求出此三角形为直角三角形，然后根据斜边中线的长可得出三角形的面积．解：设∠A=x°，则x+5x+6x=180，x=15．∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°．如图：CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，则DA=DC，作斜边上的高CE，在Rt△CED中，∠CDE=2∠A=30°，CD=2，易求得CE=1，又AB=2DC=4．故所求△ABC的面积是2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查直角三角形的斜边中线等于斜边一半这个知识点，解答此题的关键是很据题意确定△ABC是直角三角形．教学建议：熟练运用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，点D是BC边上的动点（不与B，C 重合）过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，求EF的最小值.【答案】【解析】连接AD，根据矩形的性质可知：EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当EF⊥AD时，则EF最小，再根据三角形的面积为定值即可求出EF的长．解：∵Rt△ABC中，∠A=90°，AC=8，BA=6，∴BC=10，连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴四边形EAFD是矩形，∴EF=AD，当AD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当AD⊥BC时，则AD最小，∴EF=AD==.讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求FE的最小值转化为其相等线段AD的最小值．教学建议：熟练掌握矩形的性质和判定并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：萧山区月考年份：2016【例题5】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于°．【答案】60【解析】由直角三角形的性质知，中线CE=AE=BE，所以∠EAC=∠ECA，∠B=∠BCE，由三角形内角和即可求得．解：由直角三角形性质知，∵E为AB之中点，∴CE=AE=BE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，∴∠ACF=70°，又∵AD=DB，∴∠B=∠BAD=20°，∴∠FAC=50°，∴在△ACF中，∠AFC=180°﹣70°﹣50°=60°，∴∠DFE=∠AFC=60°．故答案为60讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形的性质，是基础题．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质并灵活应用.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：鼓楼区一模年份：2013【练习5.1】如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE= ．【答案】4【解析】由题意知，△ABC是等腰三角形，所以，D是BC边上的高和中线，即D是边BC的中点；由于△ADC是直角三角形，E为AC中点，所以DE=．解：在△ABC中，AB=AC=8，∴△ABC中是等腰三角形，又∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC，∴在△ADC中，∠ADC=90°，∵E为AC中点，∴DE===4，∴DE=4．讲解用时：3分钟解题思路：本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：益阳年份：2012【例题6】如图，△ABC中，BC=18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED=10，则FG的长为．【答案】2【解析】先利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再利用等腰三角形边上的三线合一，即可求证FG⊥DE，再利用勾股定理可求出FG的长度．解：连接EF，DF，∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，∴在Rt△CEB中，EF=，在Rt△BDC中，FD=，∴FE=FD=9，即△EFD为等腰三角形，又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，EG=DG=5，∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一），在Rt△GDF中，FG===2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，求得△EFD为等腰三角形，再根据等腰三角形边上的三线合一的性质来证明此题的△EFD为等腰三角形，这是证明此题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：海淀区校级期中年份：2010【练习6.1】已知，如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB与AC有何数量关系时，四边形ADCF为矩形，请说明理由．【答案】（1）四边形ADCF是平行四边形；（2）AB=AC【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得出即可；（2）可证△AFE≌△DBE，得出AF=BD，进而根据AF=DC，得出D是BC中点的结论，根据等腰三角形三线合一的性质知AD⊥BC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又AD⊥BC，则四边形ADCF是矩形．（1）证明：∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：当AB=AC时，四边形ADCF为矩形，理由是：∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC．∵AB=AC，∴AD⊥BC即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF是矩形，即当AB=AC时，四边形ADCF为矩形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用，熟记特殊平行四边形的判定方法是解题的关键.教学建议：全面掌握矩形的判定、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：杭州期末年份：2015【例题7】如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）．【答案】（1）当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形；（2）当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．【解析】由矩形的判定定理：先测量四边形ABCD是否为平行四边形即两组对边是否分别相等，再测量对角线是否相等．解：方案如下：（1）用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：本题涉及矩形的判定定理，且涉及实际问题，难度适中．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．【答案】（1）AF=CE；（2）矩形【解析】（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等．△ADF和△CDE中，已知了AD=CD，∠ADF=∠CDE，AF∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出AF=CE．（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么对角线相等的平行四边形是矩形．（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形．讲解用时：3分钟解题思路：两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．教学建议：掌握矩形的判定并灵活运用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：成都年份：2006【练习7.2】如图，四边形ABCD是由一个锐角为30°的直角△ABC与一个等腰直角△ACD拼成，E为斜边AC的中点．（1）判断线段BE、DE的大小，并说明理由（2）求∠BDE的大小．【答案】（1）BE=DE；（2）15°【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=AC；（2）求出∠BED的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．解：（1）∵E为斜边AC的中点，∴BE=DE=AC，∴BE=DE；（2）由题意得，∠BAC=90°﹣30°=60°，所以，∠AEB=∠BAC=60°，∠AED=90°，所以，∠BED=60°+90°=150°，所以，∠BDE=×（180°﹣150°）=15°．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质是解题的关键．教学建议：熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】D【解析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．解：可添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选：D．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：昆山市二模年份：2016【作业2】直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为cm．【答案】10【解析】根据直角三角形的性质直接求解．解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，∴斜边长=2×5=10cm．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC 于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【答案】（1）2.5；（2）∠1=∠2【解析】（1）由勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C，求（1）中矩形边BQ的长．【答案】（1）7；（2）2√14【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AC=6，得到CP=AQ=1，PQ=BD=8，由OB=DO，OQ=OP，证得四边形BPDQ为平形四边形，根据对角线相等，证得四边形BPDQ为矩形；（2）根据直角三角形的性质、勾股定理求得结论．解：（1）当时间t=7秒时，四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t=7秒时，PA=QC=7，∵AC=6，∴CP=AQ=1∴PQ=BD=8∵四边形ABCD为平行四边形，BD=8∴AO=CO=3∴BO=DO=4∴OQ=OP=4∴四边形BPDQ为平形四边形，∵PQ=BD=8∴四边形BPDQ为矩形，（2）由（1）得BO=4，CQ=7，∵BC⊥AC∴∠BCA=90°BC2+CQ2=BQ2∴BQ=．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。