下载文档原格式
课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性学 科：高中数学课程类型：基础型课式类型：新授课执教老师：田红兵授课班级：高一（2）班一、教学目标1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函数的单调性。
2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论证和语言表达的能力。
3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良好的思维习惯。
二、教学重点及难点重点：函数单调性的概念难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明三、教学用具准备：多媒体课件四、教学过程设计 策略与方法（一）情景引入1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念预案：随年份的增加而增加。
在生活的原型，认识研问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。
预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数值是增大还是减小，对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续研究这个问题。
(二).归纳探索，形成概念1.借助图象，直观感知问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，x y 1=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。
§3.4.2函数的基本性质——函数的奇偶性的定义及运用1．熟悉掌握函数奇偶性的定义及运算；2．掌握处理有关函数奇偶性的常用方法； 3．知道有关奇偶性的一些运算性质.问1 试总结判断函数奇偶性的方法.问2 试总结关于奇偶函数的重要结论.（龙门P148）例1 证明：（1）一次函数(0)y kx b k =+≠是奇函数的充要条件是0b =；（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数的充要条件是0b =； （3）函数()y f x =既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =.[举一反三] 判断函数()f x ax b =+的奇偶性例2 已知5()4f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，(2)3f =，求(2)f -的大小.[举一反三]（1）已知函数()f x 与()g x 满足()2()1f x g x =+，且()g x 为R 上的奇函数，(1)8f -=，求(1)f .（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，定义域为[1,2]a a -，则______a =，______b =例3 分别根据下列条件，求实数a 的值：（1）设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数； （2）函数1()21x f x a =++是定义域上的奇函数.（若改成“1()21x f x a =+-”呢？）[举一反三] （1）判断函数11()()312x f x x =+-的奇偶性；（2）已知2()(1)f x mx m x m =+++是R 上的偶函数，求实数m 的值.例4 已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=+， 求函数()f x 、()g x 的表达式.[练习] 设()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，（1）判断2()[()]3()F x f x g x =-的奇偶性；（2）若23()3()623f x g x x x +=-+，求()f x ，()g x 的解析式.[抽象函数的奇偶性]*例5 已知函数()f x 的定义域为R ，且不恒为0，对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()f x 为奇函数.*例6 已知函数()f x 不恒为零，并且对一切,x y R ∈，都有()()()1x yf x f y f xy++=+， 求证：()f x 为奇函数.1. 若函数()()()F x f x f x =--，则函数()F x 的奇偶性是________________.2. 已知函数),,(,6)(35为常数c b a cx bx ax x f -++=，若8)8(=-f ，则)8(f = _____ . 3. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()23f x g x x x -=++，则()()__________f x gx +=.4. 已知函数121)(+-=x a x f ，若)(x f 为奇函数，则a = 5. 以下四个函数① ()21f x x =-；② 1()1x f x x -=+；③ 221()1x f x x -=+；④ 53()f x x x =+，既不是奇函数又不是偶函数的是_______________. 6. 已知2()(1)()21x F x f x =+-（0x ≠）是奇函数，且()f x 不恒为零，则()f x 的奇偶性为________. 7. 已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有8个交点，则方程()0f x =的所有实数根之和为_____________.8. 已知定义域为R 的任意奇函数)(x f ，都有（ ）A.0)()(>--x f x f ；B. 0)()(≤--x f x f ；C. ()()0f x f x ⋅-≤；D. ()()0f x f x ⋅->.9. ()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x 、()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.10. 已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列函数中一定是奇函数的是（ ）A.[][]22)()(x g x f +； B. [])(x g f ； C. )()(x g x f -； D. )()(x g x f .11. 已知⎩⎨⎧<--->+-=0,10,1)(22x x x x x x x f ，则)(x f 为（ ）A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 不能确定12. ()f x 是定义在A 上的奇函数，且()0f x ≠，而()()g x y f x =是定义在B 上的偶函数，则()g x 是（ ） A ．在A 上的奇函数； B ．在A 上的偶函数；C ．在B 上的奇函数；D ．在B 上的偶函数；13. 已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，函数()y f x =的图像如图所示，则函数(||)f x 的图像是（ ）14. 函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，其中,,a b c Z ∈，若(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.15. 已知二次函数()f x 是偶函数，且经过点(3,6)，求它的一个解析式.16. 若0a >，1a ≠，()F x 为奇函数，11()()12x G x F x a ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦，试判断()G x 的奇偶性.17. 已知.12)(x xx f +=（1）求)1()(xf x f +；（2）求1210012100(1)(2)(100)()()()()()()222100100100f f f f f f f f f ++⋯⋯++++⋯⋯++⋯⋯+++⋯⋯+的值.18. 定义在R 上的函数()f x 对任意x y R ∈、都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，且(0)0f ≠，判断()f x 的奇偶性并加以证明.（A ） （B ） （C ） （D ）第13题图。
第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3） 若函数满足()(2)f x f ax =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ay x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2） 若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为Ta的周期函数。
（3） 若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；②设()g x的定义域分别是12,D D，那么在它们f x，()的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2.单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
1第二讲 函数的性质（一）一、函数的单调性1．单调函数的定义2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3、单调性的判定方法（1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2；○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 4、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数二、函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 强调 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2．函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．三、例题讲解例1、证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．练习1．判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．练习2（图像法）．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)[例2] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.练习3．(1)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.四、随堂练习1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的（ ）A ．y ＝B ．y ＝3x 2＋1 C ．y ＝2xD ．y ＝|x |2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)， 当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且 (x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 4.如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 ( )A ．(8，＋∞)B ．[8, ＋∞)C ．(∞,8)D ．(∞,8]5．函数y ＝x 2＋2x －3的单调递减区间为( )A ．(－∞，－3]B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[－3，－1]6.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________. 7.已知函数2(1)21f x x x x +=+-，[1，2]，则()f x 是 (填序号).①[1，2]上的增函数； ②[1，2]上的减函数； ③[2，3]上的增函数； ④[2，3]上的减函数.8．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上) 9．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)．若a >0，则f (x )的定义域是________. 10．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．11．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (0)的值； (2)求f (x )的最大值.12．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n 总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论．五、课后练习（一）1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．函数f (x )＝11－x 1－x 的最大值是( )A.45B.54C.34D.434．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是______． 六、课后练习（二）1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．253．(佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增4．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A ．f (4)>f (－6)B ．f (－4)<f (－6)C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 26.函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．若函数y ＝|2x－1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 8．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 9．求下列函数的单调区间：y ＝－x 2＋2|x |＋1；10．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．11．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．12．求函数f (x )＝x 2＋x －6的单调区间．13．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数m ，n ，总有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.(1)试求f (0)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明你的结论；。
