高考数学一轮复习 2.2函数的基本性质

§2.2 函数的基本性质探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的单调性及最值理解函数的单调性,最大(小)值及其几何意义 2017课标全国Ⅰ,9,5分 函数单调性 函数图象的对称性★★★2017课标全国Ⅱ,8,5分 函数单调性 — 2019课标全国Ⅲ,12,5分 函数单调性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简单函数的奇偶性2018课标全国Ⅲ,16,5分 函数奇偶性 对数运算 ★★☆ 2017课标全国Ⅱ,14,5分 函数奇偶性 求函数值 2019课标全国Ⅱ,6,5分 函数奇偶性 求函数解析式函数的周期性 函数的周期性2018课标全国Ⅱ,12,5分函数周期性—★★☆分析解读本节在高考中多以选择题、填空题的形式出现,分值为5分左右,属于中低档题.函数的奇偶性、周期性、单调性的综合应用是近几年高考的热点,复习时应给予关注.破考点 练考向 【考点集训】考点一 函数的单调性及最值1.(2018陕西汉中第一次检测,3)下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是( ) A.y=1x -2B.y=lo g 12(2-x) C.y=(12)x -2D.y=√2-x答案 B2.(2019广东清远期末,7)已知函数f(x)在R 上单调递减,且a=33.1,b=(13)π,c=ln 13,则f(a), f(b), f(c)的大小关系为( ) A. f(a)>f(b)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(c)>f(a)>f(b) D. f(c)>f(b)>f(a) 答案 D3.(2020届河南十所名校阶段性测试,10)已知函数f(x)=x(e x -e -x ),若f(2x-1)<f(x+2),则x 的取值范围是( ) A.(-13,3) B.(-∞,-13) C.(3,+∞) D.(-∞,-13)∪(3,+∞) 答案 A考点二 函数的奇偶性1.(2019河北唐山二模,5)已知函数f(x)={x 2-ax,x ≤0,ax 2+x,x >0为奇函数,则a=( )A.-1B.1C.0D.±1答案A2.(2018福建福安一中测试,8)已知f(x)=x 2-3x+2x2+2,若f(a)=13,则f(-a)=()A.13B.-13C.53D.-53答案C3.(2018江西师范大学附属中学4月月考,10)若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图象的对称轴是()A.x=-1B.x=0C.x=12D.x=-12答案A考点三函数的周期性1.(2019湖南永州第三次模拟,7)已知f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,则f(2019)的值为()A.-1B.0C.1D.2答案C2.(2019江西临川第一中学期末,4)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则f(132)=()A.-94B.-14C.14D.94答案D3.(2020届河南安阳模拟,9)定义域为R的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(2)=2018,则f(2018)+f(2016)=()A.2018B.2020C.4034D.2答案A炼技法 提能力 【方法集训】方法1 函数单调性的解题方法1.(2018衡水金卷信息卷(二),4)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 3B.y=x 14C.y=|x|D.y=|tan x|答案 C2.(2019湖北武汉4月调研,7)已知a>0且a ≠1,函数f(x)={a x ,x ≥1,ax +a -2,x <1在R 上单调递增,那么实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]答案 D3.(2020届吉林第一中学调研,12)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若对任意x ∈[1,+∞),都有f(x+a)≤f(2x-1)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[-2,0] B.(-∞,-8] C.[2,+∞) D.(-∞,0] 答案 A方法2 判断函数奇偶性的方法1.(2019辽宁顶级名校联考,5)设函数f(x)=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A.|f(x)|是偶函数B.-f(x)是奇函数C.f(x)·|f(x)|是奇函数D.f(|x|)·f(x)是偶函数答案 D2.(2019江西吉安一模,12)已知函数f(x)=[(ln3)x -1(ln3)x]·x 3,且f(x-2)>0,则实数x 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)答案 C3.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数 C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数答案 ABC方法3 函数性质的综合应用的解题方法1.(2018河南顶级名校测评,5)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=x(1+x),则f (-92)=( ) A.-34B.-14C.14D.34答案 A2.(2018河南顶级名校测评,10)设函数f(x)=lg(1+2|x|)-11+x 4,则使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1) B.(-1,32) C.(-∞,32) D.(-∞,-1)∪(32,+∞) 答案 D3.(2019福建龙岩期末,9)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1, f(5)=a 2-2a-4,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案 A【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2019课标全国Ⅲ,12,5分)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A. f (log 314)>f(2-32)>f(2-23) B. f (log 314)>f(2-23)>f(2-32) C. f(2-32)>f(2-23)>f (log 314) D. f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 答案 C2.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案 C考点二 函数的奇偶性1.(2019课标全国Ⅱ,6,5分)设f(x)为奇函数,且当x ≥0时, f(x)=e x -1,则当x<0时, f(x)=( ) A.e -x -1 B.e -x +1 C.-e -x -1 D.-e -x +1答案 D2.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= . 答案 -23.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时, f(x)=2x 3+x 2,则f(2)= . 答案 12考点三 函数的周期性(2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2D.50答案 CB 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2019北京,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 12 B.y=2-x C.y=lo g 12xD.y=1x答案 A2.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D考点二 函数的奇偶性1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R 上是增函数.若a=-f (log 215),b=f(log 24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b答案 C2.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是( ) A.(-∞,12)B.(-∞,12)∪(32,+∞)C.(12,32) D.(32,+∞) 答案 C3.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin 2x B.y=x 2-cos x C.y=2x +12x D.y=x 2+sin x答案 D4.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=ln x B.y=x 2+1 C.y=sin x D.y=cos x答案 D考点三 函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( ) A.-2B.-1C.0D.2答案 D2.(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x ∈[-3,0]时, f(x)=6-x ,则f(919)= . 答案 63.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x ,则f (-52)+f(2)= . 答案 -2C组教师专用题组考点一函数单调性及最值1.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C2.(2014北京,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案B3.(2014湖南,4,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-xx2答案A4.(2014天津,12,5分)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是.答案(-∞,0)考点二函数的奇偶性1.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=e xC.y=cos xD.y=e x-e-x答案D2.(2014广东,5,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-1B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x2x答案A3.(2014重庆,4,5分)下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案D4.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案35.(2014湖南,15,5分)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=.答案-32考点三函数的周期性1.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案D2.(2013湖北,8,5分)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数答案D3.(2014安徽,14,5分)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1-x), 0≤x ≤1,sin πx,1<x ≤2,则f (294)+f (416)= . 答案516 4.(2014四川,13,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则 f (32)= .答案 1【三年模拟】时间:45分钟 分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019湖南百所重点名校大联考,10)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足当x ≥0时, f(x)=log 2(x+2)+x+b,则|f(x)|>3的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-2,2) D.(-4,4) 答案 A2.(2019湖南郴州第二次教学质量检测,9)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )A.[-1,23] B.[-1,13] C.[-1,1] D.[13,1]答案 B3.(2018四川德阳测试,10)已知f(x)=x 3,当x ∈[1,2]时,f(x 2-ax)+f(1-x)≤0,则a 的取值范围是( ) A.a ≤1 B.a ≥1 C.a ≥32D.a ≤32答案 C4.(2018安徽宣城第二次调研,11)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( ) A. f (32)<f (-14)<f (14) B. f (14)<f (-14)<f (32) C. f (32)<f (14)<f (-14) D. f (-14)<f (32)<f (14)答案 C5.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,11)已知函数f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+mx,x <0是奇函数,且在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3]B.[1,3)C.(1,3)D.[1,3]答案 A6.(2019湖南衡阳二模,10)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域,则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数y=2|x|-1,y=x 21+x 2,y=x 22+cos x-1中,与函数f(x)=x 4不是亲密函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)7.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x2+x为奇函数,则a= .答案 28.(2019安徽马鞍山一模,13)若函数f(x)=e x -e -x ,则不等式f(2x+1)+f(x-2)>0的解集为 . 答案 (13,+∞)三、解答题(共25分)9.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论. ①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线; ②f(x)是偶函数;③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数; ④f(x)恰有2个零点.答案 试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求. 可取f(x)=|x 2-1|.①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线. ②因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.③当0<x<1时, f(x)=1-x 2, f(x)是减函数;当x>1时, f(x)=x 2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上不是单调函数. ④f(x)=0恰有两个根x 1=-1,x 2=1,因此f(x)恰有2个零点.10.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,21)设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0. (1)求f (12)的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明; (3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.答案 (1)对于任意x,y ∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y),∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,当x=2,y=12时,有f (2×12)=f(2)+f (12), 即f(2)+f (12)=0,又f(2)=1,∴f (12)=-1. (2)f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下: 设任意x 1,x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)+f (x 2x 1)=f(x 2), 即f(x 2)-f(x 1)=f (x 2x 1),∵0<x 1<x 2,∴x 2x 1>1,故f (x 2x 1)>0, 即f(x 2)>f(x 1),故f(x)在(0,+∞)上为增函数. (3)由(1)知,f (12)=-1,∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f (12)=f (8x -62)=f(4x-3), ∴f(2x)>f(4x-3).∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,∴{2x >4x -3,4x -3>0,解得34<x<32,∴原不等式的解集为{x |34<x <32}.。

第2课时函数的奇偶性与周期性课程标准有的放矢1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.必备知识温故知新【教材梳理】1.函数的奇偶性名称偶函数奇函数定义一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数且，那么函数就叫做奇函数图象特点关于轴对称关于原点对称2.函数的周期性一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.3.函数奇偶性的重要性质（1）具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件.（2）为偶函数.（3）若奇函数在处有定义，则0.（4）若既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在轴上.（5）若函数为奇函数，且在上单调递增（减），则在上单调递增（减）；若函数为偶函数，且在上单调递增（减），则在上单调递减（增）.（6）奇、偶函数的“运算”（共同定义域上）:奇奇奇，偶偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇.（7）常用的两个等价关系.①为偶函数的图象关于直线对称.②为奇函数的图象关于点对称.常用结论1.函数周期性的几个常用结论（1）周期函数的定义域必定至少一端是无界的.（2）是的周期，则也是的周期.（3）若函数是周期函数，且周期为，则函数也为周期函数，且周期.（4）以下等式中任何一个可推得为的周期;；；.2.常见抽象函数及其原型（1），原型为一次函数.（2）以及，原型为幂函数.（3）以及，原型为指数函数，且.（4）以及，原型为对数函数，且.（5），原型为余弦函数.自主评价牛刀小试1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）定义在上的函数满足,则是偶函数. （×）（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点. （×）（3）若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.（√）（4）函数在定义域上满足，则是周期为的周期函数. （√）（5）偶函数在上单调递增，则在上单调递减. （√）2. 【多选题】下列函数是偶函数的是（AD）A. B.C. D.解：为偶函数，故正确.为奇函数，故错误.的定义域为，不是偶函数，故错误.函数的定义域为，且，所以为偶函数，故正确.故选.3. 已知函数对于任意实数满足条件，若，则（B）A. B. C. D. 2解：由题意，知的周期是4.所以.故选.4. [2023年全国甲卷]若为偶函数，则2．解：（方法一）因为为偶函数，所以，即.则，故，检验知符合题意.故．（方法二）.因为,都是偶函数，所以也为偶函数，故，.故填2.。

专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是() (1）若函数y=f(x）在[1，+∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，+∞).(2）对于函数f（x），x∈D,若对任意x1，x2∈D(x1≠x2）,有（x1-x2）［f（x1）-f（x2)］〉0,则函数f（x）在区间D上是增函数。

(3)若函数y=f（x+a)是偶函数,则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。

（4）若函数y=f(x+b）是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点（b,0)中心对称。

(5)已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数,若f（x）在(-∞,0)上是减函数，则f（x）在(0，+∞)上是增函数。

(6)若T为函数y=f(x）的一个周期，那么nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期。

A.3 B。

4 C.5 D。

62。

［2019北京，3,5分]［文］下列函数中,在区间（0,+∞)上单调递增的是(）A。

y=x12 B.y=2-xC.y=lo g12x D.y=1x3.[2019全国卷Ⅱ，6,5分]［文］设f（x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x—1，则当x<0时，f（x）=()A .e —x —1B .e -x +1C .—e —x —1 D.—e -x +14.［2020山东，8,5分］若定义在R 的奇函数f (x )在（—∞,0）上单调递减，且f (2)=0，则满足xf （x —1)≥0的x 的取值范围是( )A.［—1，1]∪［3，+∞）B.［-3,-1］∪［0,1] C 。

[—1,0]∪[1，+∞） D 。

［-1,0］∪[1，3］5.［2021大同市调研测试］已知函数f （x ）=ax 3+b sin x +c ln(x +√x2+1)+3的最大值为5,则f （x )的最小值为 ( ）A.—5 B 。

1 C .2 D.36.[2020福州3月质检]已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称。

2.2函数的基本性质考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11−B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D选项A中,y=11−=1-(t1)的图象是将y=-1的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.评析本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(),1 B.-∞C.-13D.-∞∞答案A当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+2,∴f'(x)=11++2(1+2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sinx+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称答案D对于A,令sinx=t,t∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+1,当t∈(0,1]时,g(t)=t+1≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数,∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误;对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B错误;对于C,f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-p=-sinx-1sin≠f(x),故C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-p=sinx+1sin=f(x),故f(x)的图象关于直线x=π2对称,故D正确.故选D.5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)3C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x),由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3=13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.指数函数y=a x(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减.幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin xC.y=2x+22-xD.y=ln x+4ln答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x=+4,t∈(0,1],易知y=t+4在(0,1]上单调递减,故t=1时,y min=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4,t>0,易知y=t+4在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,y min=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+4ln=+4,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=t1(x≥2)的最大值为.答案2解析解法一:∵f'(x)=-1(t1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法二:∵f(x)=t1=t1+1t1=1+1t1,∴f(x)的图象是将y=1的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得f(x)=1+1t1.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1t1≤1,∴1<1+1t1≤2,即1<t1≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.9.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=2,x≤1,+6-6,x>1,则f(f(-2))=,f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x≤1时,f(x)=x2≥0,当x>1时,f(x)=x+6-6≥26-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.考点二函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B 项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−1+,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2r1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A,f(x-1)-1=2-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=2,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=−2K2r2,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=2r2,此函数为非奇非偶函数,故选B.5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则() A.-94 B.−32 C.74 D.52答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及.解析由题知o−+1)=−o+1),o−p=o+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), o−+2)=o+2),即o−p=−o+2),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得=−2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以=2=−==−=−(−2)×+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②==−由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以=−(−2)×+2=52.6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若2,g(2+x)均为偶函数,则() A.f(0)=0 B.g−C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(πx),则g(x)=f'(x)=πcos(πx),由于2=sin22π=-cos(2πx),g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以2,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.由于22是奇函数,即2是奇函数,则,注意到g(2+x)是偶函数,于是g−=2=−2=-g−32+22=2=2=2=,故选项B正确.由2=2,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知2=2⇔=⇔f(-x)=f(3+x)①,取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对①两边求导知-f'(-x)=f'(3+x)⇔f'(-x)=-f'(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-32,知.g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g−=2=,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.7.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(1+2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-2解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(1+2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.解题关键观察出函数g(x)=ln(1+2-x)为奇函数.8.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.9.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是.答案解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.10.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.11.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=2+1+2x+sin2+1=1+2rsin2+1,令g(x)=2rsin2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.12.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2a-12=−−2,∴a=1.当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.13.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln b是奇函数,则a=,b=.答案-12;ln2解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x ≠1,∴x ≠-1,即当x =-1时,,∴a +12=0,∴a =-12,此时f (x )b ,∵f (x )为奇函数且在x =0处有意义,∴f (0)=0,即+=ln 12+b =0,∴b =-ln 12=ln 2.综上可知,a =-12,b =ln 2.考点三函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,ft 则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D 当x>12时,由ft f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2021全国甲文,12,5分)设f (x )是定义域为R 的奇函数,且f (1+x )=f (-x ).若f −=13,则()A.-53B.−13C.13D.53答案C 解题指导:求出函数f (x )的周期再进行转化,即可求解.解析由f (1+x )=f (-x ),且f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (1+x )=f (-x )=-f (x ),所以f (2+x )=-f (1+x )=f (x ),所以f (x )的周期为2,则=2=−=13,故选C .知识延伸:若函数f (x )为奇函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为2a ;若函数f (x )为偶函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为a.3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221i f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A 令y =1,得f (x +1)+f (x -1)=f (x )①,故f (x +2)+f (x )=f (x +1)②.由①②得f (x +2)+f (x -1)=0,故f (x +2)=-f (x -1),所以f (x +3)=-f (x ),所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),所以函数f (x )的周期为6.令x =1,y =0,得f (1)+f (1)=f (1)·f (0),故f (0)=2,同理,令x =1,y =1,得f (2)=-1;令x =2,y =1,得f (3)=-2;令x =3,y =1,得f (4)=-1;令x =4,y =1,得f (5)=1;令x =5,y =1,得f (6)=2.故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=0,所以∑=221i f (k )=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-3.故选A .4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221i f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 由y =g (x )的图象关于直线x =2对称,得g (2+x )=g (2-x ),故g (x )=g (4-x ),由g (x )-f (x -4)=7,得g (2+x )-f (x -2)=7①,又f (x )+g (2-x )=5②,所以由②-①,得f (x )+f (x -2)=-2③,则f (x +2)+f (x )=-2④,所以由④-③,得f (x +2)=f (x -2),即f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.对于④,分别令x =1,2,得f (1)+f (3)=-2,f (2)+f (4)=-2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-4.对于①,令x =-1,得g (1)-f (-3)=7,则g (1)-f (1)=7⑦,对于②,令x =1,得f (1)+g (1)=5⑧,由⑦⑧,得f (1)=-1.对于②,令x =0,得f (0)+g (2)=5,又g (2)=4,所以f (0)=1.对于③,令x =2,得f (2)+f (0)=-2,所以f (2)=-3.则∑=221i op =5×(-4)+f (1)+f (2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D .5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f +f(1)=.答案-2解析∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f-412=-2.∴f-6.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案6解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判断:一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;若f(x+T)=1op(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.7.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=o1-p,0≤x≤1,sinπs1<≤2,则.答案516解析依题意得8=f=-34×14=-316,f8=-sin7π6=sinπ6=12,因此=-316+12=516.。