苏汝铿量子力学讲义 第二章 波函数和Schroinger方程

e2 1 8a n2
a
2
me2
e2
e2 4
E
1 me4 1 2 2 ( px py ) 2m 32 2 n2
基态能量为： E
me4 32 2
对应波函数为： 100 ( x, y, z )
2z a

3 2
e

z a
0 z 0 dx3 100 100 z
2m(U 0 E ) 2
可解得径向部分的波函数是
R(r ) Akl jl (kr) (r a) (1) R(r ) Bk l hl (ik r ) (r a)
(1) 式中 jl (r ) 为球贝塞尔函数, hl (ik r ) 为球汉克尔函数
利用在 r a 处波函数 (r ) 及波函数的一阶微商 (r ) 都连续
x2 y 2 2 xy 2 (1 ) 2 (1 )
进行变量代换后的薛定谔方程为：

2 2 2 2 2 2 A 2 2 2 (1 ) (1 ) B( z 2 z ) E 2m z
2.24
2z 4 3 6 2 3 a z e dz a a3 2 me2 0
一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z ) A( x 2 y 2 2 xy) B( z 2 2 z ) ，其中 A 0 ， B 0 ， 1 ， 是任意
1 x x x 2 ( ) 则 1 ( ) 2 y y y

2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119

2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz


0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz

1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2

2.19~2.212.19设势场为22()/U r Br A r =+， （A 、0B >），求粒子的能量本征值。

解波函数可写为(,,)()(,)lm r R r Y ψθϕθϕ= 代入球坐标下的定态Schroedinger 方程22222211[()(sin )]()2sin sin r U r E mr r r θψψθθθθϕ⎧⎫∂∂∂∂∂-+++=⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭分离变量可得径向部分方程为2222222(1)()22d dR A l l r Br R ER mr dr dr r m r ⎡⎤+-+++=⎢⎥⎣⎦ 即2222221()(1)22d dR r Br A l l R ER mr dr dr r m ⎧⎫⎡⎤⎪⎪-++++=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭与三维各向同性谐振子径向部分Schroedinger 方程相似:22222221()(1)222d dR r m r l l R ER mr dr dr mr ω⎧⎫''-+++=⎨⎬⎩⎭ 令22212(1)(1)22B m A l l l l m m ω⎧=⎪⎪⎨⎪''++=+⎪⎩解得 222121()22B m m A l l ω⎧=⎪⎪⎨⎪'=±++-⎪⎩三维各向同性谐振子 能量本征值为2AB 1/4(/)A B3()2E N ω=+ 其中2r N n l '=+,,0,1,2,r n l '=（……） 故本题所求能量本征值为223(2)221322228422r n r r r r E n l m A B n m B m A n m ω'=++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,0,1,2,r n l =（……）2.20 一个质量为m 的粒子被限制在半径为r a =和r b =的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势场。

求粒子的基态能量和基态波函数。

2.13 求势场 U ( x)
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)

（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0