三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)

三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，1与2互补.

(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF与EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GHEG，求证：//PFGH.

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使PHKHPK，作PQ平分EPK，求HPQ的度数.

【答案】(1)AB//CD，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，即可证明；

（2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG⊥PF，再结合GH⊥EG，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-12∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

(1)//ABCD，

理由如下：如图1，

图1

∵1与2互补，

∴12180，

又∵1AEF，2CFE，

∴180AEFCFE，

∴//ABCD；

(2)如图2，由(1)知，//ABCD，

图2

∴180BEFEFD．

又∵BEF与EFD的角平分线交于点P，

∴1(2)90FEPEFPBEFEFD，

∴90EPF，即EGPF．

∵GHEG，

∴//PFGH；

(3)如图3，

∵PHKHPK，

2PKGHPK.

又∵GHEG，

∴90902KPGPKGHPK．

∴180902EPKKPGHPK．

∵PQ平分EPK，

∴1452QPKEPKHPK．

∴45HPQQPKHPK．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）∠ABC＋∠ADC＝ °；

（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；

（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝14∠CDN，∠CBE＝14∠CBM），试求∠E的度数．

【答案】（1）180°；（2）DE⊥BF；（3）450

【解析】

【分析】

（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；

（2）延长DE交BF于G，根据角平分线的定义可得∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，然后求出∠CDE=∠CBF，再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°，最后根据垂直的定义证明即可；

（3）先求出∠CDE+∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

（1）解：∵∠A=∠C=90°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°；

故答案为180°；

（2）解：延长DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，

即DE⊥BF；

（3）解：由（1）得：∠CDN+∠CBM=180°，

∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角，

∴∠CDE+∠CBE=14×180°=45°，

延长DC交BE于H，

由三角形的外角性质得，∠BHD=∠CDE+∠E，∠BCD=∠BHD+∠CBE，

∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E，

∴∠E=90°-45°=45°

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．

3．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．

（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；

（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；

（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．

【答案】(1) 111º ；(2) ∠A－∠C=2∠P,理由见解析；(3) ∠A+∠C=2∠P,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）延长AD交BC于E，利用三角形外角的性质即可求解；

（2）∠A－∠C=2∠P，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和以及（1）结论即可求解；

（3）∠A+∠C=2∠P，由（2）结论以及角平分线的性质即可得到.

【详解】

（1）如图1,延长AD交BC于E，

在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，

在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；

（2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：

如图2，

∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3

∴∠A+∠1=∠P+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠A+∠2=∠P+∠4

由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C

∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C

∴∠A－∠C=2∠P

（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:

如图3,

同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2

∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3

∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC

∴ ∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3

∴∠A+∠C=2∠P

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．

4．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ（其中∠X=90°）放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过B，C两点，且直角顶点X在△ABC内部．

①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；

②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．

（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．

【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°

【解析】

试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX的度数；

②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论．

（2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°．

（1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °；

∠XBC+∠XCB= 90 °；

②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以）

证明：∵∠X=90°

∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90°

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°，

∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°，

∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA）

（2） ∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．

点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．

5．如图1：ABC中，AD是高，AE是BAC的平分线，=40=70ABCACB，．

（1）求EAD的度数

（2）当==ABCACB，，请用，表示EAD，并写出推导过程

（3）当AE是BAC的外角FAC的平分线，如图2则此时EAD的度数是多少，用,表示，直接写出结果．

【答案】（1）15o;(2) -2EAD;(3) 902EAD

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到结果．

（2）猜想∠DAE=12（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD和∠BAE的度数，二者做差即可得出结论；

（3）作∠BAC的内角平分线AE′，根据角平分线的性质求出∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=12∠CAB+12∠CAF=90°，进而求出∠DAE的度数.

【详解】

解:（1）40,70,ABCACB

180704070BAC,