【精选】北师大版八年级数学上册 三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
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【精选】北师大版八年级数学上册 三角形解答题单元复习练习(Word版 含答案)
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45°
【解析】
【分析】
（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解；
②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论..
【详解】
（1）如图1，①∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠ABE＝12∠ABO＝30°，∠BAE＝12∠BAO＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．
②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣12∠ABO﹣12∠BAO
＝180°﹣12（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣12×90°＝135°．
（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝12（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，
又∵∠BOA＝90°，
∴∠GAO＞90°，
①∵∠E＝13∠EAF＝30°，
∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，
∴∠OAE＝15°，
∠OAE＝12∠BAO＝12（90﹣∠ABO）
∴∠ABO＝60°．
②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90°
∴∠E+∠F=90°
∴∠E=22.5°
∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45°
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.
2．（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则∠O=
°，
（2）如图2，若∠B=α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O的大小；
（3）如图3，若∠B=α，11,PACDACPCAEnnAC，则∠P= （用含α的代数式表示）．
【答案】（1）∠O=60°；（2）90°－12；（3）11(1)180Pnn
【解析】
【分析】
（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；
（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O的大小；
（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022（），再将2替换成n即可分析求解.
【详解】
解：（1）因为∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，且∠B=60°，
所以18060120OACOCA，
有∠O=18012060°.
（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β
∵CO平分∠ACE
11()22ACOACE
同理可得：1()2CAO
∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，
∴11180180()()22OACOCAO
1180()2111180()1809090222；
（3）∵∠B=α，11,PACDACPCAEnnAC，
由（2）可知n=2时，有∠P=1180902=111-18022（），将2替换成n即可，
∴11(1)180Pnn.
【点睛】
本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.
3．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）13或73
【解析】
【分析】
（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM
的值即可.
【详解】
（1）∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，∠ABC=50°，
∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°﹣45°=20°；
②如图：
∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）有两种情况：
①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=（1003）°，∠PBG=（503）°，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（1003+25）°=（1753）°，
∴∠ABM：∠PBM=（1753）°：25°=73；
②当M在BC的上方时，如图：
同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（1003﹣25）°=（253）°，
∴∠ABM：∠PBM=（253）°：25°=13；
综上，∠ABM：∠PBM的值是13或73．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.
4．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为： .
【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．
【解析】
试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；
（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．
试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，
∵∠C＝90°，∠α＝50°，
∴∠1＋∠2＝140°，
故答案为140；
（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，
∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.
故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.
（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，
设DP与BE的交点为M，
∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.
（4）如图④，
设PE与AC的交点为F，
∵∠PFD＝∠EFC，
∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α.
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α
点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.
5．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．
（1）当∠BAC=40°时，∠BPC= ，∠BQC= ；
（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；
