圆锥曲线焦点公式(一)

圆锥曲线的极坐标方程

极坐标处理二次曲线问题教案

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： cos1eep.

其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．

当0＜e＜1时，方程表示椭圆；

当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cosepe

则0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆

当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线

当e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sinepe

当 0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）1+sinepe

当 0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

当 e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线

例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.确定方程1053cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos1cos55

31053eP，

2332555851015103383cacaabaccc

2225155()()882b

31554e方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长

解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问

题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知

识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命

题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也

有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家

交流。

定理1

已知点是离心率为

的圆锥曲线的焦点，

过点

的弦

与的焦点所在

的轴的夹角为

，且。（1

）当焦点

内分弦

时，有；

（2

）当焦点

外分弦

时（此时曲线为双曲线），有。

证明

设直线

是焦点

所对应的准线，点

在直线

上的射影分别为

，点

在直

线上的射影

为。由圆锥曲线的统一定义得

，，又

，所以。

（1）

当焦点

内分弦时。

如图1

，，所以

。

图1

（2）

当焦点

外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2

，，所以

。

图2

评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，

这一点很容易不加区别而出错。

例1（2009

年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点

为

，过

且斜率为

的直线交

于

两点。若

，则的离心率为（ ）

解

这里

，所以

，又

，代入公式得，所

以

，故选。

例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）

已知椭圆的离心

率为。

过右焦点且斜率为

的直线于

相交于两点，

若，

则

（ ）

解

这里

，，

设直线

的倾斜角为，

代入公式得，所以

，所以

，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15

题）过抛物线

的焦点作倾斜角为

的直线，与抛物线交于

两点（点

在

轴左侧），则有＿＿＿＿

图3

解 如图3，

由题意知直线

与抛物线的地称轴的夹角，

当点

在轴左侧时，

设

，又

，代入公式得

，解得

，所以。

例4 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16

题）已知

是椭圆

的一个焦点，是短轴的

一个端点，线段

的延长线交

于点

，且

，则的离心率为＿＿＿

解

设直线

与焦点所在的轴的夹角为

圆锥曲线公式大全

1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

椭圆定义

焦点位置椭圆的图象和性质

若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|+|MF2|=2a

x轴

y

图形oxy轴

y

ox

标准方程

焦点坐标

焦距

顶点坐标

a,b,c的关系式

长、短轴

对称轴

离心率

范围x2y2212ab

F1(c, 0 ), F2( c, 0 )

|F1F2| = 2c

(a, 0 ), ( 0,b )

a2 = b2 + c2y2x2212ab

F1(0,c, ), F2( 0, c )

(0,a ), (b, 0 )

长轴长=2a,短轴长=2b，长半轴长=a,短半轴长=b

无论椭圆是x型还是y型，椭圆的焦点总是落在长轴上

关于x轴、y轴和原点对称

ec( 0

axa,byb

2bxb，aya

22、判断椭圆是x型还是y型只要看x对应的分母大还是y对应的分母大，若x对应的分

母大则x型，若y对应的分母大则y型.22

x2y23、求椭圆方程一般先判定椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为221，若为yab

y2x222型则可设为221，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：mxny1ab

4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

双曲线的图象和性质若M为双曲线上任意一点，则有MF1MF22a(2a<2c)

双曲线定义若MF1MF22a=2c,则点M的轨迹为两条射线

若MF1MF22a>2c,则点M无轨迹

焦点位置x轴y轴

图形

标准方程

焦点坐标

焦距

顶点坐标(a, 0 )x2y2212ab

F1(c, 0 ), F2( c, 0 )

|F1F2| = 2cy2x2212ab

F1(0,c, ), F2( 0, c )

(0,a )

a,b,c的关系式椭圆形状长的像a,所以a是老大，a2 = b2 + c2；

双曲线形状长的像c,所以c是老大，c2 = a2 + b2

实轴、虚轴

对称轴

离心率

范围

渐近线实轴长=2a,虚轴长=2b，实半轴长=a,虚半轴长=b

《圆锥曲线公式汇总》

《圆锥曲线公式汇总》

一、椭圆

1. 标准方程：a2x2+b2y2=1 (焦点在x轴上，a>b>0；焦点在y轴上，b>a>0)

2. 焦点坐标：F1(−c,0)，F2(c,0) (c为焦距的一半，c2=a2−b2)

3. 离心率：e=ac (0

4. 焦点到曲线上任意一点的距离之和：PF1+PF2=2a

5. 焦点到曲线上任意一点的距离之差：∣PF1−PF2∣=2a2−b2

6. 曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比：dPF=e (d为准线到原点的距离)

7. 准线方程：x=±ca2 (焦点在x轴上)；y=±ca2 (焦点在y轴上)

8. 通径长（过焦点且垂直于长轴的弦长）：a2b2

9. 短轴端点到焦点的距离：a

10. 焦点三角形的面积：S=b2tan(2θ) (θ为焦点三角形的顶角)

二、双曲线

1. 标准方程：a2x2−b2y2=1 (焦点在x轴上，a>0,b>0)；a2y2−b2x2=1 (焦点在y轴上，a>0,b>0)

2. 焦点坐标：F1(−c,0)，F2(c,0) (c为焦距的一半，c2=a2+b2)

3. 离心率：e=ac (e>1)

4. 焦点到曲线上任意一点的距离之差的绝对值：∣PF1−PF2∣=2a

5. 焦点到曲线上任意一点的距离之和：PF1+PF2=2a2+b2

6. 曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比：dPF=e (d为准线到原点的距离)

7. 准线方程：x=±ca2 (焦点在x轴上)；y=±ca2 (焦点在y轴上)

8. 通径长（过焦点且垂直于实轴的弦长）：a2b2 9. 实轴端点到焦点的距离：c−a

10. 焦点三角形的面积：S=tan(2θ)b2 (θ为焦点三角形的顶角)

三、抛物线

1. 标准方程：y2=4px (焦点在x轴上，p为焦准距)；x2=4py (焦点在y轴上，p为焦准距)

2. 焦点坐标：F(2p,0) (焦点在x轴上)；F(0,2p) (焦点在y轴上)