圆锥曲线焦点弦公式

三种圆锥曲线的弦长公式

介绍

圆锥曲线是椭圆以外的另一种类型曲线，其中有三种关键。它们分别是锥形曲线、圆台曲线和高斯曲线。这三种曲线使用了非常关键的弦长公式来进行计算。

首先，锥形曲线的弦长公式为L=2π√a2+b2-2a2cosθ，其中a和b分别代表锥形曲线的焦距和顶点角。θ表示弦的角度。

其次，圆台曲线的弦长公式为L=2π(a2+b2-2abcosθ)，其中a和b分别代表圆台曲线的焦距和Fourier角。θ 表示弦的角度。

最后，高斯曲线的弦长公式为L=4π√a2+b2-2abcosθ+2abcos2θ，其中a和b分别代表高斯曲线的焦距和穹角。θ表示弦的角度。

以上就是三种圆锥曲线的弦长公式。锥形曲线的公式表示弦的长度取决于顶点角和焦距，而圆台曲线的公式则表示弦的长度取决于Fourier角和焦距，最后，高斯曲线的公式则表示弦的长度取决于穹角和焦距。这三种圆锥曲线的弦长公式在计算曲线上每点的坐标时都非常有用，有助于我们更好地理解图形。

1

第9讲 两套抛物线的焦半径与焦点弦公式

知识与方法

1.设点()

00,Pxy在抛物线上，()

11,Axy、()

22,Bxy，AB是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：

标准方

程 22ypx=()0p 22ypx=()0p ()220xpyp= ()220xpyp=−

图形

焦半径

公式 02pPFx=+ 02pPFx=− 02pPFy=+ 02pPFy=− 焦点弦公式 12ABxxp=++ ()

12ABpxx=−+ 12AByyp=++ ()

12ABpyy=−+

2．如图，设抛物线22ypx=()0p的焦点为F，AB为抛物线的一条焦点弦，

AFO=．则抛物线的“角版”焦半径、焦点弦、面积公式如下： ①

1cospAF

=

+；②22

sinpAB

=；③2

2sinAOBpS

=.

典型例题

【例1】抛物线22ypx=()0p的焦点为F，点()1,Pm在抛物线上，且3PF=，则p=______.

【解析】由焦半径公式，

1

3

4

2pPFp=+==

【答案】4

变式1 抛物线24xy=−的焦点为F，点A在抛物线上，且4AF=，则点A的坐标为______.

【解析】设()

00,Axy，则()20000143122323,3AFyyxxP=−==−==−.

【答案】()23,3−

变式2 抛物线2:2Cyx=的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦

长为______.

【解析】解法1：由题意，1,0

2F

，设1:3

2lyx=−，代入22yx=整理得：23350

4xx−+=，

设两根为1x和2x，则125

3xx+=，故直线l被抛物线C截得的弦长1281

3Lxx=++=.

2

解法2：直线l被抛物线C截得的弦长22228

sinsin603pL

===

.

【答案】8

3

变式3 抛物线2:2Cyx=的焦点为F，过F且斜率为2的直线被抛物线C截得的弦长为

中学教学参考　复习指津　

圆锥曲线焦点弦的六个性质　

广西贺州高级中学（５４２８００）　莫记福　

高中所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的焦　

点弦有许多共同的性质，本文研究其中的六个性质及其　

简洁证明，供读者参考．首先要指出的是，本文研究的双　

曲线的焦点弦是指过焦点且端点在同一支上的弦．　

性质一：圆锥曲线过焦点的所有弦中，通径最短．　

～２　．．２　对于椭圆，证明如下：如图１，设椭圆方程为　＋芬　“　＝１（ａ＞ｂ＞０），右焦点为Ｆ（ｃ，０），右准线Ｚ的方程为ｚ一　

，．２　，ｚ与　轴交于点Ｅ，过焦点Ｆ作一直线与椭圆交于　Ｌ　Ａ、Ｂ两点，记ＡＢ的中点为Ｃ，分别过点Ａ、Ｂ、Ｃ作直线ｚ　

的垂线ＡＭ、ＢＮ、ＣＤ，垂足分别为Ｍ、Ｎ、Ｄ，则由椭圆的　第二定义得：　

Ｉ　ＡＢｌ—Ｉ　ＡＦ１＋ｌ　ＢＦｌ　

一（１ＡＭ｛＋ｌ　ＢＮ｛）ｅ　

一２　１　ＣＤ　１　ｅ≥２　ｌ　ＦＥ　ｌ　ｅ一　

２（　一ｃ）　ｃ　以　Ｊ　Ｚ　。～＼　Ｍ　Ｆ　ｏ　Ｄ　Ⅳ　日　

２　一　图１　

０１．２　当且仅当ＡＢ￣３７轴时，ｌＡＢｌ有最小值　，即通径　

最短．　对于双曲线和抛物线，证明类似．　

性质二：以椭圆的焦点弦为直径的圆与该焦点相应　

的准线相离；以双曲线的焦点弦为直径的圆与该焦点相　

应的准线相交；以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切．　

证明：设过焦点Ｆ的弦为ＡＢ，ＡＢ的中点为Ｃ，则以　

ＡＢ为直径的圆的圆心为Ｃ点，半径　一　，且Ｃ点　

到与焦点Ｆ相应的准线的距离ｄ一　幽一　

ｌＡＢｌ一，一　。　

对于椭圆，０％ｅ％１，因而ｄ＞ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相离；　

对于抛物线，Ｐ一１，因而ｄ＝ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相切；　

对于双曲线，ｅ＞ｌ，因而ｄ％ｒ，圆Ｃ与准线ｚ相交．　

性质三：设过圆锥曲线的焦点Ｆ的弦的端点Ａ、Ｂ　

在该焦点相应的准线上的射影分别为Ｍ、Ｎ，该准线与　

对称轴（椭圆为长轴，双曲线为实轴）的交点为Ｅ．若　

ＡＭ、ＢＮ相交，则交点平分ＥＦ．　２　．２　对于椭圆，证明如下：如图２，设椭圆方程为　＋繁　

圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用

◉浙江省诸暨市草塔中学　金铁强

椭圆、双曲线的焦点弦或焦半径的问题是解析几

何中的常规考点,很多老师在讲解的时候喜欢用“设

而不求”来解决问题．但用此法来处理焦点弦问题也有

其弊端,一是步骤过多,二是有些问题不能直接用此

法求解,必须再要用到“设而求之”才能解决．对于现在

的多变题型,已经达不到通解通法的要求,因此有必

要对圆锥曲线焦半径公式进行进一步的挖掘和整理,

才能适应当前高考题型的发展趋势,让学生能够更直

观地解题．

图１１焦点在x轴上的椭圆焦半径公式的推导及

应用

如图１,设椭圆E为x２a２＋

y２b２＝１(a＞b＞０),F１,F２为椭

圆E的焦点,PQ为椭圆E过

点F１的焦点弦．

当PQ垂直于x轴时,弦PQ为过F１的所有弦中

最短的一条,即通径,满足|PQ|＝２b２a;当PQ垂直于

y轴时,弦PQ为过F１的所有弦中最长的一条,即长

轴,满足|PQ|＝２a．除了这两条特殊的焦点弦,我们任

意作一条焦点弦,连接PF２,构成焦点三角形PF１F２,

令∠PF１F２为α,为焦点弦PQ的倾斜角．

设|PF１|＝x,则|PF２|＝２a－x．在△PF１F２中

由余弦定理得cosα＝x２＋(２c)２－(２a－x)２４xc．整理得

到x＝a２－c２a－c􀅰cosα＝b２a－c􀅰cosα,即|PF１|＝

b２a－c􀅰cosα．当α＝π２,０时,就是最短弦与最长弦．

同样地,在图１中,若我们连结QF２,构成焦点三

角形QF１F２,可得|QF１|＝b２a－c􀅰cos(π－α),即

|QF１|＝b２a＋c􀅰cosα,得到焦点弦|PQ|＝

b２a－c􀅰cosα＋b２a＋c􀅰cosα＝２ab２a２－c２􀅰cos２α．

这个公式把焦点弦分成上下两部分,每部分的焦

半径都有自己的表达式,这样对于条件运用可以更直接明了．

例１　设F１,F２分别为椭圆x２３＋y２＝１的左右焦

点,点A,B在椭圆上,若F１A→＝５F２B→,则点A的坐标是．