人教版数学高一A版必修一作业 1.奇偶性的应用
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一、选择题
1．设函数f(x)＝ x2＋x，x≥0，gx，x<0，且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
3．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(0,1) D．[－1,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数， 高中数学打印版
校对完成版本 所以f(x)在R上单调递增，
f(x)
故选A.
4．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
5．设f(x)是奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤m(m<0)，则f(x)的值域是( )
A．[m，－m] B．(－∞，m]
C．[－m，＋∞) D．(－∞，m]∪[－m，＋∞)
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的最值或值域
答案 D
解析 当x≥0时，f(x)≤m；
当x≤0时，－x≥0，
所以f(－x)≤m，因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)≤m，
即f(x)≥－m.
6．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 A
解析 f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所高中数学打印版
校对完成版本 以f(－1)＜f(1)＝f(3)．
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，fx－f－xx＜0，
即fxx＜0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x＞1时，f(x)＜0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x＜－1时，f(x)＞0.
综上使fxx＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
8．(2017·南阳检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)
D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0， 高中数学打印版
校对完成版本 又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)
∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)
二、填空题
9．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
答案 [0，＋∞)
解析 利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，
所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 13，23
解析 由于f(x)是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|)
再根据f(x)在[0，＋∞)上的单调性，
得|2x－1|<13，解得13
11．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3. 高中数学打印版
校对完成版本 ∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
三、解答题
12．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝ x2－2x＋3，x>0，0，x＝0，－x2－2x－3，x<0.
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
13．已知函数f(x)＝ax＋bx＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝52，f(2)＝174.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间0，12上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 高中数学打印版
校对完成版本 ∴－ax－bx＋c＝－ax－bx－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋bx.
又∵f(1)＝52，f(2)＝174，
∴ a＋b＝52，2a＋b2＝174.
∴a＝2，b＝12.
综上，a＝2，b＝12，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋12x.
函数f(x)在区间0，12上为减函数．
证明如下：
任取0
则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12x1－2x2－12x2
＝(x1－x2)2－12x1x2
＝(x1－x2)4x1x2－12x1x2.
∵0
∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在0，12上为减函数．
四、探究与拓展
14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用 高中数学打印版
校对完成版本 题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 (－7,3)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，则|x＋2|2－4|x＋2|<5，即(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7
所以不等式f(x＋2)<5的解集是(－7,3)．
15．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋ax.
(1)若a＝－2，求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)<0恒成立，求实数t的取值范围．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 不等式恒成立问题
解 (1)当x<0时，－x>0，
又∵f(x)为奇函数，且a＝－2，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x2－2x，
∴f(x)＝ x2－2x，x<0，－x2－2x，x≥0.
(2)①当a≤0时，对称轴x＝a2≤0，
∴f(x)＝－x2＋ax在[0，＋∞)上单调递减，
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，
又在(－∞，0)上f(x)>0，在(0，＋∞)上f(x)<0，
∴当a≤0时，f(x)为R上的单调减函数．
当a>0时，f(x)在0，a2上单调递增，在a2，＋∞上单调递减，不合题意．
∴函数f(x)为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.
②∵f(m－1)＋f(m2＋t)<0，
