人教A版高中数学必修一练习：活页作业13函数奇偶性的应用(1)
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是的是的广泛广泛分电视公司的高管的 活页作业(十三) 函数奇偶性的应用
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
解析：f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象知，在区间(2,5)上为减函数．
答案：B
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
解析：当x≥0时，f(x)＝x3－8＞0⇔x＞2，由于f(x)是偶函数，所以当x∈R时，f(x)＞0的解集为{x|x＜－2或x＞2}，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0或x＞4}．
答案：B
3．设偶函数f(x) 的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：∵f(x)为偶函数，
且当x∈[0，＋∞)时f(x)为增函数，
又∵f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，且2＜3＜π，
∴f(2)＜f(3)＜f(π)，
即f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
答案：A
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.
解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．
又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，
∴f(1)＋f(2)＝－3. 是的是的广泛广泛分电视公司的高管的 答案：－3
5．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝____________.
解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－x＋1，
又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－－x－1.
因此，当x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝－－x－1.
答案：－－x－1
三、解答题
6．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；②当x＜0时，－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x.
综上，f(x)＝ x2－2x，x＞0，0，x＝0，－x2－2x，x＜0.
(2)图象如图．
是的是的广泛广泛分电视公司的高管的
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为( )
A．2m＋3 B．2m＋6
C．6－2m D．6
解析：因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6.故选D.
答案：D
2．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
解析：由已知，对任意x∈(0，＋∞)，
f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5.
对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
且φ(x)，g(x)都是奇函数，
有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5.
即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3.
∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________．
解析：设G(x)＝af(x)＋bg(x)．
∵f(x)，g(x)为奇函数，
∴G(x)为奇函数．
∵F(－3)＝G(－3)－2＝5，
∴G(－3)＝7.
∴G(3)＝－G(－3)＝－7.
∴F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9.
答案：－9
4．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是是的是的广泛广泛分电视公司的高管的 ______________．
解析：因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．
所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，
所以f(2)＜f(1)＜f(0)，
即f(－2)＜f(1)＜f(0)．
答案：f(－2)＜f(1)＜f(0)
三、解答题
5．(本小题满分10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有fa＋fba＋b＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0.
由题意得fa＋f－ba－b＞0，
∴f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)．
∴f(a)－f(b)＞0，
即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)．
∴1＋m≥2m－3.
∴m≤4.
∴实数m的取值范围是(－∞，4]．
