高一数学人教A版必修1课时作业：1.3.2奇偶性
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1 课时作业(十一) 奇偶性
[学业水平层次]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2＋x( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．是非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．
【答案】 C
2．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．
【答案】 A
3．(2014·湖南浏阳一中期中)若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( )
A．f(x)f(－x)＞0 B．f(x)f(－x)＜0
C．f(x)＜f(－x) D．f(x)＞f(－x)
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，
∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2＜0.
【答案】 B
4．(2014·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝( )
A．3 B．5 C．7 D．－1 2 【解析】 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，
∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.
【答案】 C
二、填空题
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．
【解析】 ∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x＋a)(－x－4)＝(x＋a)(x－4)恒成立，
整理得，(a－4)x＝0恒成立，∴a＝4.
【答案】 4
6．(2014·课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
【解析】 ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(4－x)＝f(x)，
∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，
即f(1)＝3.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(－1)＝f(1)＝3.
【答案】 3
7．(2014·山东日照期末)偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则不等式f(x)＞f(1)的解集是________．
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以f(x)＞f(1)可转为f(|x|)＞f(1)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以|x|＞1，即x＜－1或x＞1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题 3 8．(2014·淄博高一检测)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝3x·(1＋x)．
(1)求f(27)与f(－27)的值；
(2)求f(x)的解析式．
【解】 (1)由题意知f(27)＝327×(1＋27)＝84，f(－27)＝－f(27)＝－84，所以f(27)＝84，f(－27)＝－84.
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0，则
f(－x)＝3－x·[1＋(－x)]＝－3x·(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝3x(1－x)，
所以f(x)＝3x（1＋x），x＞0，0， x＝0，3x（1－x）， x＜0.
9．已知定义在(－1，1)上的奇函数f(x)，在定义域上为减函数，且f(1－a)＋f(1－2a)＞0，求实数a的取值范围．
【解】 ∵f(1－a)＋f(1－2a)＞0，
∴f(1－a)＞－f(1－2a)．
∵f(x)是奇函数，
∴－f(1－2a)＝f(2a－1)，
∴f(1－a)＞f(2a－1)．
而f(x)在(－1，1)上是减函数． 4 ∴1－a＜2a－1，－1＜1－a＜1，－1＜2a－1＜1，∴a＞23，0＜a＜2，0＜a＜1，
∴23＜a＜1.
[能力提升层次]
1．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2 C．1 D．0
【解析】 因为f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
【答案】 D
2．(2014·哈师大附中期中)若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则f（x）＋f（－x）x＜0的解集为( )
A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－3，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【解析】 ∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴原不等式等价于f（x）x＜0.
∴当x＞0时，f(x)＜0＝f(3)，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴x＞3；
当x＜0时，f(x)＞0＝f(－3)，
又f(x)在(－∞，0)上是增函数，
∴－3＜x＜0，综上选C. 5 【答案】 C
3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．
【解析】 ∵函数y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，
∴当x＝1时，f(－1)＋1＝－f(1)－1.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
【答案】 －1
4．(2014·安庆高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.
(1)求实数a，b的值．
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并用定义证明．
【解】 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以ax2＋2－3x＋b＝－ax2＋23x＋b＝ax2＋2－3x－b，
因此b＝－b，即b＝0.
又f(2)＝53，所以4a＋26＝53，所以a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x，
f(x)在(－∞，－1]上为增函数．
证明：设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)
＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.
因为x1＜x2≤－1，所以x1－x2＜0，x1x2＞1.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在(－∞，－1]上为增函数． 6
