北师大版高中数学必修5第三章《不等式》基本不等式

数学必修5第三章《不等式》内容分析

同文中学高二数学备课组：陈劲

一． 教学内容分析：

“不等式”是高中数学的传统内容，与高中数学中很多内容有密切关系。同大纲教材相比，新课标（北师大版）教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。

新课标教材中不等式主要包括：1.必修5第三章《不等式》中：不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。其结构是：第一节不等关系，讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小；第二节讲一元二次不等式；第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值；最后一节讲简单的线性规划。线性规划也分几个层次，第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域，然后讲简单线性规划的问题，最后讨论简单线性规划的应用。2.选修4—5《不等式选讲》中：不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。

大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分：不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。

新课程教材的主要变化体现在：在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”，“不等式的证明”，“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。增加了“不等关系”，将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中，增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。同时还强调信息技术与课程内容的整合，还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。

二． 教学目标与要求的分析：

1.不等关系：通过具体情境，感受现实世界与生活中存在着大量的不等关系，包括：常量与常量之间的不等关系，常量与变量之间的不等关系，函数与函数之间的不等关系，一组变量之间的不等关系等。通过了解不等式（组）的实际背景，经历由实际问题建立数学模型的过程，体会基本方法。

描述：

例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式

一、学习任务

了解现实世界和日常生活中的一些不等关系，掌握比较两实数大小的基本方法——作差法．理解

掌握不等式的性质，能根据所学的不等式的基本性质证明一些不等式关系．

二、知识清单

不等式的性质

三、知识讲解

1.不等式的性质

不等式的定义

用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．

实数的基本性质

如果 是正数，那么 ；

如果 等于零，那么 ；

如果 是负数，那么 ．

不等式的基本性质

对称性：如果 ，那么 ；如果 ，那么 ．即 ．

传递性：如果 ，，那么 ．即 ， ．

可加性：如果 ，那么 ．

推论1

．

推论2

．

可乘性：；．

推论1 ．

推论2 ．

推论3 ．

可开方： ．a−ba>b

a−ba=b

a−ba

a>bbba>b⇔b

a>bb>ca>ca>bb>c⇒a>c

a>ba+c>b+c

a+b>c⇒a>c−b

}⇒a+c>b+d

a>b

c>d

}⇒ac>bc

a>b

c>0}⇒ac

a>b

c<0

}⇒ac>bd

a>b>0

c>d>0

a>b>0⇒>anbn(n∈,n>1)N

+

}⇒<

a>b

ab>01

a1

b

a>b>0⇒>a√nb√n(n⩾2,n∈N)

若 ，试比较 与 的大小．

解：x

y2(−)(x+y)x2

y2

因为 ，所以 ，．所以

因此=

=(+)(x−y)−(−)(x+y)x2

y2

x2

y

2

(

x−y)[(+)−(x+y]x2

y2)2

−2xy(x−y).

x0x−y<0

−2xy(x−y)>0.

(+)(x−y)>(−)(x+y).x2

y2

x2

y2

判断下列各命题的真假，并说明理由．

（1）若 ，，则 ；

（2）若 ，则 ；

（3）若 ，，则 ；

（4）若 ，且 ，则 ．

解：（1） 假命题．因为 ，没有指出 与 同号，故 不一定成立，因此推不出

．

（2） 假命题．当 时，，有 ．

（3） 假命题．当 ，， 时，满足 ，，但 ．

（4） 假命题．当 ，， 时，显然命题不成立．a

课时安 1课时 课型 新授 授课时间 第8周

课标依据 根据新课标的要求，本节的重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，难点是用基本不等式求最值。本节课是基本不等式的第一课时。

教材分析 不等式是高中数学的重要内容，也是高考的重点。前面已经学习了不等式的概念、性质，不等式的解法。在此基础上，这个单元的内容主要是学习二个基本不等式，以及不等式的应用：证明与求最大或最小值。与传统教材最大的区别是，新教材淡化了不等式的证明，加强了不等式与日常生活的联系，注重公式的几何背景及应用环节。

学情分析 文一 由于这一章学习节奏较慢，比较符合他们的认知规律及特点，进而大部分同学在学习方面都有一定的成功体验，积累了一定的学习兴趣及信心。另外，在不等式证明方面，他们已经掌握了一种基本的方法：作差比较法。当然，他们对于不等式的证明还相当缺乏经验，另外相应的逻辑思维能力还明显欠缺。

理一 同上

三维目标 知识与能力

理解基本不等式，并会求解简单的均值不等式

过程与方法

探索并了解基本不等式的证明过程

情感态度与价值观

利用基本不等式证明简单不等式或比较大小时还经常结合因式分解、分类讨论等知识，体会数学中的分类讨论思想。

教学重难点 教学重点

利用基本不等式证明不等式

教学难点

利用基本不等式证明简单不等式或比较大小时还经常结合因式分解、分类讨论等知识．

教法

与

学法 讲练结合，演示法，讨论学习

信息技术应用分析

知识点 学习目标 媒体内容与形式 使用方式 媒体来源

课程导入 情感、态度与价值观 视频 教师播放 下载

创设情境 知识与技能

过程与方法 电子白板

（时钟计时器） 教师演示 教师制作

揭示课题 知识与技能

过程与方法 电子白板

（特效交互功能） 教师演示 教师制作

归纳公式 知识与技能

情感、态度与价值观 电子白板（移动、智能笔、特效交互功能） 教师演示

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人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式 同步测试

一、单选题（共15题；共30分）

1.若x>0,y>0，且， 则xy有（ ）

A. 最小值64 B. 最大值64 C. 最小值 D. 最大值

2.设a>0,b>0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（ ）

A. 1 B. 2 C. 4 D.

3.若， 且则的最小值为（ ）

A. 2 B. C. D.

4.函数f(x)=2x+ (x>0)有（ ）

A. 最大值8 B. 最小值8 C. 最大值4 D. 最小值4

5.不等式的解集是 ( )

A. B. C. {x|x＞2或x≤} D. {x|x＜2}