北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明

通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法

方法之一：(用圆规作图)

1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：

1、连接这两个交点。原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：

1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。) 2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。)

3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。)

垂直平分线的判定

①利用定义.

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)

例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.

证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），

∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）

又∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A

∴BD=AD（等角对等边）

∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

求证：CF=2BF。

分析：由于∠BAC=120°，AB=AC，可得∠B=∠C=30°，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得AF=BF. 要证CF=2BF，只需证CF=2AF，即证 ∠FAC=90°就可以了.

证明：连结AF，

∵EF垂直平分AB（已知）

∴FA=FB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

∴∠FAB=∠B（等边对等角）

∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠C（等边对等角）

又∵∠BAC=120°（已知），

∴∠B=∠C=30°（三角形内角和定理）

∴∠BAF=30°

∴∠FAC=90°

∴FC=2FA（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FC=2FB

说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.

例3．如图，已知：AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。

求证：∠B=∠CAF。

分析：∠B与∠CAF不在同一个三角形中，又∵∠B，∠CAF所在的两个三角形不全等，所以欲证∠B=∠CAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此∠FAD=∠ADF，又因为 ∠CAF=∠FAD-∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，而∠CAD=∠BAD，所以可证明∠CAF=∠B.

证明：∵EF垂直平分AD（已知），

∴FA=FD（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.

∴∠FAD=∠ADF（等边对等角） ∵∠B=∠ADF-∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠CAF=∠FAD-∠CAD，

又∠CAD=∠BAD（角平分线定义），

∴∠B=∠CAF .

说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD，可以直接有结论FA=FD，不必再去证明两个三角形全等.

例4．如图，已知直线l和点A，点B，在直线l上求作一点P，使PA=PB.

分析：假设P点已经作出，则由PA=PB，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上. 而点P又在直线l上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点。

作法：1．连结AB.

2．作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P.则P即为所求的点.

说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.

看完了垂直平分线的相关知识点和例题，我们来做一下有关于垂直平分线的练习题。

线段的垂直平分线教学设计

第一章证明（二）

．线段的垂直平分线(一)

一、学生知识状况分析

学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

．知识目标：

①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． ．能力目标：

①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．

③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

．教学重点、难点

重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示： 如图，、表示两个仓库，要在、一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“、一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

同时，教师板演本节的题目：

．线段的垂直平分线(一)

第二环节：探究新知

第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．”

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．”

教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．”

已知：如图，直线⊥，垂足是，且，是上的点．

求证：．

分析：要想证明，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：∵⊥，

∴∠∠°

∵，,

∴△≌△()．；

∴(全等三角形的对应边相等)．

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：

第三环节：想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．

学生给出了如下的四种证法。

证法一：

已知：线段，点是平面内一点且．

求证：点在的垂直平分线上．

证明：过点作已知线段的垂线，，

∴△≌△(定理)．

∴，

即点在的垂直平分线上．

证法二：取的中点，过作直线．

∵，，

∴△≌△()．

∴∠∠(全等三角形的对应角相等)． 又∵∠∠°，

∴∠∠∠°，即⊥

∴点在的垂直平分线上．

证法三：过点作∠的角平分线．

∵，∠∠，，

△≌△()．

∴，∠∠ (全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠∠°∴∠∠°

∴点在线段的垂直平分线上．

证法四：过作线段的垂直平分线．

∵，∠∠°，

∴在的垂直平分线上．

四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”

师生共析：如图()，上，是垂足，但不平分；如图()，平分，但不垂直于．这说明一般情况下：过作的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，

我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．