北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)

北师大版 数学 八年级下 1.3 线段的垂直平分线（2） 教学设计

课题

1.3 线段的垂直平分线（2） 单元 第一章 学科 数学 年级 八年级

学习

目标 知识与技能：理解三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这个交点到三角形三个顶点的距离相等；会利用尺规作满足条件的等腰三角形及过一点作已知直线的垂线；

过程与方法：在证明和作图的过程中，体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，发展合情推理能力，培养数学创新意识；

情感态度与价值观：.体验解决问题的过程，感受成功的快乐，培养学生学习数学的兴趣..

重点 证明三角形三边的垂直平分线性质定理，已知底边和底边上的高，用尺规作出等腰三角形．

难点 过一点作已知直线的垂线.

教学过程

教学环节 教师活动 学生活动 设计意图

新知导入 同学们，在上前面的学习中，我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，下面请同学们回答：

问题1、说一说线段垂直平分线的性质定理？

答案：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

问题2、说一说线段垂直平分线的判定定理？

答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 学生根据老师的提问回答问题. 通过回顾线段的垂直平分线的性质和判定，为证明三角形三边的垂直平分线的性质的探究做好铺垫

新知讲解 下面，让我们一起完成下面的问题：

例1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴ PA = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端 学生在老师的引导下进行证明.

证明三角形三边线段垂直平分线的性质.

点的距离相等）.

同理，PB ＝PC.

∴PA =PB ＝PC.

∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），

八年级数学导学案第 7 课时

主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦

课题：第7课时 线段的垂直平分线（1） 教师个性化设计、学法指导或学生笔记

学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点、难点：重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

求证：PA=PB．

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

NAPBCM八年级数学导学案第

7 课时 主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，

1 《线段垂直平分线》中一道习题的变式

北师大版八年级（下）《线段的垂直平分线》课后习题1.7中第三题：

例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.

点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.

点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.

变式2：

如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15°

求：AC的长。

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1. BCAED图1 ABCDE图2

AEDCB图3 2 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。

[变式练习1]

如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5°

求：AC的长.

提示与答案：△AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC= 2

例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

1 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定

基础题

知识点1 线段垂直平分线的性质

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )

A．6 B．5 C．4 D．3

2．如图所示，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( )

A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm

3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4 cm，△ABD的周长为14 cm，则△ABC的周长为( )

A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm

4.如图所示，在△ABC中，BC＝8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于( )

A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm

5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．

6．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．

知识点2 线段垂直平分线的判定

7．已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB.则下列结论中正确的是( ) 2

A．AO＝BO

B．PO⊥AB

C．PO是AB的垂直平分线

D．P点在AB的垂直平分线上

8．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由．

知识点3 经过直线外一点作已知直线的垂线

9．如图，已知钝角△ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.

中档题

10．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )