北师大版八年级数学下册课件：线段的垂直平分线(1)

八年级数学导学案第 7 课时

主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦

课题：第7课时 线段的垂直平分线（1） 教师个性化设计、学法指导或学生笔记

学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点、难点：重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”

第二环节：性质探索与证明

教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。

通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．

求证：PA=PB．

第三环节：逆向思维，探索判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。

原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

NAPBCM八年级数学导学案第

7 课时 主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦

此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，

1 《线段垂直平分线》中一道习题的变式

北师大版八年级（下）《线段的垂直平分线》课后习题1.7中第三题：

例1：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.

点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

变式1：如图1，在△ABC中， AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC=70°，则∠A=？

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由 “三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.

点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.

变式2：

如图3，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15°

求：AC的长。

解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1. BCAED图1 ABCDE图2

AEDCB图3 2 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。

[变式练习1]

如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =22.5°

求：AC的长.

提示与答案：△AEC是等腰直角三角形,AE=2,再应用勾股定理得AC= 2

例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明

通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法

方法之一：(用圆规作图)

1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：

1、连接这两个交点。原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：

1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。) 2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。)

3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。)

垂直平分线的判定

①利用定义.

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)

例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.

证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），

∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）

又∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A

∴BD=AD（等角对等边）

∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

求证：CF=2BF。

2024北师大版数学八年级下册1.3.1《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》教案

一. 教材分析

《线段垂直平分线的性质定理及其逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第3节的内容。本节课主要学习了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，这两个定理是几何中的重要知识，对于学生理解和掌握几何图形的性质具有重要意义。教材通过生动的实例引入定理，并通过证明和应用让学生深入理解定理的含义。

二. 学情分析

学生在学习本节课之前，已经学习了线段的中垂线、垂线的性质等知识，对于垂直平分线的概念有一定的了解。但是，对于定理的证明和应用还需要进一步的引导和培养。因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、证明和应用等方式，逐步理解和掌握定理。

三. 教学目标

1. 理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

2. 学会运用性质定理及其逆定理解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点

1. 性质定理及其逆定理的理解和证明。

2. 性质定理及其逆定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法

采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。通过设置问题，引导学生观察、思考、证明和应用，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。

六. 教学准备

1. 教学PPT。

2. 几何模型和教具。

3. 练习题。

七. 教学过程

1. 导入（5分钟） 通过一个实际问题引入本节课的主题：如何找到一个线段的中点，使得从这个中点向线段的两个端点引垂线，垂线的长度相等？引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）

教师通过PPT呈现线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，让学生初步了解定理的内容。然后，通过几何模型和教具，引导学生观察、思考和证明定理。

3. 操练（10分钟）

学生分组合作，运用性质定理及其逆定理解决实际问题。教师巡回指导，解答学生的疑问。

4. 巩固（10分钟）