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具有可和系数中立型时滞差分方程的振动性与正解的存在性
(英文)
段振华
【期刊名称】《南华大学学报：理工版》
【年(卷),期】2002(16)1
【摘要】考虑如下形式的线性中立型时滞差分方程△（Xn-pnXn-k）+qnXn-
l=0,n=0,1,2,……其中{pn}、{qn}均为实数列且qn≥0,k,l为非负整数。
在允许pn-1振动情况下,本文建立了该方程所有解振动性和正解存在性的几个新的充分条件,其中不需要文献中通常用到的发散条件qn=∞,作为应用,证明了方程ce-βnxn-
l=0,c>0所有解振动的充要条件为β≤1/4k。
【总页数】5页(P17-21)
【关键词】可和系数;中立型时滞差分方程;振动性;正解;存在性
【作者】段振华
【作者单位】广州建筑工程学校
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.一类具有可变时滞的高阶非线性中立型差分方程正解的存在性 [J], 贺铁山
2.具有可和系数中立型时滞差分方程的振动性与正解的存在性（英） [J], 段振华
3.具正负系数中立型时滞差分方程振动解和最终正解的存在性 [J], 郭上江;黄立宏
4.一类具有正负系数的中立型时滞微分方程的振动性(英文) [J], 单文锐;葛渭高;郭彦平
5.具正负系数和多变时滞的高阶非线性中立型差分方程非振动解的存在性 [J], 张萍;覃桂茳;杨甲山
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一类中立型时滞差分方程的正解1什么是一类中立型时滞差分方程一类中立型时滞差分方程，即包含时滞的微分方程，是一类科学研究的基础，它可以帮助我们描述随时间流逝而发生的变化。
它是一个物理系统的描述，并具有时滞特性，可以比较准确地建模和分析各种实际系统在时间变化后所表现出一定的响应速度。
常见的一类中立型时滞差分方程通常有一阶中立型时滞差分方程和二阶中立型时滞差分方程。
2一阶中立型时滞差分方程一阶中立型时滞差分方程是最简单也是最重要的形式，它将时滞特性建模为一个常微分方程的现有结果应用到下一个计算结果的延迟。
即，微分方程的解表达为下一时刻的变量的函数，其中除了晚期结果之外还将上期结果带入考虑。
它一般形式如下：$$\frac{dx(t)}{dt}+p(t)x(t)=q(t)x(t−τ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$和$p(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$τ$是常数，表征时滞的强度。
3二阶中立型时滞差分方程二阶中立型时滞差分方程是一种比一阶时滞更加复杂的形式，也就是将时滞特性建模为包含了及其计算上一步的结果，以及上上步的结果的方程。
二阶中立型时滞差分方程一般形式如下：$$\frac{d^2 x(t)}{dt^2}+p(t)\frac{dx(t)}{dt}+q(t)x(t)=r(t)x(t−δ)$$其中，$x(t)$是表示系统状态的变量，$q(t)$,$p(t)$和$r(t)$是满足条件$p(t)>0$的连续函数，$δ$是常数，表征时滞的强度。
4正解一类中立型时滞差分方程的正解是表示系统状态的最终解的函数，即x(t)。
它具有四种不同的正解，分别是偶正解、单正解、双正解和无正解。
（1）偶正解是指系统解为常数，即$x(t)=X$。
（2）单正解是指系统解随时间变化的周期性函数，即$x(t)=X_1e^{tτ_1+τ_2}+X_2e^{tτ_1−τ_2}$，$τ_1，τ_2$是不定根且$τ_1>0$。
中立型Logistic差分方程的Flip分支梁璐莎;陈斯养【摘要】讨论了中立型时滞Logistic差分方程稳定性以及Flip分支存在性;应用Jury判据和特征值理论给出正平衡态局部渐进稳定的充分条件;以种群的内禀增长率为分支参数,运用中心流形定理和分支理论得到了方程Flip分支的存在条件与分支方向;通过举例及数值计算验证了定理条件和结论的一致性.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(034)001【总页数】7页(P41-47)【关键词】中立型;时滞;稳定性;Flip分支【作者】梁璐莎;陈斯养【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062【正文语种】中文【中图分类】O1750 引言在生物数学中，Logistic模型是描述单种群密度变化的经典模型[1]，考虑到时滞对种群密度的影响，文献[2-5]对具有时滞的Logistic模型解的渐进性态、产生Hopf分支的条件以及实际应用情况做了详细的讨论.在实际情况中，并不是一个线性函数，Smith[6]讨论了形如模型解的渐进性态.Gopalsamy[7]提出了如下中立型Logistic模型文献[8-12]对其解的渐进性态做了进一步的讨论.在生态数学中，对于生命长、世代重叠并且数量很大的种群常近似采用微分方程模型，文献[13-20]讨论了多个具有时滞的连续性泛函微分方程解的渐近性态；对于生命短、世代不重叠或是生命长、世代重叠但其数量较少的种群经常采用差分方程模型.本文主要研究了具有时滞的连续中立型微分方程对应的中立型Logistic差分方程x(n+1)-x(n)=rx(n)(1-a1x(n)-a2(x(n+1-τ)-x(n-τ)))(1)当τ=1,2时正平衡态的存在唯一性和局部渐进稳定性，分支的存在性及其方向和稳定性等问题，其中r表示种群的内禀增长率，a1、a2表示种群在第n代、第n-τ代种群的密度制约系数,r、a1、a2∈R+.特别地，当a2=0时，(1)式即为经典的Logistic模型.1 正平衡态稳定性与分支存在的条件本节讨论模型(1)在τ=1,2两种情况下正平衡态的稳定性以及分支存在的条件.1.1 τ=1时正平衡态稳定性与分支存在条件将(1)写作(2)令对(2)做无量纲变化后其等价为y(n+1)=by(n)(1-y(n)+ay(n-1))(3)设y*是方程(3)的平衡态，其满足方程y*=by*(1-y*+ay*)，解得y*则y*是正平衡态的充要条件是0<a<1.经计算可知(3)在y*处线性近似系统为y(n+1)-y*(4)所以(4)对应的特征方程为(5)下面应用Jury判据[21]给出模型(3)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理1 模型(3)的正平衡态y*局部渐进稳定，当且仅当证明：若模型(3)满足如下三个条件，则正平衡态y*局部渐进稳定.(Η1)p(1)>0; (Η2)(-1)2p(-1)>0；对条件(Η1)：计算后得p(1)=b-1>0恒成立；对条件(Η2)：化简后可得如下结论：对条件(Η3)：计算可得对(Η2)和(Η3)求交集可得定理中所给结论，证毕.定理2 在模型(3)中，若则(3)的正平衡态y*局部渐进稳定；若则(3)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；若则(3)的正平衡态y*不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理1可知，若的正平衡态y*局部渐进稳定；若特征方程(5)等价于即方程有两个单实根λ1=-1和证毕.1.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件当τ=2时，(1)式为令则(6)与如下方程(7)等价y(n+1)=by(n)[1-y(n)-ay(n-1)+ay(n-2)](7)设是方程(7)的平衡态，则其满足等式解得即也是(7)的正平衡态.经计算(7)式在处的线性近似系统为(8)则(8)的特征方程为p(λ)=λ3-(2-b)λ2-(a-ab)λ-(ab-a)=0(9)根据文献[21]，得到模型(7)正平衡态局部渐近稳定的条件.定理3 模型(7)的正平衡态局部渐进稳定，当且仅当满足以下条件之一：当时，当时，当时，证明：根据文献[21]，若模型(7)满足如下三个条件：(Η1)|-2+b-ab+a|<1-a+ab;(Η2)|a-ab|<1;(Η3)|1-(ab-a)2|>a(b-1)2则正平衡态局部渐进稳定.对条件(Η1)：化简后得到如下条件(i)和(ii)：(i)当时,当时,1<b恒成立；对条件(Η2)：计算后可得：对条件(Η3)：化简后得到如下条件：对(Η1)和(Η2)化简后的结果求交集得：当时，当时，再将如上条件与(Η3)化简后结果进一步求交集可得定理结论，证毕.以下对定理3中(1)的情况给出产生分支的条件，情况(2)，(3)的分支条件可同理给定理4 在模型(7)中，若当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；当时，(7)存在一个λ=-1的特征根，且不存在λ=1和一对位于单位圆环上共轭的特征根；当时，(7)的正平衡态不稳定，模型产生Flip分支.证明由定理3可知，若时，当时，(7)的正平衡态局部渐进稳定；若特征方程(9)等价于方程(9)存在λ=-1的特征根，将λ=1代入，可得恒成立，即(9)不可能有λ=1的特征根.令对应的故g(λ)=0有两个实根，即特征方程(9)不存在一对位于单位圆环上共轭的特征根，证毕.2 分支的方向以及稳定性和规范形本节选取种群的内禀增长率r做无量纲变化后对应的参数b作为分支参数，利用分支理论和中心流形定理讨论模型(3)和(7)Flip分支的方向和稳定性，应用文献[22]中的投影方法计算其中心流形.2.1 τ=1时分支的方向以及稳定性和规范形τ=1时，将(3)式做如下变化：(10)(10)式在平衡态E(y*,y*)的临界Jacobi矩阵由定理2可知D0存在λ=-1的特征根.矩阵D0和满足且其特征向量分别为：为使其特征向量<p,q>=1，取为了应用文献[22]中的投影法计算中心流形，现将系统(3)化为如下形式(11)其中是光滑函数且在平衡态E(y*,y*)的Taylor展开式为B(x,y)和C(x,y,z)在坐标下的分量分别为：i=1,2,...,n.映射(11)经坐标变化可变换成限制规范性形式：η→-η+cη3+O(η4)，其中临界规范性系数c决定反转分支的非退化性，且可以预测周期2环的分支方向，系数c由下面公式给出：(12)根据以上理论，经计算得B(x,y)=(-2bx1y1+ab(x1y2+x2y1),0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得则求得其中(13)根据文献[22]，可得如下定理：定理5 当b=b0时，模型(3)在正平衡态y*产生Flip分支；若c>0，则模型(3)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支；若c<0,则模型(3)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理5，由(13)式可知，当0<a<1时，c恒大于0，即模型(2)从正平衡态y*分支出唯一稳定的超临界Flip分支.2.2 τ=2时正平衡态稳定性与分支存在条件将(7)式做如下变化：(14)映射(14)式在平衡态的临界Jacobi矩阵为由定理4可知D1存在λ=-1的特征根.矩阵D1和满足且其特征向量分别为：q～(1,-1,1)T，p～(-1,3-b,ab-a)T，为使其特征向量<p,q>=1，取如下应用文献[22]中的投影法计算中心流形，将系统(7)写为如下形式其中g1=bx1(1-x1-ax2+ax3)-(2-b)x1-(a-ab)x2-(ab-1)x3.类似2.1中计算可得B(x,y)=(-2bx1y1-ab(x1y2+x2y1)+ab(x1y3+x3y1),0,0)T，C(x,y,z)=0将p,q代入上式可得经计算可得其中(14)根据文献[22]，可给出如下定理6.定理6 当b=b1时，模型(6)在正平衡态产生Flip分支；若c>0，则模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支;若c<0,则模型.(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.根据定理6，由(14)式可知，当时，c>0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一稳定的超临界Flip分支；当时，c<0，即模型(6)从正平衡态分支出唯一不稳定的亚临界Flip分支.3 数值模拟下面通过两个举例，运用Matlab软件绘出模型解的图形，验证以上结论与条件的可实现性，并说明该模型动力学行为的复杂性.例1 τ=1时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b0=2.557 1时，模型(3)随b变化的分支图(图1)，取b=2.507 1<b0时模型(3)在E(0.686 6,0.686 6)处局部渐进稳定图(图2)以及取b=2.567 1>b0的周期解图(图3)如下所示：图1 随b变化的最大Lyapunov指数图和分支图(τ=1) 图2 b=2.507 1<b0稳定图(τ=1)Fig.1 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation Fig.2 Stability solution map (b=2.507 1 map vs.the parameter b <b0)(τ=1)图3 b=2.567 1>b0周期解图(τ=1) 图4 随b变化的Lyapunov指数图和分支图(τ=2)Fig.3 Period solution map (b=2.5671> b0)(τ=1) Fig.4 The maximum Lyapunov exponent and bifurcation map vs.the parameter b例2 τ=2时，最大Lyapunov指数图以及取a=0.124 5,b1=3.663 1时，模型(7)对应随b变化的分支图(图4)，b=3.662 6<b1时模型(7)在E(0.727,0.727,0.727)处局部渐进稳定图(图5)以及b=2.5671>b1的周期解图(图6).图5 稳定图(b=3.662 6<b1)(τ=2) 图6 周期解图(b=3.7131>b1)(τ=2)Fig.5 Stability solution map (b=3.662 6 <b1)(τ=2) Fig.6 Period solution map (b=3.713 1> b1)(τ=2)4 结论本文应用Jury判据、分支理论及中心流形投影等理论给出了Logistic中立型差分方程解的稳定性及Flip分支的存在性以及稳定性条件.通过数值模拟验证了所得结论的正确性，并且包含了经典Logistic差分模型的结论(当a2=0时).在对方程参数做了细微的改动后，模型的性状发生了巨大的变化进而出现混沌，可知模型的动力学行为的复杂性.参考文献:【相关文献】[1] 陈兰荪，宋新宇，路征一.数学生态学模型与研究方法[M].成都:四川科学技术出版社,2008.[2] CUSHING J M.Integrodifferential equations and delay models in populationdynamics[M].New York:Springer-Verlag,1977.[3] MURRAY J D.Mathematical Biology[M].New York:Springer-Verlag,1989.[4] OKUBO A.Diffusion and ecological problems:mathematical models[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.[5] WRIGHT E M.A nonlinear difference-differential equation[J].J.Reine Angew.Math,1955 (194):66-87.[6] SMITH F E.Population dynamics in Daphnia magna and a new model for population growth[J].Ecology,1963 (44):651-663.[7] GOPALSAMY K,ZHANG B G.On a neutral logistic equation [J].Dynamics and Stability of Systems，1988 (2):183-195.[8] FREEDMAN H I,Kuang Y.Stability switches in linear scalar neutral delayequations[J].Funkcialaj Ekvacioj，1991 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