一类分数阶中立型发展方程的可解性与可控性

2020大纲解析之数一、二、三常微分方程部分对比跨考教育数学教研室-吴方方2020年考试大纲已经出来，与往年一样，考研数学大纲没什么变化，因此同学们可以继续按照原先规划进行复习做题。

下面是关于考研数学一、二、三中常微分方程部分的考试内容与考试要求对比。

数学一常微分方程部分要求：考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程．4．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y ′′′==和(,)y f y y ′′′=．5．理解线性微分方程解的性质及解的结构．6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．8．会解欧拉方程．9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．数学二常微分方程部分要求：考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程．3．会用降阶法解下列形式的微分方程：()(),(,)n y f x y f x y ′′′== 和 (,)y f y y ′′′=．4．理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理．5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程．6．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．7．会用微分方程解决一些简单的应用问题．数学三常微分方程与差分方程部分要求考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．以上就是数一、二、三常微分方程部分的考考试内容与考试要求，希望同学们继续努力来源：跨考教育数学教研室-吴方方。

一类算子方程的可解性
一类算子方程可解性是指这类方程可以用数学方法解决出方程的源解或者称为解的存在性。

问题可解性研究是当今数学及其它方面科学中的一个重要问题，它有利于深入研究许多科
学和技术问题，从根本上探讨复杂现象的成因，从而获得一个更深入并且更完整的理解。

以一类算子方程为例，由于其复杂性和多变性，其可解性不仅仅取决于方程的结构，还取
决于变量的取值范围和参数的分布，因此可解性的研究就变得更加复杂。

例如，当方程的
参数满足一定条件时，才能保证方程的可解性，而当方程的参数不符合这些条件时，可能
就无法解得解，甚至可能存在无解的情况。

一类算子方程的可解性研究通常需要解决两个问题：算子本身及其对待问题可解性的贡献，这需要从算子自身的结构出发；第二，可解性条件的推导，这些条件将用于检查方程的可
解性。

最终的结果可能是关于算子的性质，引入的变量及其分布，及其参数的推导，以及
制定出一类条件来构建一个可行的模型，以确定一类算子方程的可解性。

从以上可以看到，从理论上研究一类算子方程的可解性是非常吃力的，它需要从理论上认
识并研究出算子本身的性质，以及变量和参数之间自然而然存在的关系，以知晓这类算子
方程可以解得解，并构建出可行的模型。

因此，研究一类算子方程的可解性，要涉及到多种学科的理论研究，不仅需要模型的构建，也需要不断完善和引入宏观性的视角，以深入探究它们之间自然而然存在的整体性理论以
及可解性的极限条件。

引 言积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，解方程的问题就是要确定这个函数，我们在分析学中遇到的积分方程，少部分可以转化成微分方程直接解出，但这种转化对绝大多数积分方程却行不通．积分方程作为数学的一个分支，最早出现在十九世纪三十年代，直到十九世纪末才由Fredholm 和Volterra 开创了两种类型积分方程理论的先河，此后，有许多人致力于这个方向的研究．关于积分方程可解性问题的研究，虽然一些著作和文献中有作相应介绍[13]-，但不够系统也欠完善．因此本文就此问题进行专门讨论，首先将积分方程作相应分类，其次对积分方程与微分方程之间的相互联系进行阐述，然后推广并证明了几类较为典型的积分方程解的存在唯一性．最后，作为Fredholm 定理的应用，讨论了一些积分方程的可解性及求解方法．1 积分方程相关知识1.1 积分方程的基本概念[1]一般说来，一个在积分号下出现待求函数的方程，称为积分方程． 含一个未知函数的积分方程的一般形式为()()(,)[()]()(),baa x x k x s F s ds f x a xb ϕλϕ=+≤≤⎰式中(),f x (),a x (,)k x s 为已知函数，[()]F s ϕ是()s ϕ的已知泛函，,a b 为常数．()f x 称为自由项，(,)k x s 称为积分方程的核，λ是参数．由于积分方程往往与特征值问题有关，因此通常把积分方程记为上述含参数λ的形式．方程可能仅对λ的某些值有解，也可能根本没有解．当[()]F s ϕ是()s ϕ的线性泛函时，称为线性积分方程，它的一般形式为()()(,)()()baa x x k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰．若[()]F s ϕ是()s ϕ的非线性泛函，则称为非线性积分方程． 如果自变量的个数有2个或2个以上，称为多维积分方程．1.2 积分方程的分类[13]-积分方程可分为线性方程与非线性方程．对于线性积分方程又可以进一步加以分 类，按方程的形式分类，可以分为第一类、第二类方程．若未知函数()x ϕ仅出现在积分号内，称为第一类方程；若未知函数()x ϕ既出现在积分号内，又出现在积分号外，则称为第二类方程；若积分限是常数，称为Fredholm 方程；若积分限当中有一个是变量，则称为Volterra 方程．例如方程(,)()()0ba k x s s ds f x λϕ+=⎰称为第一类Fredholm 方程；方程()(,)()()bax k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰称为第二类Fredholm 方程；方程(,)()()0xak x s s ds f x λϕ+=⎰称为第一类Volterra 方程；方程()(,)()()xax k x s s ds f x ϕλϕ=+⎰称为第二类Volterra 方程．积分方程还可以按核的性质加以分类．若(,)k x s 是,a x s b ≤≤上的连续函数，或者(,)k x s 在区域,a x s b ≤≤虽不连续，但平方可积，即2(,)b b aak x s dx ds <+∞⎰⎰，则称(,)k x s 为非奇异核或Fredholm 核；若(,)(,)h x s k x s x sα=-，01α<<且(,)h x s 有界，则(,)k x s 称为弱奇异核； 若(,)(,)a x s k x s x s=-，(,)a x s 关于x ,s 的偏导数存在，则(,)()b a k x s s ds ϕ=⎰(,)()b aa x s s ds x sϕ-⎰在通常意义下是发散的，但如果对()x ϕ加上一定的限制，可使 0lim[(,)()(,)()]x b ax k x s s ds k x s s ds εεεϕϕ-+→+⎰⎰存在，则称(,)k x s 为Cauchy 奇异核．以上三种核所对应的方程，分别称为非奇异核（连续核）积分方程、弱奇异核积分方程、奇异核积分方程．弱奇异核积分方程的理论与非奇异核积分方程的理论类似，但奇异核积分方程的理论与非奇异核方程的理论有本质的差别．使非奇异核积分方程的一般理论不成立的一类积分方程，统称为奇异核积分方程，除了上述含Cauchy 奇异核的方程外，它还包括积分限至少有一个为无限的积分方程，例方程0()()sin x s xsdsϕλϕ∞=⎰等等．上述各种分类并不能包罗所有可能的积分方程，提出上述这些类型的出发点是，在实际问题或理论问题中出现的积分方程绝大部分可以归入上述方程中的某一类．2 积分方程和微分方程的相互关系2.1 微分方程转化成积分方程[45]-由于求导和积分是一个互逆的过程，有些微分方程就可以通过解积分方程得到．利用微分方程与积分方程的等价性，相互转化后求解，可以避免直接计算带来的烦琐，下面先就一类一阶常微分方程和积分方程的等价性定理给出证明．定理2.1.1 若(,)f x y 在2R 上连续，则具初值问题的一阶常微分方程00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩可以化为积分方程0y y =+(,)x x f x y dx ⎰．证明 结论是显然的．定理2.1.2 系数()(1,2,,)i a x i n = 连续的n 阶常微分方程111()()()n n n nn d y d ya x a x y F x d x d x--+++= 满足初始条件(1)011(0),(0),,(0)n n y C y C y C --'=== 的定解问题，可以化为解第二类Volterra 积分方程．证明 以二阶微分方程为例来加以证明．对于二阶方程的初值问题212201()()()(0),(0)d y dya x a x y F x dx dxy C y C ⎧++=⎪⎨⎪'==⎩． 设22()d yx d xϕ=，上式两端关于x 积分，并利用01(0),(0)y C y C '==，依次得到 10()x dys ds C dxϕ=+⎰，1010000[()]()x u x x s y s ds C du C ds s du C x C ϕϕ=++=++⎰⎰⎰⎰ 100()()xx s s ds C x C ϕ=-++⎰ ，利用上面两式，可将定解问题化为积分方程()(,)()()xx k x s s ds f x ϕϕ=+⎰，其中12(,)[()()()]k x s a x a x x s =-+-，111202()()()()()f x F x C a x C xa x C a x =---． 求解上式积分方程，再把解代入100()()xy x s s ds C x C ϕ=-++⎰中就可以得到定解问题的唯一解．对于n 阶微分方程的初值问题，类似上述方法，并利用下列公式011()()()(1)!x x x x n x x x x dx dx f x dx x s f s ds n -=--⎰⎰⎰⎰ ， 也化为等价的第二类Volterra 积分方程．例2.1.1 确定下列定解问题20(0)12,(0)(0)1y xy y y y '''-=⎧⎨'''===⎩所对应的积分方程．解 设()x y ϕ'''=，根据定理2.1.2及初始条件，并对其作三次积分依次可得()1x y t dt ϕ''=+⎰，0()()1xy x s s ds x ϕ'=-++⎰，220111()()222x y x s s ds x x ϕ=-+++⎰． 将以上三式代入原微分方程，得2320()()()2x x x x s s ds x x x ϕϕ=-+++⎰． 显然，这是第二类Volterra 积分方程．定理 2.1.3 具边值问题的二阶常微分方程220(0)0,(1)0d yy d x y y λ⎧+=⎪⎨⎪==⎩可以化成为第二类Fredholm 方程．证明 令22()d yx d x ϕ=，上式两边关于x 积分，得 10()x dy s ds C dx ϕ=+⎰，两边再关于x 积分，有 120()[()]x uy x s ds du C x C ϕ=++⎰⎰，然后变换积分顺序，得12120()()()()x x xsy x s ds du C x C x s s ds C x C ϕϕ=++=-++⎰⎰⎰．由边值条件知，20C =且110(1)()0s s ds C ϕ-+=⎰，因此110(1)()C s s ds ϕ=--⎰，于是，1()()()(1)()x y x x s s ds x s s ds ϕϕ=---⎰⎰，进一步推得1()[(1)()(1)()]x xy x s x s ds x s s ds ϕϕ=--+-⎰⎰，将上述()y x 代入原方程可得第二类Fredholm 方程1()(,)()x G x s s ds ϕλϕ=⎰，其中(1),0(,)(1),1s x s xG x s x s x s -≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，注意，(,)G x s 具有对称性(,)(,)G x s G s x =．例2.1.2 确定下列边值问题 3cos (0)0,()0y y xy y π''+=⎧⎨==⎩所对应的积分方程．解 由定理2.1.3知12120()()()()xxxsy x s ds du C x C x s s ds C x C ϕϕ=++=-++⎰⎰⎰，由边值条件知，20C =且10()()0s s ds C ππϕπ-+=⎰，因此101()()C s s ds ππϕπ=--⎰，于是，01()()()()()xy x x s s ds x s s ds πϕπϕπ=---⎰⎰，进一步有 0()[(1)()(1)()]x xxsy x s s ds x s ds πϕϕππ=--+-⎰⎰，将上述()y x 代入原方程可得()3(,)()cos x k x s s ds x πϕϕ-=⎰，其中(1),0(,)(1),s x s xk x s x s x s πππ-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ ．上式就是边值问题所对应的第二类Fredholm 方程．2.2 积分方程转化为微分方程[6]在这一节中将讨论把含变限的积分方程的求解问题转化为微分方程进行求解，其理论依据由以下定理给出．定理2.2.1若(,)f x y 连续，()g x 可导，则()y x ϕ=是积分方程0()(,)x x y g x f t y dt =+⎰的连续解的充分必要条件是()y x ϕ=是一阶微分方程()(,)dyg x f x y dx'=+满足初始条件00()()y x g x =的解．例2.2.1 解积分方程2413x x yy dx x y=+-⎰． 解 积分方程可化为243(0)1dyx y dx x y y ⎧=⎪-⎨⎪=⎩，将上述方程变形为 2223()dy y x y dx y x =-．令2y z x =，则2dy z x dz dx y dx +=，代入得 2331z dz dx z z x -=-，两边同时积分得，211cxz z-= 即6420c y y x -+=．再将(0)1y =代入解得1c =，故原方程的解为6420y y x -+=．例2.2.2 解积分方程0()()xx x t dt e ϕϕ=+⎰．解 设0()xy t dt ϕ=⎰，则(0)0y =，且()x x y e ϕ=+，于是()x y x y e ϕ'==+．这样，原积分方程化为常微分方程的定解问题(0)0xy y e y '⎧-=⎨=⎩．解之得x y xe =．再由式()x x y e ϕ=+，就得到原积分方程的解()(1)x x x x xe e x e ϕ=+=+． 定理2.2.2 若()f x 连续，()g x 可导，则()f x 是含参变量的积分方程()()f x g x =()x x f x t dt +-⎰的解的充要条件为()f x 是微分方程0()()()f x g x f x x ''=+-满足初始条件00()()f x g x =的解．证明 必要性：若()f x 是积分方程的解，即0()()()x x f x g x f x t dt =+-⎰．令u x t =-，则00000()()()(),xx x x x x f x t dt f u d u f u du ---=-=⇒⎰⎰⎰00()()()x x f x g x f u du -=+⎰．因()f x 连续，故00()x x f u du -⎰可导，又()g x 可导，故()f x 可导．对上式两边求导得0()()()f x g x f x x ''=+-，又由积分方程得00()()f x g x =，故()f x 是微分方程满足初始条件00()()f x g x =的解．充分性：若()f x 是微分方程0()()()f x g x f x x ''=+-满足初始条件00()()f x g x =的解，则0()()()f x g x f x x ''=+-，两边从0x 到x 取定积分得000()()()()()x x f x f x g x g x f t x dt -=-+-⎰，即00()()()xx f x g x f t x dt =+-⎰．令0t x x u -=-，则00()()()()()()()()x x x xx x f x g x f x u du g x f x u du g x f x t dt =+--=+-=+-⎰⎰⎰，故()f x 是方程的解．例2.2.3 设()f x 二阶导数连续，并满足0()(2)2x f x f t dt =-+⎰，求()f x ．解 方程两边对x 求导得()(2)f x f x '=-，再求导得()(2)f x f x '''=--．由()(2)f x f x '=-得，(2)[2(2)]()f x f x f x '-=--=，再代入()(2)f x f x '''=--中得，()()0f x f x ''+=，所以12()cos sin f x c x c x =+．又(0)2,(0)(2)f f f '==，即得()2cos (2)sin f x x f x =+．例2.2.4 求满足方程0()()x xf t dt x tf x t dt =+-⎰⎰的可导函数()f x ．解 令u x t =-，则00()()()()()x x xxt f x t dt x u f u du x f u du u f u du -=--=-⎰⎰⎰⎰．于是原方程可化为0()()()xxxf t dt x x f u du u f u du =+-⎰⎰⎰，两边求导可得()1()()()xf x f u du x f x x f x =++-⎰，即0()1()x f x f u du =+⇒⎰()x f x ce =，又(0)1f =，所以()x f x e =．3 几类线性积分方程解的存在唯一性3.1 第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性[710]-考察如下形式的第二类Fredholm 积分方程()()(,)()bax f x k x s s ds ϕλϕ=+⎰ （3-1-1）其中()x ϕ是未知函数，λ是参数，()f x 是[,]a b 上的平方可积函数，2()b af x dx <+∞⎰．并假设(,)k x s 关于两个变量,x s 平方可积，且0C ∃>，使得22(,)b ak x s ds C <⎰．定理 3.1.1[1] 记22(,)b b aaB k x s dxds =⎰⎰，则对于圆1Bλ<内一切λ值，方程（3-1-1）近似解序列1()()(,)()nb mn m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰在[,]a b 上一致收敛，它的极限是积分方程的解，且解是唯一的．定理3.1.2[1] 若对于某值λ，存在着关于两个变量,x s 平方可积的函数(,;)x s λΓ，它满足积分方程(,;)(,)(,)(,;)(,;)(,)(,;)(,)b a ba x s k x s k x t t s dtx s k x s x t k t s dtλλλλλλ⎧Γ=+Γ⎪⎨⎪Γ=+Γ⎩⎰⎰， （3-1-2） 则对此λ值，方程（3-1-1）有唯一解，且这个解由()x ϕ=()(,;)()baf x x s f s dsλλ+Γ⎰所确定．定义 3.1.1 近似解序列1()()(,)()nb mn m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰中的函数(,)m k x s 称为核(,)k x s 的m 次迭核，满足(,)(,)(,)bm r m r ak x s k x t k t s dt -=⎰,这里r 是小于m 的任何自然数．定义3.1.2 满足方程（3-1-2）的函数(,;)x s λΓ，称为方程（3-1-1）的解核． 现在我们稍微改变一下定理3.1.1的条件，便有如下定理．定理3.1.3 对于方程（3-1-1），若()f x 与(,)k x s 分别在a x b ≤≤与,a x s b ≤≤内连续，则对充分小的λ，方程（3-1-1）在[,]a b 上存在唯一的连续解．证明 考察映射:T T ϕϕ→，()()()(,)()ba T x f x k x s s ds ϕλϕ+⎰ ．在[,]C ab 上，对任意的两个点(),()x x ϕψ，则[,]((),())max ()()s a b d x x s s ϕψϕψ∈=-，又(,)k x s 连续，故存在η，使得(,)k x s η≤，则[,]()()()()(,)()(,)()(,)()()()()()max ()()()((),()).bbaab baas a b T x T x k x s s ds k x s s dsk x s s s ds s s dsb a s s b a d x x ϕψλϕλψλϕψληϕψληϕψληϕψ∈-=-≤-≤-≤--=-⋅⎰⎰⎰⎰令()b a αλη=-，则当λ对充分小时，可使01α<<，且[,](,)max ()()()()((),())x a b d T T T x T x d x x ϕψϕψαϕψ∈=-≤，故T 为[,]C a b 上的压缩映射，又[,]C a b 是完备度量空间，故由压缩映射定理知，存在唯一的()x ϕ使得()()()T x x ϕϕ=，即方程（3-1-1）存在唯一解()x ϕ．例3.1.1 求积分方程10()()()x x s s ds f x ϕλϕ-=⎰的解核，并求出方程的解．解 由于1(,)k x s x s =，因此1122001(,)()(),3k x s xt ts dt xs t dt xs ===⎰⎰13210111(,)()(),,.333n n k x s xt ts dt xs k xs -===⎰于是1λ<时，有[1]1111113(,;)(,)3133n n n n n n xsx s k x s xs xsλλλλλ-∞∞--==Γ====--∑∑． 由()()(,;)()bax f x x s f s ds ϕλλ=+Γ⎰知，原积分方程的解为103()()()3x sx f x f s ds ϕλλ=+-⎰． 注：当()f x x =时，1033()33x s xx x s ds ϕλλλ=+=--⎰．3.2 Volterra 积分方程解的存在唯一性[911]-现在讨论Fredholm 积分方程的一种特殊形式，即方程的核(,)k x s 当s x >时恒等于零，这时称它为Volterra 积分方程，因此第二类Volterra 积分方程有以下形式：()()(,)()xax f x k x s s ds ϕλϕ=+⎰． （3-2-1）定理 3.2.1[1] 若方程（3-2-1）中的()f x 是平方可积的，则对于一切值λ，方程的近似解序列1()()(,)()nxm n m am x f x k x s f s ds ϕλ==+∑⎰在[,]a b 上一致收敛，它的极限函数就是方程（3-2-1）的解，并且解是唯一的．注意：由于Volterra 积分方程是Fredholm 积分方程的一种特殊形式，因此Fredholm 积分方程的理论适用于Volterra 积分方程．从定理3.2.1可看出第二类非齐次Volterra 积分方程对任意连续的()f x 都有解，且对一切值λ都成立．例3.2.1 求解积分方程0()()()xx s x e s ds f x ϕλϕ--=⎰．解 由于1(,)x s k x s e -=，因此有223(,)(),()(,)(),2!xx t t s x s sx x t t sx s sk x s e e dt x s e x s k x s e t s e dt e ------==--=-=⎰⎰一般地有1()(,)(1)!n x sn x s k x s e n ---=-，所以当x s ≥时，有[1]111(1)()11()(,;)(,)(1)!n n n x sx s n n n x s x s k x s ee n λλλλ--∞∞--+-==-Γ===-∑∑；当x s <时，(,;)0x s λΓ≡．由此得到方程的解为(1)()0()()()xx s x f x e f s ds λϕλ+-=+⎰．注意：第一类Fredholm 积分方程一般不能化为第二类Fredholm 积分方程；而对于第一类Volterra 积分方程，在一定条件下，则可以通过求微商的方法把它化为与其等价的第二类Volterra 积分方程．第一类Volterra 积分方程形式如下：(,)()()x ak x s s ds f x ϕ=⎰（3-2-2）定理 3.2.2[1] 若(,)k x s ,()f x 可微，且(,)0k x x ≠与(,)k x s x ∂∂分别在[,]a b 及a s xb ≤≤≤连续，()0f a =，则（3-2-2）与第二类Volterra 积分方程(,)()(,)x xak x s x k x x ϕ'+⎰()()(,)f x s ds k x x ϕ'=是等价的．注意：文献[1]中该定理的证明过程，事实上提供了一种将第一类Volterra 积分方程化为第二类Volterra 积分方程的方法，但也可用如下另一种方法求解．对（3-2-2）左端进行分部积分，设()()xa x s ds ψϕ=⎰,就有(,)(,)()()()x ak x s k x x x s ds f x sψψ∂-=∂⎰． 若(,)0k x x ≠，则(,)()()[]()(,)(,)xak x s s f x x s ds k x x k x x ψψ∂∂-=⎰，于是当()(,)f x k x x 连续且核连续时，方程存在唯一解()x ψ，从而()()x x ϕψ'=就是所要求的解．例3.2.2 解方程2220(2)()xx s s ds x ϕ+-=⎰．解 对方程左端进行分部积分，记 0()()xx s ds ψϕ=⎰ ，显然有(0)0ψ=，于是2220(2)()()(2)xxx s s s s ds x ψψ+---=⎰，即20()()2xx x s s ds ψψ+=⎰，注意上式是第二类Volterra 方程，它等价于()()(0)0s x x xψψψ'+=⎧⎨=⎩，解之得，22()1x x e ψ-=-．因此方程的解为22()x x xe ϕ-=．3.3 积分限含参变量的积分方程解的存在唯一性[1012]-现在我们考虑方程 ()0()()(,())(())()b x x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰(3-3-1)解的存在唯一性．我们有如下定理：定理3.3.1 设2(,())[0,1]k x b s L ∈，且当()x b s <时，(,())0k x b s =；当()x b s ≥时，(,())0k x b s ≠．又设()b x 在[0,1]上有连续的一阶导数()0b x '>和0()1b x ≤≤，则对充分小的λ，方程(3-3-1)存在唯一解()0()()(,(());)(())()b x x f x x b b s f b s b s ds ϕλλ'=+Γ⎰．(3-3-2) 为了证明定理3.3.1，我们先引进下面两个引理． 引理3.3.1 记112(,())N k x b s dx ds =⎰⎰，若1N λ-<，则(,(());)x b b s λΓ=11(,(()))m m m k x b b s λ∞-=∑平方可积．证明 首先用逐次逼近法求(3-3-1)的近似解．令0()()x f x ϕ=，()10()()(,())(())(),,b x x f x k x b s f b s b s ds ϕλ'=+⎰()10()()(,())(())().1,2,b x n n x f x k x b s b s b s ds n ϕλϕ-'=+=⎰又因为()20()(())2()()(,())(())()(,())[((),(()))(())()](())(),b x b x b b s x f x k x b s f b s b s ds k x b s k b s b b s b b s b s ds f b s b s ds ϕλλ'=++'''⎰⎰⎰令1(,(()))(,())k x b b s k x b s =，于是 记21(())(,(()))(,())((),(()))(())()x b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds ''=⎰，则()()2220()()(,())(())()(,(()))(())(),,b x b x x f x k x b s f b s b s ds k x b b s f b s b s ds ϕλλ''=++⎰⎰依此类推，有 1(())(,(()))(,())((),(()))(())().x n n b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds -''=⎰其中3n ≥．于是，()01()()(,(()))(())()b x m n m m x f x k x b b s f b s b s ds ϕλ∞='=+∑⎰．若()()()n x x n ϕϕ→→∞存在，则此()x ϕ即为(3-3-1)的解．因1(,(()))(,())k x b b s k x b s =，故有11210(,(())k x b b s dxds N ≤⎰⎰．由0()1b x ≤≤，故0(())1b b x ≤≤，又()0b x '>，由2(,(()))k x b b s 的定义有2221(())(,(()))(,())((),(()))(())()x b b s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s ds''=⎰对此积分应用Cauchy Schwarz -不等式，可得到22(,(()))k x b b s221(())(())(,())()((),(()))(())()x x b b s b b s k x b s b s ds k b s b b s b b s b s ds '''≤⎰⎰2112(,())((),(()))k x b s ds k b s b b s ds ≤⎰⎰．于是，11220(,(()))k x b b s dxds ⎰⎰111122(,())((),(()))k x b s dxds k b t b b s dtds ≤⎰⎰⎰⎰2N ≤，则由数学归纳法可证，112(,(())),3n n k x b b s dxds N n ≤≥⎰⎰．所以当1N λ<即1Nλ<时，有 21111211(,(());)(,(()))m m m x b b s dx ds k x b b s dxds λλ∞-=Γ=∑⎰⎰⎰⎰2111m mm N NNλλλ∞-=≤=-∑． 于是，(,(());)x b b s λΓ平方可积．引理 3.3.2 解核(,(());)x b b s λΓ作为第一个变量x 或第二个变量s 的函数分别满足下面的积分方程：()0()0(,(());)(,())(,())((),(());)(())().(,(());)(,())(,();)((),(()))(())()b x b x x b b s k x b s k x b s b s b b s b b s b s dsx b b s k x b s x b s k b s b b s b b s b s dsλλλλλλ⎧''Γ=+Γ⎪⎨⎪''Γ=+Γ⎩⎰⎰证明 由引理3.3.1知(,(());)x b b s λΓ对变量x 和s 平方可积，于是有()0(,())((),(());)(())()b x k x b s b s b b s b b s b s ds λλ''Γ⎰()01(,())((),(()))(())()b x m m m k x b s k b s b b s b b s b s ds λ∞=''=∑⎰11(,(()))mm m k x b b s λ∞+==∑ (,(());)(,())x b b s k x b s λ=Γ-即有()0(,(());)(,())(,())((),(());)(())()b x x b b s k x b s k x b s b s b b s b b s b s ds λλλ''Γ=+Γ⎰类似地可以证明(,(());)x b b s λΓ满足第二个方程． 下面我们证明定理3.3.1．. 证明 在2[0,1]L 中定义算子：()0()()()(,())(())()b x T x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'+⎰ ．于是，对任意的212,[0,1]L ϕϕ∈，有121()2122120((,())[(())(())]())b x T T k x b s b s b s b s dsdx ϕϕλϕϕ'-=-⎰⎰，利用Cauchy Schwarz -不等式，于是122T T ϕϕ-11()()2222120121()221202122((,())[(())(())]())([(())(())]()).b x b x b x k x b s ds b s b s b s dsdx N b s b s b s dsdx N λϕϕλϕϕλϕϕ'≤-'≤-≤-⎰⎰⎰⎰⎰由此知，当21N λ<时，T 是从2[0,1]L 到自身的压缩算子．根据Banach 压缩映射原理可知，T 对于每一2[0,1]f L ∈存在唯一不动点．现证（3-3-2）是（3-3-1）的解．由引理3.3.1知(,();)x b s λΓ是平方可积的，故（3-3-2）式右端的积分是有意义的．下证方程（3-3-1）的一切解必可表示成（3-3-2）的形式，设()x ϕ是方程（3-3-1）的解，则有()0()()(,())(())()b x x f x k x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰．将上式两端乘以(,(());)x b b s λλΓ，且对两边取积分得，()0(,(());)(())()b x x b b s b s b s ds λλϕ'Γ⎰()0(,(());)(())()b x x b b s f b s b s ds λλ'=Γ+⎰()()0[(,();)((),(()))(())()](())()b x b x x b s k b s b b s b b s b s ds b s b s ds λλλϕ'''Γ⎰⎰．又由引理3.3.2知，()0(,(());)(,())(,();)((),(()))(())()b x x b b s k x b s x b s k b s b b s b b s b s ds λλλ''Γ-=Γ⎰，于是，()()00(,(());)(())()(,(());)(())()b x b x x b b s b s b s ds x b b s f b s b s ds λλϕλλ''Γ=Γ+⎰⎰()(,(());)(())()b x x b b s b s b s ds λλϕ'Γ-⎰()(,())(())()b x k x b s b s b s ds λϕ'⎰．注意到()0(,())(())()()()b x k x b s b s b s ds x f x λϕϕ'=-⎰，即得()0()()(,(());)(())()b x x f x x b b s f b s b s ds ϕλλ'=+Γ⎰．这就证明了方程的一切解都可由（3-3-2）式给出．再应用引理3.3.2来证明表达式（3-3-2）式给出方程（3-3-1）的解．将（3-3-2）式代入方程（3-3-1），且将一切项都移至左端，得()()0()(,(());)(())()[()(,())(())()]b x b x f x x b b s f b s b s ds f x k x b s b s b s ds λλλϕ''+Γ-+⎰⎰()()00(,(());)(())()(,())(())()b x b x x b b s f b s b s ds k x b s b s b s ds λλλϕ''=Γ-⎰⎰()0(,(());)(())()b x x b b s f b s b s ds λλ'=Γ-⎰()()0(,())[(())((),(());)(())(())()]()b x b x k x b s f b s b s b b s f b s b b s b s ds b s ds λλλ'''+Γ⎰⎰()0[(,(());)(,())](())()b x x b b s k x b s f b s b s ds λλ'=Γ--⎰()()00[(,())((),(());)(())()](())()b x b x k x b s b s b b s b b s b s ds f b s b s ds λλλ'''Γ⎰⎰()0[(,(());)(,())b x x b b s k x b s λλ=Γ--⎰()0(,())((),(());)(())()](())()b x k x b s b s b b s b b s b s ds f b s b s ds λλ'''Γ⎰0=．这就证明了表达式（3-3-2）确实给出了方程（3-3-1）的解．从定理3.3.1可以看出，当()b x x =时，（3-3-1）为Volterra 方程，当()1b x =时，（3-3-1）为Fredholm 方程．例3.3.1 求积分方程()20()()()(())()b x x f x x b s b s b s ds ϕλϕ'=+⎰，其中(),b x x α=01,01x α≤≤≤≤．解 由(,(()))n k x b b s 的定义知21(,(()))(,()),k x b b s k x b s x s α==2221(())2222272372424(,(()))(,())((),(()))(())()1[()],4x b b s xxs s k x b b s k x b s k b s b b s b b s b s dsx t t s dt x st dt x x s αααααααααα''==⋅⋅⋅⋅==-⎰⎰⎰172424231(,(()))[()],16k x b b s x s x s αα=-依此类推有242411(,(()))[()]n n n nk x b b s x s x s a θαα-=-，1n ≥． 其中221,1n n n θ=-≥．且14,1n n a n -=≥．于是21211(,;)()n nn n a a a n n nx s x x s a θαλλαα∞-=Γ=-∑，则方程的解为 2121242411011()()[()]()4x n n n n n x f x x s x s f s ds αϕλαααα∞----==+-∑⎰．注：当()1,1,1f x αλ===时，24411011()1()4x n n n x x s x s ds ϕ∞--==+-∑⎰．3.4 二维第二类Fredhlom 积分方程解的存在唯一性[1214]-考虑如下形式的二维Fredhlom 方程(,)(,)(,,,)(,)b d acx y f x y k x y s t s t dsdt ϕλϕ=+⎰⎰(3-4-1)其中,a x b c y d ≤≤≤≤, λ为已知的参数，(,)f x y ,(,,,)k x y s t 为已知函数，(,)x y ϕ 为未知函数．定理3.4.1假定00(,),(,,,)()f x y k x y s t C D ∈，其中[,][,]D a b c d =⨯，0[,],s a b ∈0[,]t c d ∈，则对充分小的λ，方程(3-4-1)存在唯一解(,)()x y C D ϕ∈．证明 利用上述定理提到的逐次逼近法易知方程(3-4-1)有解，且解由1(,)(,)(,,,)(,)b d mm acm x y f x y k x y s t f s t dsdt ϕλ∞==+∑⎰⎰给出．现证其解的存在唯一性亦成立．设Ω是[,][,]a b c d R R ⨯→⨯连续函数所组成的空间，在Ω中定义算子T :()(,)(,)(,,,)(,)b d acT x y f x y k x y s t f s t dsdt ϕ+⎰⎰，因为(,)((,),(,))max (,)(,)s t Dd x y x y s t s t ϕψϕψ∈=-，又(,,,)k x y s t 连续，故存在η，使得(,,,)k x y s t η≤，所以(,)()(,)()(,)(,,,)(,)(,,,)(,)(,,,)(,)(,)(,)(,)()max (,)(,)()((,),(,)),b d b d acacb b aas t DT x y T x y k x y s t s t dsdt k x y s t s t dsdtk x y s t s t s t ds s t s t dsb a s t s t b a d x y x y ϕψλϕλψλϕψληϕψληϕψληϕψ∈-=-≤-≤-≤--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰令()b a αλη=-，则当λ充分小时，可使01α<<，且(,)(,)max ()(,)()(,)((,),(,))x y Dd T T T x y T x y d x y x y ϕψϕψαϕψ∈=-≤，故T 为Ω上的压缩映射，又Ω是一个完备度量空间，从而由压缩映射定理知存在唯一的(,)x y ϕ使得()(,)(,T x y x y ϕϕ=，亦即二维F r e d h l o m 积分方程存在唯一解(,)()x y C D ϕ∈．例3.4.1 求解积分方程110(,)(,)x y x t s t dsdt ϕϕ=+⎰⎰．解 从题目知(,)f x y x =，1λ=，(,,,)k x y s t t =．取零次近似解0(,)x y x ϕ=，于是， 11101(,)4x y x s t dsdt x ϕ=+=+⎰⎰， 112001111(,)()4442x y x s t dsdt x ϕ=++=++⨯⎰⎰，1112101111111(,)(,)4424242n n n x y x t s t dsdt x ϕϕ--=+=++⨯+⨯++⨯⎰⎰， 由此不难知道，方程的解是1111111(,)4241122n n x y x x x ϕ∞-==+=+⋅=+-∑．4 Fredholm 定理在积分方程中的应用第二类Fredholm 积分方程（3-1-1）只有在少数情况下可以直接求出它的精确解， 通常要采取上面涉及到的近似方法求出它的数值解，因此在近似求解时总是假定相应的方程是可解的．下面我们利用Fredholm 的四个定理对各种情况下的积分方程的可解性进行讨论．（3-1-1）的齐次方程为()(,)()0ba x k x s s ds ϕλϕ-=⎰ （4-1）对参数λ的任意值，它显然有平凡解()0x ϕ≡，但当λ取某些值时，它可能有（不恒等于零的）非平凡解．定义4.1使齐次积分方程（4-1）有非平凡解即解核不存在的λ的值，称为方程或核(,)k x s 的特征值，对应的非平凡解称为方程或核(,)k x s 的特征函数．定义4.2 对于某个值λ，若Fredholm 方程的解核存在，这样的λ称为正则值． 定义 4.3 形如()()(,)()ba x g x k s x s ds ψλψ=+⎰的积分方程，称为方程（3-1-1）的共轭方程．(,)k s x 称为核(,)k x s 的共轭核，即把原来的核中的自变量互换，再取复共轭所得到的核．定理 4.1[1] 在λ平面的任意有限区域内，第二类Fredholm 方程只存在有限个特征值．定理4.2[1] 每一个特征值至少与一个特征函数对应，与一个已知特征值相对应的且是线性无关的特征函数的个数是有限的．定理 4.3[1] 若0λ是核(,)k x s 的特征值，则0λ是它的共轭核(,)k s x 的特征值，且方程0()(,)()0ba x k x s s ds ϕλϕ-=⎰的线性无关的特征函数的个数与它的共轭方程()x ψ-0(,)()0bak s x s ds λψ=⎰的特征函数的个数是相同的．定理4.4[1] 若0λ是核(,)k x s 的特征值，则方程0()(,)()()bax k x s s ds f x ϕλϕ-=⎰有解的充要条件为：()f x 与其共轭齐次方程()x ψ-0(,)()0bak s x s ds λψ=⎰的一切特征函数成正交．例4.1 当λ，α，β取怎样的值时，方程2()()sin x x s s ds x x πϕλϕαβ-=+⎰可解？解 考虑对应共轭齐次方程20()()x x s s ds c x πψλψλ==⎰，其中20()c s s ds πψ=⎰，于是，32024c s cs ds ππλλ=⇒=⎰. 因此原方程的特征值324πλ=，特征函数为324x π；根据定理 4.3可知，所求积分方程对应的齐次方程的特征值λ亦为324π，特征函数亦为324x π.(1)当324πλ≠时，原方程存在唯一解．(2)当324πλ=，根据定理4.4知，要使原积分方程有解，则自由项()sin f x x xαβ=+须和其共轭齐次积分方程的特征函数324x π正交，即满足32(sin )024x x x dx ππαβ+=⎰,解之得，3024παβ+=，即324παβ=-时方程可解，因此其解为3()24x x πϕβ=-+sin x β+324c x π,其中c 为任意参数．例 4.2 讨论方程120()(24)()12x x s x s ds x ϕλϕ--=-⎰的可解性，若有解，则写出解的形式．解 因为120()(24)()12x x s x s ds x ϕλϕ=-+-⎰11202()4()12x s s ds x s ds x λϕλϕ=-+-⎰⎰，记110()c s s ds ϕ=⎰,120()c s ds ϕ=⎰，则212()2412x c x c x x ϕλλ=-+-， 将()x ϕ代入(1,2)i c i =中，可得121120(2412)c s c s c s s ds λλ=-+-⎰122136c c λλ=--，整理得1221(1)036c c λλ-++=；且122120(2412)c c s c s s ds λλ=-+-⎰124132c c λλ=-+，整理得1241(1)032c c λλ-++=．联立上面两个方程，解得1213118611193c λλλ--=++,22112211193c λλλ-+=++，于是 (1)当1λ=时，20c =,112c =-. 则原方程有唯一解()13x x ϕ=-；(2)当313λ=-时，10c =，21318c =. 则原方程有唯一解22()213x x x ϕ=--+；(3)当1λ≠或313λ≠-时，12,0c c ≠. 则原方程有无穷多解．致谢语在论文完成之际，首先我要感谢高峰老师的亲切指导，从论文选题、撰写、反复修改到定稿过程中，高老师给我提出了很多宝贵的意见和富于启发的思路，严格要求的同时也倾注了许多的关怀，始终给予了悉心指导．高峰老师严谨的治学态度和高度负责的敬业精神，对我现在及未来的学习和工作，起到了很大的榜样作用．其次我还要感谢大学四年中所有老师、同学对我的关心、鼓励、支持和热情帮助．另外，甘宁老师在审阅本文的过程中也提出了一些宝贵的修改意见，在此一并表示诚挚的谢意！[参考文献][1] 陈传璋等．积分方程论及其应用[M]．上海：上海科学科技出版社，1987.[2] 张石生．积分方程[M]．重庆：重庆出版社，1988．[3] 沈以淡．积分方程. 第2版[M]．北京：北京理工大学出版社，2002.[4] 尤秉礼．常微分方程补充教程[M]．北京：人民教育出版社，1981.[5] 赵桢．奇异积分方程[M]．北京：北京师范大学出版社，1992.[6] 王东霞等．关于简单积分方程的求解问题[J]．高等数学研究, 2005，8(4)：33-35[7] 江泽坚等．泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，1994.[8] 胡适耕. 泛函分析[M]．北京：高等教育出版社，2001.[9] Delves, L.M. Computational methods for integral equations[M]. London：CambridgeUniversity Press,1985.[10] 郭迎娜等．一个积分方程解的存在唯一性证明[J]．安阳工学院学报，2006,1(2): 71-74[11] 王雪梅. Volterra积分方程解的存在唯一性[J]．扬州师院学报(自科版)，1990,12(4): 14-17[12] Burton T A. Volterra integral and differential equation[J]．Academic Press,1983，24(1):73-75[13] 刘清荣等．一类线性积分方程解的存在唯一性[J]．纯粹数学与应用数学，1994,10(2): 110-113[14] 殷承元．一类积分方程解的唯一性及其性质[J]．安徽大学学报(自科版)，2006,4(7): 9-11。

一类具有非局部条件的Sobolev型Hilfer分数阶发展方程的有限近似可控性作者：王星昭顾海波马丽娜陈奕如来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2020年第04期摘要：研究了Hilbert空间中具有非局部条件的Sobolev型Hilfer分数阶发展方程的有限近似可控性.在控制系统对应的线性系统是近似可控的这一假设下，通过使用分数阶微积分理论、半群理论、变分法和Schaefer不动点定理，得到了控制系统有限近似可控的充分条件.关键词： Hilfer分数阶导数; 发展方程; 非局部条件; 有限近似可控性中图分类号： O 231.2 文献标志码： A 文章编号： 1000-5137（2020）04-0371-10Abstract： We discuss the finite-approximate controllability of Hilfer fractional evolution equations of Sobolev type with nonlocal conditions in Hilbert spaces.With the assumption that the corresponding linear system is approximately controllable，we obtain sufficient conditions for finite-approximate controllability of the control system by using fractional calculus，semigroup theory，variational analysis and Schaefer fixed point theorem.Key words： Hilfer fractional derivative; evolution equation; nonlocal conditions; finite-approximate controllability0 引言近20年来，分数阶微分方程的定性理论、稳定性和可控性概念，因其在科学和工程等诸多领域的广泛应用，受到越来越多的数学家、物理学家和工程师们的关注.近几年间，有大批学者研究了多种不同类型的线性和非线性动力系统的可控性问题.例如：2013年，KERBOUA 等[1]研究了Hilbert空间中一类带有Caputo分数阶导数的Sobolev型随机发展方程的近似可控性，方程具有非局部条件;2015年，MAHMUDOV等[2]研究了Hilbert空间中一类带有Hilfer分数阶导数的发展方程的近似可控性;2016年，GE等[3]用近似法，研究了Banach空间中一类带有Caputo分数阶导数的发展方程的近似可控性，方程具有非局部条件和脉冲条件;2017年，CHANG等[4]利用预解算子的性质，研究了Banach空间中两类Sobolev型发展方程的近似可控性，即一类带有Caputo分数阶导数，一类带有Riemann-Liouville分数阶导数;2018年，MAHMUDOV用近似法和变分法，分别研究了Hilbert空间中一类带有Caputo分数阶导数发展方程的偏近似可控性[5]和有限近似可控性[6]，方程具有非局部条件;2019年，HE等[7]研究了Hilbert空间中一类带有Riemann-Liouville分数阶导数的随机波动方程的近似可控性;HUANG 等[8]研究了Banach空间中一类带有Caputo分数阶导数的抛物方程的近似可控性.然而，具有非局部条件的Sobolev型Hilfer分数阶发展方程的有限近似可控性至今还没有被研究.事实上，在线性系统中，若控制系统是近似可控性的，则其一定也是有限近似可控的[9-11]，但在非线性系统中，却没有这一结论.由此可見，有限近似可控性是一个比近似可控性更强的性质.参考文献：[1] KERBOUA M，DEBBOUCHE A.Approximate controllability of Sobolev type nonlocal fractional stochastic dynamic systems in Hilbert spaces [J].Abstract and Applied Analysis，2013，2013：262191.[2] MAHMUDOV N，MCKIBBEN M.On the approximate controllability of fractional evolution equations with generalized Riemann-Liouville fractional derivative [J].Journal of Function Spaces，2015，2015：263823.[3] GE F D，ZHOU H C.Approximate controllability of semilinear evolution equations of fractional order with nonlocal and impulsive conditions via an approximating technique [J].Applied Mathematics and Computation，2016，275：107-120.[4] CHANG Y K，PEREIRA A.Approximate controllability for fractional differential equations of Sobolev type via properties on resolvent operators [J].Fractional Calculus and Applied Analysis，2017，20（4）：963-987.[5] MAHMUDOV N.Partial-approximate controllability of nonlocal fractional evolution equations via approximating method [J].Applied Mathematics and Computation，2018，334：227-238.[6] MAHMUDOV N.Finite-approximate controllability of fractional evolution equations：variational approach [J].Fractional Calculus and Applied Analysis，2018，21（4）：919-936.[7] HE J W，PENG L.Approximate controllability for a class of fractional stochastic wave equations [J].Computers and Mathematics with Applications，2019，78（5）：1463-1476.[8] HUANG Y，LIU Z H.Approximate controllability for fractional semilinear parabolic equations [J].Computers and Mathematics with Applications，2019，77（11）：2971-2979.[9] FABRE C，PUEL J P.Approximate controllability of the semilinear heat equation[J].Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A：Mathematics，1995，125（1）：31-61.[10] LIONS J L，ZUAZUA E.The cost of controlling unstable systems：time irreversible systems [J].Revista Matemaeica UCM，1997，10（2）：481-523.[11] ZUAZUA E.Finite dimensional null controllability for the semilinear heat equation [J].Journal de Mathématiques Pureset Appliquées，1997，76（3）：237-264.[12] PODLUBNY I.Fractional Differential Equations [M].San Diego：Academic Press，1999.[13] HILFER R.Applications of Fractional Calculus in Physics [M].Singapore：World Scientific，2000.[14] GU H B，TRUJILLO J J.Existence of mild solution for evolution equation with Hilfer fractional derivative[J].Applied Mathematics and Computation，2015，257：344-354.[15] ZHOU Y，JIAO F.Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（5）：4465-4475.[16] MAHMUDOV N.Finite-approximate controllability of evolution equations [J].Applied and Computational Mathematics，2017，16（2）：159-167.[17] CURTAIN R F，ZWART H J.An Introduction to Infinite Dimensional Linear Systems Theory [M].New York：Springer-Verlag，1995.（責任编辑：冯珍珍）。

几类分数阶发展方程稳定性和可控性的研究在近几十年里,分数阶微分系统的解(适度解、弱解)的存在性、稳定性及可控性是控制领域中的研究热点.本文首先讨论了两类分数阶发展方程适度解的存在性和可控性;其次,我们研究了一类时间分数阶扩散方程初值问题解的稳定性.最后,我们给出了一类时间-空间分数阶扩散方程弱解的存在唯一性.本文的结构如下.第一章简要介绍分数阶发展方程的相关研究背景,意义以及本文的研究内容.第二章给出本文将要用到的预备知识,包括一些主要记号、函数空间、分数阶微积分基本理论、算子半群理论和若干不动点定理.第三章讨论了一类分数阶发展方程适度解的存在性和可控性.我们首先根据文献[55,56],给出了上述系统的适度解的定义.进而利用分数阶微积分、算子半群理论和Schauder不动点定理等非线性泛函分析知识得出了系统适度解的存在性和近似可控性.我们又进一步建立了上述系统的完全可控性的充分条件.最后,给出了一类分数阶偏微分方程的近似可控性的例子,说明结果的应用.第四章考虑了一类分数阶发展方程适度解的存在性和完全可控性.与第三章类似,我们首先根据文献[55,56],给出系统的适度解的定义.然后借助分数阶微积分理论、算子半群理论(半群分数次幂等)和Banach不动点定理建立了系统的适度解的存在性和完全可控性.最后,举出一个例子说明定理的应用.第五章主要介绍了一类分数阶扩散方程初值问题解的稳定性.我们首先运用叠加原理将上述非齐次初值问题转化为求相应的齐次初值问题(Ⅰ)和非齐次初值问题(Ⅱ)的解.其次,用分数阶微积分、Laplace变换及Fourier变换得出齐次初值问题(Ⅰ)解的表达式.又建立了非齐次初值问题(Ⅱ)的分数阶Duhamel原理,进而得出上述非齐次初值问题(Ⅱ)的解的表达式.于是运用叠加原理就表示出了非齐次初值问题的解.紧接着,本章研究了分数阶扩散方程初值问题解的稳定性.最后,举出一个例子说明定理的应用.第六章研究了一类时间-空间分数阶扩散方程初边值问题弱解的存在唯一性.用特征函数展开法讨论了上述初边值问题弱解的存在性.然后,我们借助时间分数阶导数和分数阶Laplace算子的性质得到了一个极值原理,由此进一步讨论了弱解的唯一性.本章所得到的结论是已有结论[126]的推广.。

数学的常微分方程分支数学中的常微分方程（Ordinary Differential Equations，简称ODEs）是研究未知函数及其导数之间关系的方程。

它在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛应用。

常微分方程的分支涵盖了丰富的数学理论和解法，本文将对常微分方程的几个重要分支进行介绍。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是最基本的微分方程类型，它涉及到未知函数的一阶导数。

一阶常微分方程可以分为可分离变量方程、线性方程、齐次方程等几种类型。

具体来说：1. 可分离变量方程：形如dy/dx = f(x)g(y)的方程，可以通过分离变量的方法将其化简为f(y)dy = g(x)dx的形式，然后进行积分来求解。

2. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。

线性方程可以通过积分因子法或者特征方程法来求解。

3. 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)的方程，可以通过变量代换或者直接求解齐次方程的方法来求解。

二、高阶常微分方程高阶常微分方程涉及到未知函数的高阶导数，常见的高阶常微分方程包括二阶、三阶和n阶方程。

解高阶方程的方法有多种，下面以二阶常微分方程为例进行介绍。

1. 二阶线性常微分方程：形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = 0的方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。

二阶线性方程的解可以通过常系数线性齐次方程和常系数线性非齐次方程的方法来求解。

2. 变系数线性方程：形如d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = f(x)的方程，其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数。

变系数线性方程的解可以通过特殊解和齐次方程通解的线性叠加求解。

三、微分方程的数值解法在实际应用中，有些微分方程无法通过解析方法求解，而需要使用数值解法进行计算。

常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。

无穷时滞中立型积分微分系统解的存在性与近似可控性
主要利用预解算子、分数幕算子理论与方法,以及不动点定理研究了具有依赖状态的无穷时滞的中立型积分微分系统解的存在性、正则性与逼近能控性,并给出了相应例子,论文取得的结果推广了相关文献的已有结论。

全文分为三章,第一章简要介绍相关研究背景及本文的主要工作;第二章利用不动点定理、分数幂算子及预解算子理论讨论具有依赖状态的无穷时滞的中立型积分微分系统的温和解的存在性,并分别在lipschitz条件和Holder连续性条件下分析了强解和严格解的存在性,还讨论了解的爆破性结果,最后给出一个应用例子,第三章运用不动点定理、预解算子研究了具有依赖状态的无穷时滞发展系统的逼近能控性,在相应线性系统逼近能控的条件下利用解析预解算子结论及不动点定理获得半线性系统逼近能控的一些充分条件,最后也给出一个应用例子.。

几类分数阶常微分方程可解性的研究几类分数阶常微分方程可解性的研究摘要：分数阶微积分是微积分的一个重要分支，分数阶常微分方程是分数阶微积分的基础和应用。

本文通过对几类分数阶常微分方程的可解性进行研究，探讨了其解的存在性和唯一性，并给出了相应的解析解。

1. 引言分数阶微积分是近年来发展起来的一门新兴学科，其研究对象是带有分数阶导数的函数。

分数阶常微分方程作为分数阶微积分的基础和应用，在物理、生物、化学等领域具有广泛的应用前景。

本文通过对几类分数阶常微分方程的可解性进行研究，对于分数阶微积分的发展和应用具有一定的理论意义。

2. 方法与理论本文主要采用变换方法和分数阶微积分的一些基本定义进行分析，并结合一些已有的分数阶常微分方程的解析解进行求解。

通过分析不同类型的方程，探讨其解的存在性和唯一性。

3. 类型一：一阶分数阶常微分方程一阶分数阶常微分方程是一种最基本的分数阶常微分方程，形式为：$$D^{\alpha} y(t) = f(t,y(t))$$其中，$D^{\alpha}$表示分数阶导数算子，$\alpha \in (0,1)$为分数阶导数的阶数。

通过变换方法和已有的解析解，我们可以得到该类型方程的一般解表达式。

4. 类型二：二阶分数阶常微分方程二阶分数阶常微分方程是一种常见的分数阶常微分方程，形式为：$$D^{\alpha} y(t) = f(t,D^{\beta} y(t))$$其中，$D^{\beta}$为二阶分数阶导数算子，$\beta \in(0,1)$为分数阶导数的阶数。

我们研究其解的存在性和唯一性，通过变换方法和积分运算，可以得到该类型方程的解析解。

5. 类型三：非线性分数阶常微分方程非线性分数阶常微分方程是一类较为复杂的分数阶常微分方程，形式为：$$D^{\alpha} y(t) = f(t,y(t),D^{\beta} y(t))$$其中，$f(t,y(t),D^{\beta} y(t))$为非线性函数。

高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型在高考数学中，一阶常微分方程是一个重要的考点，掌握其解法和类型对于提高数学成绩至关重要。

接下来，让我们一起深入探讨这个关键知识点。

一阶常微分方程，简单来说，就是含有一个自变量及其一阶导数的方程。

它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

首先，我们来了解一下一阶常微分方程的常见类型。

第一种是可分离变量的一阶常微分方程。

形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程就是可分离变量的方程。

其解法是将方程两边分别除以$g(y)＄，然后将变量$x$和$y$分离到等式两边，接着分别对两边进行积分，就可以得到方程的解。

例如，方程$dy/dx ＝ x/y$就是可分离变量的方程。

我们将其变形为$ydy ＝ xdx$，然后两边分别积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$，得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，即$y^2 ＝ x^2 ＋ 2C$。

第二种类型是一阶线性常微分方程。

它可以分为一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程。

一阶线性齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ 0$，其解为$y ＝ Ce^｛＼int P(x)dx}＄。

而一阶线性非齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，我们可以使用常数变易法来求解。

先求出对应的齐次方程的通解，然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛＼int P(x)dx}＄，代入非齐次方程求出$u(x)＄，从而得到非齐次方程的通解。

例如，方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 2x$，这里$P(x) ＝ 2x$，＄Q(x) ＝ 2x$。

先求对应的齐次方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 0$的通解，即$y ＝ Ce^｛＼int2xdx} ＝ Ce^｛x^2}＄。

然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛x^2}＄，代入原方程求出$u(x)＄，最终得到非齐次方程的通解。

除了以上两种常见类型，还有一些特殊的一阶常微分方程，比如伯努利方程。

几类积分方程的可解条件
积分是数学中的一种重要概念，根据不同的类别，可以将积分分为几类。

这些
分类可以帮助我们更好地掌握积分的复杂性，有效地解决相关积分问题，下面我们就具体了解几类积分方程的可解条件。

首先，独立积分方程的可解条件是积分中的函数及其一阶导数必须易于求出。

另外，在独立积分中，步骤间必须保持一致，否则会影响到最终的解。

其次，积分可以分为连续积分和分段积分，分段积分中，可解条件是，要分段求解，并且每一段的函数及其相应导数也要易于求解。

最后，关于Riemann-Stieltjes积分，当两个函数都易于求出，且具有相应可积性，则可求出Riemann-Stieltjes积分。

总之，不同积分方程的可解条件并不相同，因此在求解相关的积分问题的时候，要根据不同的积分方程来考虑其可解条件，例如，函数及其导数的易于求出，函数的可积性以及分段求解等情况。

此外，在实际操作中需要考虑优化计算方式，尽可能简化处理，提高解题效率。

数学的微分方程分支微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

微分方程的研究主要集中在两个方面：常微分方程和偏微分方程。

一、常微分方程常微分方程是研究一元函数的微分方程，即只包含一个未知函数及其导数的方程。

常微分方程可以分为几个重要的类型。

1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指只含有一阶导数的微分方程，常见的一阶常微分方程有线性方程、可分离变量方程、齐次方程等。

2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指含有二阶及以上导数的微分方程，通过逐步降阶可以将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程进行求解。

3. 常系数线性微分方程常系数线性微分方程是指系数为常数的线性微分方程，如常见的二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。

二、偏微分方程偏微分方程是研究多元函数的微分方程，即含有多个未知函数及其偏导数的方程。

偏微分方程具有复杂的数学性质和物理意义，在科学研究和实际应用中有广泛的应用。

1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指方程中二阶偏导数的系数矩阵为正定的方程。

椭圆型偏微分方程的解通常涉及到边界值问题和最值问题。

2. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程是指方程中二阶偏导数的系数矩阵的主对角线元素为0的方程。

抛物型偏微分方程的解通常涉及到初始条件和边界条件。

3. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指方程中二阶偏导数的系数矩阵为负定的方程。

双曲型偏微分方程的解通常涉及到波动传播问题和边界条件。

总结：微分方程作为数学的一个重要分支，对于科学研究和实际应用都有着重要的作用。

常微分方程和偏微分方程分别研究一元函数和多元函数的微分方程，涉及的类型包括一阶、高阶、线性和非线性方程等。

掌握微分方程的求解方法和应用技巧，对于深入理解和解决实际问题具有重要意义。

关于一类分数阶微分方程问题的可解性专业：数学与应用数学 学号：5501109016 姓名：胡雪莲 指导老师：张小芝摘 要研究分数阶微分方程边值问题对解决非线性问题有重要的意义。

本文利用不动点定理，压缩映射原理的理论研究如下的非线性分数阶微分方程边值问题：0'''()(,())(0)(0)(1)0D u t f t u t u u u α+⎧=⎪⎨===⎪⎩ 解的存在性，其中01t <<，23α<≤，α是个实数，:[0,1]f R R ⨯→,0D α+为标准的Riemann-Liouville 导数.关键词：分数阶微分方程，边值问题，格林函数，不动点定理The solvability of a class fractional differentialequationAbstractIt is important for solving nonlinear problems to discuss the boundary value problem of fraction order differential equation. In this work, we use the fixed point theorem and contracting mapping principle to figure out the boundary value problems of nonlinear fraction order differential equation as follows:0'''()(,())(0)(0)(1)0D u t f t u t u u u α+⎧=⎪⎨===⎪⎩ We prove the existence of the solution, here, 01t <<,23α<≤, α is a realnumber, :[0,1]f R R ⨯→, and 0D α+ is the canonical Riemann-Liouville derivative.Keywords : fraction order differential equation, boundary value problem, greenfunction, fixed point theorem.目录摘要 (I)Abstract (II)第一章引言 (1)第二章预备知识 (3)第三章主要结论 (6)3.1格林函数 (6)3.2主要结果 (7)第四章应用举例 (11)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (16)第一章 引言分数阶微分方程是伴随分数阶微积分学一起发展起来的学科，早在1695年，整数阶微积分还是处在发展时期，就开始了对分数阶微积分和分数阶微分方程的讨论和猜想，许多数学家在这领域中多做出了巨大的贡献，如Laplace, Liouville, Riemann 等.如今,分数微积分和分数级微分方程发展迅速，有关这类的许多问题研究也越来越多的受到人们的关注.除了在数学各方面的应用，分数阶微分方程还在流体力学[1]，流变学，粘弹性力学，各种电子回路，生物系统的电传导，神经的分数模型以及回归模型，分数控制系统等有广泛的应用。

一阶线性中立型方程组及任意阶线性中立型方程的周期解杨锐洲
【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1996(013)001
【摘要】该文给出一阶常系数线性中立型方程组以及任意阶常系数线性中立型方程的周期解存在的充要条件。

【总页数】7页(P20-26)
【作者】杨锐洲
【作者单位】广东韩山师范学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
【相关文献】
1.一阶线性中立型方程组及任意阶线性中立型方程的周期解 [J], 杨锐洲
2.四阶线性中立型方程的周期解 [J], 黄永明
3.关于四阶常系数线性中立型方程的周期解 [J], 古娜太·加那比
4.一阶非线性中立型方程组非振动解的存在性 [J], 王侃民
5.一阶非线性中立型方程组的非振动解的存在性 [J], 余晋昌
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分数阶Navier-Stokes方程在Sobolev-Lorentz空间适度
解的存在性
秦诗轩;何家维
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2024(37)3
【摘要】本文研究具有Caputo导数的时间分数阶Navier-Stokes方程的Cauchy问题,利用Banach空间的压缩映照原理,获得在齐次Sobolev-Lorentz空间中局部适度解的存在性.分别建立了临界指标与超临界指标情形下Besov空间小初值条件相应的整体和局部适度解存在性理论.
【总页数】14页(P765-778)
【作者】秦诗轩;何家维
【作者单位】广西大学数学与信息科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.一类带有分数阶边值条件的分数阶q-差分方程解的存在性
2.一类带脉冲时滞中立型分数阶微分方程适度解的存在唯一性
3.非线性分数阶积分微分发展方程适度解的存在唯一性（英文）
4.分数阶Navier-Stokes方程在齐次Sobolev空间中解的爆破准则
5.一类具有Riemann-Liouville分数阶积分边值条件的奇异分数阶微分方程解的存在性
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一类分数阶发展方程解的存在唯一性的开题报告题目：一类分数阶发展方程解的存在唯一性研究背景和意义：分数阶微积分理论是对传统微积分理论的一种拓展，它将整数阶微积分推广至实数阶微积分，并且在模拟物理、信号处理、机器学习等领域有着广泛的应用。

目前，分数阶微积分已经成为热门的研究领域，研究人员对于分数阶发展方程的研究也越来越重视。

在分数阶发展方程的研究中，解的存在唯一性是一个非常重要的问题。

因为一类分数阶发展方程不同于整数阶发展方程，由于它不满足局部存在唯一性定理，因此解的存在唯一性需要在全局的范围内考虑。

解的存在唯一性是很多分数阶发展方程的研究基础和核心问题，对于解的稳定性、动力学行为、计算方法以及应用研究都有着重要的意义。

研究方法和步骤：本研究将采用数学分析和数值模拟相结合的方法，主要包括以下步骤：第一步：对一类分数阶发展方程进行研究和分析，建立数学模型。

第二步：通过数学分析方法，研究分数阶发展方程解的存在唯一性，并给出相应的定理和证明过程。

第三步：设计数值算法，进行数值模拟，检验解的存在唯一性定理的正确性，并分析分数阶发展方程的解的稳定性和动力学行为。

第四步：实际应用研究，将所得的结果应用于物理和工程领域，如流体力学、声学等，探索分数阶微积分在实际问题解决中的应用前景。

预期成果和意义：预计本研究将实现一类分数阶发展方程解的存在唯一性的证明，并针对其数值模拟进行探究，得出相应的数值算法和计算机模拟方法。

此外，我们还预计将解的存在唯一性的理论研究应用于流体力学、声学等领域，研究分数阶微积分在实际问题解决中的应用前景。

本研究的成果不仅将有利于分数阶微积分理论的发展，同时也将为实际工程和科学问题的解决提供重要的理论和实验基础。