一类高阶非线性中立型差分方程的振动性

一类非线性高阶微分方程解的振动性
李洁坤
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(024)004
【摘要】借助测度等工具研究了一类高阶非线性泛函微分方程rn
［φ(x(n)(t))ψ(x′(t))］′+F(t,x(t),x(p(t)))-H(t,x(t),x′(p(t)))=0rn的振动性.
【总页数】4页(P353-356)
【作者】李洁坤
【作者单位】柳州师范高等专科学校数学系,
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类带有多项延迟的非线性中立型延迟微分方程解析解的振动性分析 [J], 王慧灵;高建芳
2.一类非线性时滞差分方程解的振动性和非振动性 [J], 肖娟;蔡江涛
3.一类非线性高阶微分方程解的存在性和延展性 [J], 郭兴
4.一类含非线性边界条件的高阶微分方程解的存在性 [J], 赵本生;林晓洁
5.一类四阶非线性泛函微分方程解的振动性 [J], 高正晖
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一阶非线性中立型微分方程的振动性定理摘要论证一类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。

关键词非线性中立型微分方程;振动;变系数;变偏差1引言泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展。

这一领域已有多本专著[1]和许多研究论文,例如本文比较关注的[2-3],等等。

本文考虑一阶非线性中立型微分方程:(1.1)其中在本文中,将给出这类具有变系数和变偏差的一阶非线性中立型微分方程的振动性的一个基本定理,并将所得结果成功地应用于进一步讨论该方程的振动性和线性化振动性。

2基本定理定理1.在(1.1)中,假设最终不恒等于0,设(1)最终成立;或(2)τi(t)=τi>0,每个Pi(t)有界,存在一个τ>0,自然数ki(i=1,2,…,n)和t*≥t0,使得τi=kiτ,若x(t)是(1.1)的最终正解,且,(2.1)则有。

证明由(1.1)和(2.1)易得y’(t)≤0且最终不恒等于0。

下面证明y(t)>0。

假设y(t)最终为负,那么,存在一个充分大的T,对t≥T,有y(t)T使得t1-τi(t1)≥T,且当s∈[T,t1]时,有x(s)≤x(t1)-β。

特别地,β+max{x(t1-τi(t1)):i=1,2…,n}≤x(t1) (2.3)显然,(2.3)和(2.2)是矛盾的。

由(2)根据[4,引理1]的证明,我们可得x(t*+kτ)→—∞(k→+∞),这与x(t)最终为正相矛盾。

证毕。

3应用定理 2.在(1.1)中, 设(1)成立,且(3)存在的非空子集J和Nj>0,使得xfj(x)≥Njx2,x∈R,j∈J。

若微分不等式没有最终正解,则(1.1)所有的解都是振动的。

证明设(1.1)有一个最终正解x(t),由(2.1)和定理1,有,且,即。

在定理2的条件下,上述不等式没有最终正解,与y(t)>0相矛盾。

一阶中立型差分方程的振动性钟晓珠;高艳花;刘娜;李国琴;赵所所【摘要】考虑一类带有非线性中立项的差分方程解的振动性,建立了该类方程解振动的新的充分条件.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(046)005【总页数】3页(P4-5,23)【关键词】振动性;中立型差分方程;充分条件【作者】钟晓珠;高艳花;刘娜;李国琴;赵所所【作者单位】燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004;燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004;燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004;燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004;燕山大学,理学院,河北,秦皇岛,066004【正文语种】中文【中图分类】O175.7本文研究非线性中立型差分方程的振动性.其中,α,βj是正的奇数之比,m是任意固定的自然数;τ是正整数,σj是非负整数,σ=max{σ1,σ2,…,σm}; {pn},{qn}是非负实数列;Δ表示向前差分算子,即Δxn=xn+1-xn.对于方程(1)的一个解{xn},如果存在 n0>0,使得当n≥n0时 xn>0,则称{xn}为最终正解.类似可定义最终负解.如果解{xn}既不是最终正解也不是最终负解,则称其为振动解.若方程的所有解振动,则称方程是振动的,否则称为非振动的.当m=1,σ1=σ,β1=β时,方程(1)变为对于方程(2)的定性研究已有许多好的结果[1-5].最近,文献[6]在m>1,α>1,pn≡p 条件下得到了方程(1)振动的若干充分条件.本文将文献[5]的结果推广到 m>1,在α>0,p＊≤pn≤p＊条件下给出该类方程振动的几个充分条件,从而改进并推广文献[5,6]的结果.定理1 假定α∈(0,1)且下列条件成立:(H1)存在 p＊,p＊∈(0,∞),使得对任意充分大的 n,p＊≤pn≤p＊;则方程(1)的所有解振动.证明设{xn}是方程(1)的最终正解,则存在n1>n0,使得当n≥n1-τ-σ时,有 p＊≤pn≤p＊且xn>0.令将(3)式代入(1)式,得因此{zn}单调不增,于是存在n2≥n1,使得(a)zn<0,n≥n2;或者(b)zn>0,n≥n2.如果(a)成立,则由(3)式可知, >0.由式(3),(4)式可知,{zn}单调不增,于是存在n2≥n1,使得(a)zn>0,n≥n2;或者(b)zn<0,n≥n2.如果(a)成立,则由(3)式和(4)式得由zn是正的单调不增的数列可知zn有正的下界.因此存在M>0,使得对(7)式从n3到∞求和,且结合条件(H2)可得因此(b)不成立.综上可得,方程(1)是振动的. 】定理2 假设α>1且条件(H1)成立,如果存在λ>τ-1lnα,使得则方程(1)的所有解振动.证明设{xn}是方程(1)的最终正解,则存在n1>n0,使得当n≥n1-τ-σ时有p＊≤pn≤p＊且 xn综上可得,方程(1)的所有解振动. 】定理3 假设α>1且条件(H1)成立,如果存在μ<τ-1lnα,使得则方程(1)有最终正解.【相关文献】[1] TANG Xian-hua.Oscillation for first order nonlinear delay differential equations[J].J M ath A na l A pp l, 2001,264:510-521.[2] 周英告,唐先华.一阶非线性时滞差分方程的振动性[J].应用数学,2002,15(3):132-135.[3] 张广,高英.差分方程的振动理论[M].北京:高等教育出版社,2001.[4] TANG Xian-hua,L IN Xiao-yan.Necessary and sufficient conditions for oscillation of first order nonlinear neutral differential equations[J].J M ath A na l A pp l,2006,321:553-568. [5] LIN Xiao-yan.Oscillation of solutions of neutral difference equationsw ith a nonlinear neutral term[J]. Com puters and M athematics w ith A pp lications, 2006,52:439-448. [6] LIN Xiao-yan,TANG Xian-hua.Oscillation of solutions of neutral differential equations w ith a superlinear neutral term[J].A pp lied M athematics Letters,2007,20:1016-1022.。

Value Engineering1研究背景自1988年Stefan Hilger 在他的博士论文中首次提出测度链上的微分方程理论以来，测度链上时滞动力方程的研究成为目前国际上关注的一个新课题，对其研究具有重要的理论价值和实际应用价值。

而对于许多情况，只需考虑测度链的一种特殊情形———时标，时标指的是实数R 的任意一个非空闭子集，以符号表示。

详细的有关时标的理论见文献[2,5,6]。

本文考虑时标上二阶非线性中立型微分方程(x(t)+n i =1∑p i (t)x(τi (t)))ΔΔ+mj =1∑q j (t)f j (x(r j (t)))=0,t ⩾t 0>0（1）的振动性，其中p i (t)，q j (t)∈C rd ([t 0，∞)，R +），0⩽τi （t）<t ，0⩽r j (t)<t,r j (t)非减，q j (t)不最终恒为零，f j (x)/x ⩾εj >0，i=1,2,…n ，j=1,2,…m,本文中记ε=min{εj }，r(t)=min{r j （t）}，z(t)=x(t)+ni =1∑p i(t)x(τi (t))。

2主要结果引理1设x(t)为(1)的非振动解，若x(t)最终为正(负)，则最终有z Δ(t)>0(z Δ(t)<0)。

证明假设x(t)为(1)的最终正解(最终负解同样可证)，即存在充分大的t 1⩾t 0>0，当t ⩾t 1时，x(t)>0,x(τi (t))>0，x(r i (t))>0，易知z(t)=x(t)+ni =1∑p i (t)x(τi (t))⩾0且z ΔΔ(t)=-m j =1∑q j (t)f j (x(r i (t)))⩽0（2）故知z Δ(t)单调递减，且z Δ(t)>0。

若不然，则z Δ(t)⩽0，因为q j (t)不最终恒为零，故z Δ(t)不最终恒为零，故存在t 2，当t ⩾t 2⩾t 1，有z Δ(t)⩽z Δ(t 2)（3）对(3)式从t 2到t 积分，有z(t)-z(t 2)⩽t t ∫z Δ(t 2)ΔS=z Δ(t 2)(t-t 2)，当t→∞时，得z(t)→-∞。