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线性空间与欧洲空间第六章线性空间和欧氏空间的定义(1线性空间及其同构-线性空间)设V为非空集，K为数域。
集合V的元素之间定义了一个代数运算，称为加法；也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，V中只有一个元素对应于它们，并且成为和的和，它被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:1)；交换法2)；束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:5)；有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:7)；数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段中的任何数字；和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空间。
专科毕业设计论文题目:关于欧式风格卧室空间设计研究摘要人的一生中极大部分时间都是在室内度过，因此室内环境的优劣，必然直接影响带人们的安全、卫生、效率和舒服，室内空间的大小和形状，室内界面的线性图案等，都会给人们生理、心理上有较强的长时间、近距离的感受，甚至可以接触和触摸到室内的家具、设备以至墙面、地面等界面，因此很自然地对室内设计要求更为深入细致，要更多地从有利于人们身心健康和舒适的角度去考虑，要从有利于丰富人们的精神文化生活的角度去考虑。
在欧式卧室的设计上，追求的是优雅独特、尊贵浪漫的设计风格。
一般采用传统的那种中轴对称的四平八稳得形式，而不用不对称的自由式布局。
在设计卧室时，追求时尚而不浮躁，庄重典雅而不乏轻松浪漫的感觉。
欧式组合家具造型研究完整，再加上培植盆景、摆设和室内装饰，就可以取得生动活泼、富有韵律的艺术效果。
再配合色彩的选择，让我是体现出不同的流行气息，也能体现出现代人的流行意念和流行风格。
关键词：欧式卧室、流行气息、色彩前言卧室装饰的基本原则美化装饰应有一个整体构思，即从卧室的功能出发，以功能的充分发挥来美化和装饰。
在欧式卧室的设计上，追求的是功能与形式的完美统一，优雅独特、豪华尊贵的设计风格。
在卧室设计的审美，设计要追求时尚而不沉稳，庄重典雅而不乏轻松浪漫的感觉。
按艺术的观点来布置卧室，可以是卧室布置得更加典雅舒适。
欧式卧室空间，一般采用传统的那种中轴对称的四平八稳孤形式而常常不采用不对称的自由式布局。
欧式的家具高度和体量是协调的。
用整套家具布置卧室，大气美观，豪华奢侈不易形成凌乱的感觉。
而欧式组合造型严谨完整，再加上培植盆景、摆设和室内装饰，就可以取得生动活泼、富有韵律的艺术效果。
目录1.卧室设计的基本要素 ........................................... - 1 -1.1设计基本原理.............................................. - 1 - 1.2卧室颜色的选择............................................ - 1 - 1.3卧室的家具................................................ - 2 - 1.4卧室的装饰与明亮.......................................... - 3 -1.5室内绿化.................................................. - 3 -2.室内装饰设计要点.............................................. - 5 -2.1基面装饰—楼地面装饰...................................... - 5 - 2.2墙面装饰.................................................. - 5 - 2.3顶棚装饰.................................................. - 6 -2.3.1顶面设计原则.......................................... - 6 -2.3.2顶面设计形式.......................................... - 6 -3.室内设计的特点 ............................................... - 8 -3.1 对人们身心的更为直接和密切................................ - 8 - 3.2 对室内环境的构成因素考虑更为周密.......................... - 8 -3.3 室内功能的变化、材料与设备的老化与更新更为突出............ - 8 -4.效果图展示 ................................................... - 9 -4.1 CAD平面图展示............................................ - 9 -4.2 3D效果图展示............................................ - 10 -5.设计总结与展望 .............................................. - 11 -6.致谢 ...................................................... - 12 -7.参考文献 .................................................... - 13 -1.卧室设计的基本要素1.1设计基本原理环境艺术专业包含了建筑初步、材料学、素描学、色彩学、三大构成、美术、手绘基础、室内设计、室内设计快速表现技法、建筑装饰视图制图、装饰材料运算、装饰工程招投标、装饰施工与管理，案例分析、案例分析高级运用、高级动画。
2014年三会一课会议记录示例1月10日支部委员会内容：1、传达镇党委工作会议精神。
2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时解决村民反映的突出问题。
3、总结2012年各项工作……..，讨论2013年重点工作，制定2013年初步工作计划………，下一步及时召开党员大会进行讨论。
4、讨论村内环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。
2月3日支部委员会内容：1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。
2、传达镇党委政府春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。
3、安排发放计生明白纸。
4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。
3月1日党员大会内容：商议村内重大建设项目及工作计划一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。
二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。
再详细介绍一下项目内容、投资情况）。
如修村内大街，长米，宽米，需建设资金万元，经村两委讨论决定，建设资金为村集体收入资金（或群众共同出资，每人元）。
三、党员讨论结果经村党员大会讨论举手表决：同意通过。
参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。
四、（支书姓名）总结。
同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目的建设。
3月1日上党课内容:（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实际情况，检查的时候也可信）一、（支书姓名）主持会议今天，镇领导…（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热烈的掌声欢迎领导讲话。
二、镇领导讲话一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和党员队伍建设的重要性和紧迫性。
二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。
同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广曹京平【摘要】讨论了同构映射对线性空间及欧氏空间的作用,同构的线性空间及欧氏空间之间的性质; 通过同构映射来研究欧氏空间中线性变换的作用,并着重对对称变换进行了分析.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(005)003【总页数】3页(P61-63)【关键词】线性空间;欧几里得空间;同构映射;对称变换【作者】曹京平【作者单位】内蒙古财经学院,统计数学学院,内蒙古,呼和浩特,010070【正文语种】中文【中图分类】O175.26线性空间和欧几里得空间（简称欧氏空间）是高等代数中两个非常重要的概念，也是抽象和难理解的概念，特别是多维或无限维线性空间或欧氏空间对于初学者来说更是感到难以接受。
同构是两个线性空间或欧氏空间之间的一种关系，如果两个空间是同构关系，则它们就具有相同的性质。
因此同构是帮助理解线性空间或欧氏空间的一个桥梁。
关于同构对线性空间及欧氏空间的作用，参考文献［1］、［2］、［3］等都作了很透彻的研究，但对欧氏空间中对称变换的定义及证明并没有进行深入的讨论。
本文以上面的讨论为基础，由同构映射对对称变换作进一步研究。
定义1.1 数域P上两个线性空间V与V′称为同构，若由V到V′有一个双射σ，使得∀α，β∈V，∀k∈P，具有以下性质这样的σ称为同构映射。
设Pn是数域P上n维向量的集合，它是一个n维线性空间。
在数域P上任一n维线性空间V中任取一组基ε1，ε2，…，εn，则∀α∈V，则α可唯一地由基ε1，ε2，…，εn线性表出。
设α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋xnεn，其中xi∈P，i＝1，2，…，n。
定义映射σ：V→Pn，σ(α)＝(x1，x2，…，xn)。
由参考文献［1］易知σ是V 到Pn的一个同构映射，V与Pn之间具有相同的性质，线性空间V中向量的运算可归结为它们坐标的运算，故对V的讨论可归结为对Pn的讨论。
由V的任意性，数域P上任一n维线性空间都与Pn同构，关于n维向量的一些结论在一般的线性空间中也成立。
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法邹雨情沈阳师范大学摘要：高等代数中的线性空间概念是重要的一个属性，欧式空间的深入理解是认识高等数学的一个重要信息，而且线性空间与欧式空间的维数与正交基的标准是认识空间的基础。
因此，本文在对数域中对线性空间的与欧式空间的方面进行说明，数域P 所起的作用，探讨维数的基于标准正交基的方法与步骤。
关键词：线性空间；欧式空间；正交基；标准；求法一、线性空间与欧式空间（一）线性空间。
线性空间是一个给出法则，在一个设V 的集合中，任意的两个元素且是在非空的几何中V 中有数域P 中的运算，定义是一种加法的运算，与他们对应，同时，对于数域K 任意元素还有一个是乘法的元算，称之为乘积的数量，记为K ，V 就是数域的线性空间，满足交换律、结合律、数的分配律与元的分配律规则。
（二）欧式空间。
线性空间主要运算是加法和数量的乘法的运算，几何问题的空间推广，就要涉及到度量的引入，例如长度、夹角等几何向量性质的特殊的位置，丰富线性空间的内容和方法，内积的广泛为正交的变换概念的性质与对应的特殊矩阵的对称变换正交补空间的某个子空间，实数域上的正交等的结构特征，准确把握施密特的正交组基德基本性质与好处，利用标准的正交基的特性。
二、数域P 的线性空间的作用与角色（一）对空间V 的变换在线性判别的影响。
V 的线性空间的变换主要是加法与数量乘积的运算，如果称A 是同构的映射，线性空间的V 就是同构的空间，在线性空间这一概念上一个线性映射的简单性质的集合，充分必要条件是数域P 的有限线性同构映射的乘积的逆映射，和与只和子空间的最小子空间，交换律以及结合律的包含线性向量组，被扩充以及推广到维数和的基，得到推论，维数之和大于N ，具有非零的公共向量，一定存在等号的成立一个V 的线性子空间U ，相互等价，一个是直和，一个是二元函数的有限线性空间的内积，满足了对称性以及线性空间的R 定义内积，对同一线性空间的连续函数的有实连接构成一个欧几里的空间，显然，这样的长度是向量的长度是零，长度是单位向量，实现了向量的转换在夹角与定义欧式空间的合理性。
第六章线性空间和欧式空间§ 1线性空间及其同构线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k ，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1)；交换律2)( ) ( )；结合律3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元4)对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0( 称为的负元素)•存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) 1 ；存在1元6)k(l ) (kl). 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(k l) k l ；数的分配律8)k( ) k k .元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。
例1. 元素属于数域K的m n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为M m,n(K)。
例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3. n维向量空间K n是线性空间。
例4. 向量空间的线性映射的集合Hom K(K m, K n)是线性空间。
二.简单性质1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3. 0 0, k0 0 , ( 1) 。
4.若k 0，则k 0或者0。
三•同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间• A Hom K(V,V )是一个线性映射•如果A是一- 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
本论文旨在从不同的方面对其进行比较与讨论。
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算，如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度，夹角等在线性空间的理论中没有得到反映。
但是向量的度量性质在许多问题中（其中包括几何问题）有着特殊的地位，所以有必要引入度量的概念。
以解析几何为例，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，向量的内积有代数性质。
而线性空间无法研究这些性质，所以引入了欧几里得空间的概念，欧式空间概念的提出对于扩大对解析几何问题的研究有指导意义[1]。
1.2 研究现状有限维线性空间是高等代数的一部分很重要的内容，陈少军曾在《有限维线性空间的基与维数研究》中对有限维的线性空间进行研究。
重点的介绍了几种求有限维线性空间的基与维数的方法，其中包括一种常用而又很重要的方法：一般元素含有的相互独立的待定数。
对于欧式空间与线性空间的关系问题，张锦来教授研究了欧式空间上线性变换的若干问题，推导出欧式空间上的变换是线性变换的充分条件孙霞在《常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法》一文中阐述到，高等代数的线性空间概念是重要的一个属性，欧式空间的深入理解是认识高等数学的一个重要信息，而且线性空间与欧式空间的维数与正交基的标准是认识空间的基础。
文章在对数域中对线性空间与欧式空间的方面进行说明，探讨数域P 所起的作用，维数的基与标准正交基的求法与步骤[2]。
1.3 研究内容在我看来，欧式空间可以理解为几何空间的度量性在线性空间推广的结果。
线性空间缺乏度量性，不能在线性空间上被描述向量的长度及向量间的夹角，这一不足制约了线性空间的使用。
而向量的长度及向量的夹角在几何空间都能通过向量的内积来定义，所以只要在线性空间中加上内积性质，就使得线性空间具有了度量属性。
从大的方面来看，欧式空间就是具有内积性的线性空间，但从基础域、基、向量的坐标、过渡矩阵、线性变换子空间、同构等方面，他们又具有不同的性质。
这也是论文需要研究的内容。
2 欧式空间简介2.1 提出背景约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间[3-5]。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧式空间，也可以称为平直空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧式空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧式空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧式空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧式空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧式空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧式空间。
欧式空间是无穷大的。
在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。
因此有必要在线性空间中引入度量的概念。
而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。
在线性空间中引入内积以后就成为欧式空间[6]。
2.2 定义与基本性质【定义1】设V 是实数域R 上的一个线性空间，如果在V 上定义一个二元实函数，记作()βα,，称为内积。
如果它有以下性质：1. ()()αββα,,=2. ()()βαβα,,k k =3. ()()()γβγαγβα,,,+=+4. ()0,≥αα，当且仅当0=α时，()0,=αα这里γβα,,是V 中任意向量，k 是任意实数，就称线性空间V 对内积()βα,构成一个欧几里得空间，简称欧式空间。
注：1. 二元函数意为对V 中任意向量βα,，有唯一的实数对应2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧式空间不同例：设V 是一个n 维实线性空间，在V 中取定一组基。
设A 是一个正定矩阵，定义V 的内积如下：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n y y y x x x 21212121εεεβεεεα ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y A x x x 2121,βα 由于A 为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。
因此，V 对内积()βα,构成一个欧式空间。
3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。
因此，与性质2.及3.相对应的有：.2'()()βαβα,,k k =.3'()()()γαβαγβα,,,+=+进一步的，在欧式空间V 中，对任意向量s 21,,,ααα ；t 21,,,βββ 及任意实数s 21,,,k k k ；t 21,,,l l l ，都有()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s i t j j i j i t j j j s i i i l k l k 1111,,βαβα【定义2】由()0,≥αα，设α是欧式空间中的一个向量，非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
向量的长度一般都是正数，只有零向量的长度才等于零。
我们把长度为1的向量称为单位向量。
长度的性质： 1. αα⋅=k k ，V R k ∈∈α, 2. βαβα+≤+ （运用柯西-布捏可夫斯基不等式）证明：()()()()()22222,,2,,βαββααβββαααβαβαβα+=++≤++=++=+考虑解析几何中向量夹角βα,的余弦可以通过内积表示为 ()βαβαβα,,cos = 由于1cos ≤θ，因此，为了在欧式空间中引入夹角概念，必须首先证明 ()1,≤βαβα【柯西-布捏可夫斯基不等式】对于欧式空间V 中任意两个向量βα,，都有()βαβα≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立。
证明：（分βα,线性相关或线性无关两种情况）若βα,线性相关，不妨设αβk =()()()βαααααααβα====k k k ,,,若βα,线性无关，那么对任意实数k ，0≠+βαk因此，()()()()0,,2,,2>++=++ααβαβββαβαk k k k即实系数方程()()()0,,2,2=++ααβαββx x 无实数解。
因此，()()()0,,,2<-ααβββα即()()()ααβββα,,,2<两边开方，既得()βαβα≤,这时，我们就可以定义两个向量的夹角。
【定义3】欧式空间V 中两个非零向量βα,之间的夹角β,规定为 ()πβαβαβαβα≤≤=,0,,arccos ,【定义4】如果向量βα,的内积为零，即()0,=βα。
