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第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。
例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。
例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。
4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。
欧式空间的定义----9af74e36-7160-11ec-a302-7cb59b590d7d简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
大约公元前300年，古希腊数学家欧几里德建立了空间中角度和距离之间关系的定律，现在称为欧几里德几何。
欧几里德首先发展了“平面几何”，以处理平面上的二维物体。
然后他分析了三维物体的“三维几何”。
所有欧几里德公理都被安排到一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧几里德空间。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间也可以推广到任意维的情况，称为实内积空间（不一定完全），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里德空间。
为了发展高维欧几里德空间，空间的性质必须严格表达并扩展到任意维。
虽然这样做的结果是数学非常抽象，但它抓住了欧几里德空间的基本本质，即平面性。
还有其他类型的空间，比如球面非欧几里德空间，相对论中描述的四维时空在重力出现时不是欧几里德空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里德空间的最后一个问题是，从技术上讲，它不是一个向量空间，而是一个向量空间作用的仿射空间。
直觉上，区别在于，对于原点应该在这个空间中的什么位置，没有标准的选择，因为它可以移动到任何地方。
这项技术在本文中基本上被忽略了。
欧几里德空间(euclideanspace)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
数学中的空间概念
数学中的空间概念是指用数学语言和方法对空间进行描述和研究的概念。
1. 欧几里得空间（Euclidean space）：欧几里得空间是数学中
最基本且最常见的空间概念，它以几何学为基础，通常用笛卡尔坐标系表示。
2. 向量空间（Vector space）：向量空间是指一组向量构成的
集合，满足一系列定义的运算规则，常用于向量和矩阵的研究。
3. 坐标空间（Coordinate space）：坐标空间是指通过一组坐标系，将点的位置表示为坐标的空间。
常见的坐标空间有二维平面、三维空间等。
4. 线性空间（Linear space）：线性空间是指满足特定运算规
则的向量空间，其中向量的加法和数乘满足线性运算的性质。
5. 拓扑空间（Topological space）：拓扑空间是指在集合上定
义了一种拓扑结构，用来研究集合中的连通性、收敛性以及极限等性质。
6. 测度空间（Measure space）：测度空间是指在集合上定义了一种测度，用来度量集合中的大小或者衡量集合中的某种特性。
7. 平面几何（Plane geometry）：平面几何是指研究二维平面
中图形的性质、关系和构造等内容。
8. 立体几何（Solid geometry）：立体几何是指研究三维空间
中立体图形的性质、关系和构造等内容。
9. 代数拓扑（Algebraic topology）：代数拓扑是将代数学方法
应用于拓扑空间研究的一个分支，研究空间的代数性质和变形等问题。
10. 同调论（Homology theory）：同调论是数学中的一个分支，研究空间中的“洞”和“环”等代数特征，用于研究空间的性质和
分类。
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。
例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。
例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。
4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。
三.同构映射定义：设,V V '是数域K 上的线性空间. (,)K A Hom V V '∈是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A 是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V 与'V 称为同构的线性空间。
定理 数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
§2 线性子空间的和与直和子空间的和：设12,W W 是线性空间V 的子空间，则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或也是一个线性子空间，称为12,W W 的和，记为12W W +.两个线性子空间的和12W W +是包含这两个线性子空间的最小子空间.满足交换律、结合律设1,,s ααL 与1,,t ββL 是V 的两个向量组.则1111(,,)(,,)(,,,,,)s t s t L L L ααββααββ+=L L L L线性子空间中的线性无关向量组都能被扩充成这个子空间的一个基。
定理：（维数公式）如果12,W W 是线性空间V 的两个子空间，那么1dim()W + 2dim()W =12dim()W W ++ 12dim()W W ⋂由此可知，和的维数要比维数的和来得小。
推广到有限个线性子空间的和空间维数⇒同构线性空间分类⇐维数推论：如果n 维线性空间V 中两个子空间21,V V 的维数之和大于n ，那么21,V V 必含有非零的公共向量。
直和：设12,W W 是线性空间V 的子空间，如果12W W +中的每个向量α都能被唯一地表示成21ααα+= 1122,W W αα∈∈.则称12W W +为直和，记为12W W ⊕。
设12,W W 是线性空间V 的子空间，则下列结论互相等价：设W 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在V 的一个线性子空间U ，使得V W U =⊕满足上述条件的线性子空间U 称为W 的补子空间.推广到有限多个线性子空间也可以定义它们的直和§3 欧式空间定义 设V 是实数域R 上的有限维线性空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,满足以下四条公理:1)对称性 ),(),(αββα=;2)关于标量乘法线性性质 ),(),(βαβαk k =;3) 关于向量加法的线性性质),(),(),(γβγαγβα+=+;4)正定性0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间nR 中,对于向量 .dim dim )dim(3;0,,1211111m m j i m j j i m W W W W W W m i W W ++=++=⋂=++∑≠≤≤ΛΛΛΛ）（有）对（是直和；）（12121212(1)(2)0;(3)dim()dim dim .W W W W W W W W +⋂=+=+是直和；12m W W W V L 设，，，是的线性子空间，则下列结论相互等价：),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα,定义内积.),(2211n n b a b a b a +++=Λβα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ΛΛ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++=Λβα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间.例3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间.同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列+∞<=∑∞=1221),,,,(n n n x x x x Λξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间.定义 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质：αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，通常称为把α单位化.(Cauchy-Buniakowski 不等式)对任意的向量,,αβ有|(,)|||||,αβαβ≤而且等号成立当且仅当,,αβ线性相关.(保证向量夹角定义的合理性)定义 非零向量βα,的夹角><βα,规定为πβαβαβαβα≤≤>=<,0,),(arccos ,根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式βαβα+≤+.定义 如果向量βα,的内积为零，即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直，记为βα⊥. 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为2π.只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当βα,正交时， .222βαβα+=+推广：如果向量两m ααα,,,21Λ两两正交，那么 22221221m m αααααα+++=+++ΛΛ.(),(,)ij nn ij i j A a a ηη==称为基n εεε,,,21Λ的度量矩阵.度量矩阵完全确定了内积.(,)TX AY αβ= 标准欧式空间(其内积关于自然基的度量矩阵是n 阶单位阵)定义 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n 个.正交向量组一定是线性无关的。
若正交向量组中的向量都是单位向量，则称为规范正交组。
定义 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为规范正交基组.对一组正交基进行单位化就得到一组规范正交基.欧式空间的线性子空间必存在规范正交基。
在规范正交基下，向量的内积可以通过坐标简单地表示出来，1122(,).T n n x y x y x y X Y αβ=+++=L这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为格拉姆-施密特（Schimidt ）正交化方法. (P314)定义 欧氏空间V 与V '称为同构的,如果存在线性空间的同构(,)R A Hom V V '∈，保持内积，即 ((),())(,)A A αβαβ'=,对任意的,V αβ∈成立，这样的映射A 称为V 到V '的同构映射.同构的欧氏空间必有相同的维数.每个n 维的欧氏空间都与nR 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.由每个n 维欧氏空间都与nR 同构知，任意两个n 维欧氏空间都同构. 定理 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相等.这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.§4 欧式空间中的正交补空间与正交投影S 是欧式空间V 的一个子集，如果V 中向量α与S 中每个向量都正交，则称α与S 正交，记做S α⊥.S V ,V ,,{|(,)0}.S S S S V S ααββ⊥⊥=∈=∈定义设是欧几里得空间的一个非空子集中与正交的所有向量组成的集合称为的正交补记作即对所有的正交投影的定义，正交投影的求法(P321-323)V W W ⊥=⊕,则其中每个向量α都能唯一的表示成1212,,W W ααααα⊥=+∈∈ 1W α∈是α在W 上的正交投影的充要条件是1W αα⊥-∈.令1:W P V W Vαα→⊆a 则W P 为V 在W 上的正交投影.在W 中取一个规范正交基1,,m ηηL ，则α在W 上的正交投影为1()(,)mW i i i P ααηη==∑. 正交投影的求法: （1） 用施密特正交化方法求出W 的规范正交基，再用1()(,)mW i ii P ααηη==∑ （2） 设1i W αη=∈∑，则21W ααα⊥=-∈,2(,)0i αη=解齐次线性方程组（3） 把(2)写成矩阵形式，解决T A AX AY =，()W P AX α=V 中任意向量α在子空间W 上的最佳逼近元存在且唯一，就是α在W 上的正交投影()W P α.最小二乘法（偏差总和最小——>偏差平方和最小）（P327-328）最小二乘法问题：线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++0,0,022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 可能无解.即任何一组数s x x x ,,,21Λ都可能使.S V S V ⊥命题设是欧几里空间的任意一个非空子集，则是的一个线性子空间.W V V W W ⊥=⊕定理设是欧几里得空间的一个线性子空间，则11,||||,.W V V W W W ααααααββ∈∈-≤-∈定理设是欧几里得空间的子空间，对于是在上的正交投影的充分必要条件为对所有的.||||,.W V V W W W αδβαδαβδα∈-≤-定义设是欧几里得空间的一个子空间，是中的向量如果中存在一个向量使得对所有的有那么称为在上的最佳逼近元∑=-+++n i i s is i i b x a x a x a122211)(Λ (1)不等于零.我们设法找00201,,,s x x x Λ使（1）最小，这样的00201,,,s x x x Λ称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件..,,,112112121212222111211AX x a x a x a Y x x x X b b b B a a a a a a a a a A s j j nj s j j j s j j j s n ns n n s s =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===M M M ΛM M M ΛΛ (2) 用距离的概念，（1）就是2B Y -最小二乘法就是找00201,,,s x x x Λ使Y 与B 的距离最短.但从（2），知道向量Y 就是 .21222122121111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a x a a a x a a a x Y M ΛM M 把A 的各列向量分别记成s ααα,,,21Λ.由它们生成的子空间为),,,(21s L αααΛ=.Y 就是),,,(21s L αααΛ=中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：找X 使（1）最小，就是在),,,(21s L αααΛ=中找一向量Y ，使得B 到它的距离比到子空间),,,(21s L αααΛ=中其它向量的距离都短.应用前面所讲的结论，设s s x x x AX Y ααα+++==Λ2211是所求的向量，则AX B Y B C -=-=必须垂直于子空间),,,(21s L αααΛ=.为此只须而且必须0),(),(),(21====s C C C αααΛ回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即120,0,,0.T T T s C C C ααα===L而12,,,T T T s αααL 按行正好排成矩阵T A ，上述一串等式合起来就是()0T A B AX -=或T T A AX A B =这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是T A A ，常数项是T A B .这种线性方程组总是有解的.§5 正交变换与正交矩阵定义 欧氏空间V 的线性变换A 叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有V ∈βα,,都有(A α,A β)=),(βα.正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.正交群(,)O n R设A 是n 维欧氏空间的一个正交变换，则有以下结论：（1） 如果n εεε,,,21Λ是规范正交基，那么A 1ε, A 2ε,…, A n ε也是规范正交基；（2） A 保持向量的长度不变，即对于V ∈α,（A α，A α）=（α，α）;（3） A 在任一组规范正交基下的矩阵是正交矩阵TA A E =.（4） 正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.1123410T T A n A A A AA E A -==推论设是一个阶实数矩阵，那么下列条件是等价的：（）是正交矩阵；（）；（）；（）的每个列的元素的平方和等于，不同列的对应元素之积和等于，即：510.A （）的每个行的元素的平方和等于，不同行的对应元素之积和等于如果A 是正交矩阵，那么由T AA E =可知12=A 或者1±=A .因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的,特殊正交群(,)SO n R ；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.。
