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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
初中物理运动学基础知识物理是自然科学的一门基础学科，是研究物质和能量及其相互作用关系的科学。
运动学作为物理学的一部分，研究物体运动的规律，是初中物理学的基础知识之一。
本文将分为三个部分来讲解初中物理运动学基础知识。
一. 运动基本概念运动是物体位置随时间发生变化的过程。
物理学中通常将物体位置、速度和加速度三个概念作为运动的基本概念。
1. 位置：位置是指物体所在的空间位置。
通常用坐标系来表示。
例如：在平面直角坐标系中，点P的坐标可以表示为（x, y）。
2. 速度：速度是指物体在单位时间内所移动的距离。
通常用公式v=d/t来表示，其中v表示速度，d表示位移，t表示时间。
速度的单位可以是米每秒（m/s）、千米每小时（km/h）等等。
3. 加速度：加速度是指物体在单位时间内速度的变化量。
通常用公式a=(v-u)/t来表示，其中a表示加速度，v表示终止速度，u表示起始速度，t表示时间。
加速度的单位可以是米每秒平方（m/s²）等等。
二. 运动的描述为了更好地描述物体的运动，物理学中引入了位移、平均速度、瞬时速度和匀加速度四个概念。
1. 位移：位移是指物体在运动过程中的位置变化，可以用公式Δx=x2-x1来表示，其中Δx表示位移，x2和x1分别表示物体终止位置和起始位置。
2. 平均速度：平均速度是指物体在单位时间内的平均速度。
可以用公式vav=Δx/Δt来表示，其中vav表示平均速度，Δx表示位移，Δt表示时间。
3. 瞬时速度：瞬时速度是指物体在某一瞬间的速度。
可以用求导来计算，即v=dx/dt，其中v表示瞬时速度，x表示位移，t表示时间。
4. 匀加速度运动：匀加速度运动是指物体在一定时间内加速度不变的运动。
可以用公式v=v0+at和x=v0t+1/2at²来表示，其中v 表示终止速度，v0表示起始速度，a表示加速度，t表示时间，x 表示位移。
三. 力与运动物体的运动是受力的结果。
牛顿运动定律给出了物体运动和受力之间的关系，它可以归纳为三个定律：1. 第一定律：惯性定律。
绝密★启用前物体的运动-运动学的基础试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明○…………外…………○…………订………※※订※※线※※内※※答※※题○…………内…………○…………订………第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、作图题1．在xOy 坐标平面上有一个正三角形和一个正方形，正三角形和正方形的每条边长相同，它们的方位如图甲所示。
现在建立一个活动的'''x O y 坐标平面，它的坐标原点开始时位于正三角形的上顶点，而后O '点沿着正三角形的三条边绕行一周。
绕行时，x '轴始终与x 轴平行，'y 轴始终与y 轴平行。
试在图中清楚、准确地画出正四边形相对'''x O y 坐标平面运动而形成的区域的边界线。
二、解答题2．已知质点做匀速圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在14T 内和在12T 内的平均加速度的大小。
3．A 、B 两船在海上航行，A 船航向东北，船速为u ；B 船航向正北，船速v =。
设正午时，A 船在B 船正北距离l 处，如图甲所示。
问：此后何时两船相距最近？距离多少？…………外…………………○………………○…………线……：___________班级：_________________…………内…………………○………………○…………线……B 点，另一端拴在套于1AA 杆上的珠子D 上，另有一珠子C 穿过绳及杆1BB 以速度1v 匀速下落，而珠子D 以一定速度沿杆上升。
当图中角度为α时，珠子D 上升的速度2v 多大？5．如图甲所示，线轴沿水平面做无滑动的滚动，并且线端A 点速度为v ，方向水平。
以铰链固定于B 点的木板靠在线轴上，线轴的内、外径分别为r 和R 。
试确定木板的角速度ω与角α的关系。
6．（1）如图甲所示，直角三角板的AB 边紧靠墙壁，已知AC b =，BC a =，且a b >，现今A 点沿墙壁向O 点运动，B 点沿地面远离O 点运动，直至AB 与地面重合，求C 点经过的路程C S 。
（2）现将三角板换成量角器，量角器半径为R ，开始时量角器的直径紧贴竖直墙壁，其运动方式与三角板的运动方式类同，最后它的直径与水平面相贴，求量角器倒下时扫过的面积。
7．一只蟑螂和两只甲壳虫在一个水平大桌面上爬行，每只甲壳虫的速度都能达到……外…………○…订…………○………※※※答※※题※※……内…………○…订…………○………1cm/s ，开始时，这些虫子恰好位于一个等边三角形的三个顶点上。
问：蟑螂应具备什么样的速度才能在两只甲壳虫任意移动的情况下仍能保持三者分别位于一等边三角形的三个顶点上？8．已知A 、B 两个小球质量相同，A 、B 、地面三者之间的碰撞均为弹性碰撞，初始位置如图所示，A H 、B H 均为已知，求A 、B 所构成的系统形成周期性运动的条件，要求不出现三体相碰。
9．在一个大湖的岸边（可视湖岸为直线）A 处停放着一只小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，以2.5m /s 的速度匀速向湖中行驶，其方向与湖岸成角15α=︒。
另有一人在缆绳断开时从A 点出发，他先沿湖岸走一段后再入水游泳去追船。
已知人在岸上走的速度14m /s v =，在水中游泳的速度为22m /s v =。
问：此人能否追上小船？若能，小船被人追上的最大速度为多少？10．如图甲所示，竖直平面上有一条光滑的四分之一圆弧轨道AB ，它的圆心O 与A 点等高，A 到B 又有一条光滑的直线轨道，小球从A 点自静止出发沿圆弧轨道到达B 点所需的时间记为1t ，沿直线轨道到达B 点所需的时间记为2t 。
试比较1t 和2t 的大小。
若圆弧轨道不足四分之一圆弧，但最低点的切线仍水平，且直线轨道仍连接圆弧两端，再讨论之。
参考答案1．【解析】 【详解】解析：'''x O y 坐标平面随O '沿正三角形三条边平动过程中，正方形相对'''x O y 坐标平面沿着相反方向平动，形成的区域的边界线如图乙中的虚线所示。
2．12AB AB v R a t T ∆==，228AC ACv Ra t T π∆== 【解析】 【详解】解析：如图所示，A 点到B 点对应14T 的过程，A 点到C 点对应12T 的过程。
这三个点的速度矢量分别设为A v 、B v 和C v 。
根据加速度的定义2t v v -得 B AAB AB v v a t -=，C A AC ACv v a t -=。
由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量1B A v v v ∆=-，2C A v v v ∆=-。
根据三角形法则，它们在图中的大小、方向已绘出（2v ∆的“三角形”已被拉伸成一条直线）。
本题只关心各矢量的大小，显然：2A B C Rv v v Tπ===，且1A Rv T∆==，242AR v v T π∆==，所以12ABAB v R a t T ∆==，228AC AC v Ra t T π∆==。
3．当t =s 取极值min s =【解析】 【详解】解析1：以海面为参考系，设在午后t 时两船相距为s ==，可解得：当t =s 取极值min s =。
也就是说，午后t =解析2：以B 船为参照，则A 船相对于B 船的速度为AB v u v =-，方向指向东南，如图乙所示。
由图显而易见，由A 船位置沿东南方向取C 点，使AC BC ⊥，则BC 长度为两船最近距离。
min s BC ===，时间应为ABAC t v == 比较上述两种不同的解析可见，解析2以B 船为参考系，避免了具体计算，所以要简单得多。
不仅在单纯的运动问题中合理地选择参考系会大大简化解题，在动力学问题中，这一特点也极为重要。
我们通过下面的例子可以认识到这一点。
4．211cos cos v v αα-=【解析】 【详解】解析：如图乙所示，设由题图的状态再经历一段极短的时间t ∆，珠子C 下滑距离'1CC v t =∆，而到达'C 点，珠子D 则对应地上升至D '点。
由于时间0t ∆→，故可将这一段时间内珠子D 的移动速度也视为匀速，用2v 表示，则'2DD v t =∆。
由于绳不可伸长，故应有'''CC C D CD +=。
令''C D 与CD 的交点为E ，在CD 上分别截取'OE ED =，''O E EC =，则又有''''CC CD C D CD OO =-=-。
于是有''CC CO OD =+。
由于0t ∆→，则''C O 与'OD 均趋于零，则两等腰三角形（'EOD 与''EC O ）的底角均趋于2π，故'DOD 与''CC O 均可视为直角三角形，则有''cos CO CC α=，'cos OD DD α=。
综合前述的式子，有'''cos cos CC CC DD αα=+， 即112cos cos v t v t v t αα∆=∆+∆。
故得珠子D 沿杆上升的速度为211cos cos v v αα-=。
其实，在寻找运动关联的问题中，无论是用合成与分解的方法还是运用微元法，其核心依据都运用了绳长是一个定值这一属性。
5．()1cos v R rαω-=+【解析】 【详解】解析：设木板与线轴相切于C 点，则板上C 点与线轴上C 点有相同的法向速度n v ，该速度正是C 点关于B 轴转动的线速度（如图乙所示），即()cot /2n v BC R ωωα=⋅=。
①现在再来考察线轴上C 点的速度：它应是C 点对轴心O 转动的线速度Cn v 和与轴心相同的平动速度0v 的矢量和，而Cn v 是沿C 点切向的，则C 点法向速度n v 应是0sin n v v α=。
②又由于线轴为刚体且微纯滚动，故以线轴与水平面切点为支点，应有0v v R r R =+，得0Rv v R r=+。
将②、③两式代入①式中可得()1cos v R rαω-=+。
6．（1）()a b +（2）2R π 【解析】 【详解】解析1．作出任意时刻三角板所处的位置如图乙所示，并将其置于xOy 坐标系中，其中x轴水平向右，y 轴竖直向上，O 点为墙角。
设该时刻AC 边与水平线的夹角为θ，BAC ϕ∠=，连接OC 。
因为90BOA ∠=︒，90ACB ∠=︒，由此可以推出四边形AOBC 有外切圆。
因同一个圆的同一段弧所对的圆周角必相等，故BOC BAC ϕ∠=∠=，很显然，三角板的一个角ϕ是定值，得BOC ∠是一定值，这表明C 仅在与地面夹角为ϕ的直线上运动，相对于某一瞬时的θ可求出cos OD b θ=，cos cos cos OD b OC BOC θϕ==∠。
因cos ϕ=OC θ，其中θ是从()90ϕ-︒到0再到ϕ的一个连续变化，所以()1cos cos 90S θϕ⎤=--︒⎦)1sin ϕ=- ()90,0θϕ⎡⎤∈-︒⎣⎦，)21cos S ϕ=- ()0,θϕ∈。
因此)122sin cos C S S S ϕϕ=+=--()a b =-+。
2．由1的讨论，易知C 点离O 点最远的情形，即该直角三角形ABC ，在整个过程中C 点所能达到的最远处为'C ，显然'OC 。
因此，对直径为2R 的量角两器应有'2OC R =。
如图丙所示。
所以量角器边缘上各点能达到的最远的地方都是在离O 点2R 的地方。
因此，量角器倒下时扫过的面积为()22124S R R ππ==扫。
7．0122cm /s v v v ≤+= 【解析】 【详解】解析：假设第一只甲壳虫1A 不动。
第二只甲壳虫2A 爬了2s ，由图甲可知，蝉螂T 移动了'22TT s v t ==∆。
再假设第二只甲壳虫2A 不动，第一只甲壳虫1A 爬了1s ，则蟑螂爬了'''11T T s v t ==∆。
若两只甲壳虫分别爬行了1s 、2s ，则''''''TT TT T T =+。
由如图乙矢量关系可知()''''''12TT TT T T v v t ≤+=+∆，则0122cm /s v v v ≤+=。
8．当22A AB BH N H N =（A N 、B N *∈N ，A B N N >，A N 、B N 为一奇一偶）时，系统做周期性运动，且不出现三体相碰的状态。
