事件的相互独立性及频率与概率
- 格式:docx
- 大小:241.31 KB
- 文档页数:7
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件1.事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件2.运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃)( ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3.频率与概率定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率1.概率)(A P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞)2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===nk kn k kA P A P 11)()((n 可以取∞)(iii )设A ,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P(v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型(古典概型)等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数,则有中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5.条件概率(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念,它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到,可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法,适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值,所以其取值范围必然在0到1之间,表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中,各个事件的频率之和等于1,这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值,所以事件发生的次数增加时,其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式:频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计,可以得到样本中各个事件发生的概率大小,从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值,表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法,适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小,所以其取值范围必然在0到1之间,表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下,各个事件的概率之和等于1,这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示,即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中,事件的频率趋于稳定时,可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式:概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析,可以评估各种事件发生的可能性大小,为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
第04讲随机事件、频率与概率(精讲)第04讲随机事件、频率与概率(精讲)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:课前自我评估测试第三部分:典型例题剖析题型一:随机事件之间关系的判断题型二:随机事件的频率与概率题型三:互斥事件与对立事件的概率第四部分:高考真题感悟知识点一:概率与频率一般地,随着试验次数n 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A 发生的频率()n f A 会逐渐稳定于事件A 发生的概率()P A .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率()n f A 来估计概率()P A .知识点二:事件的运算定义符号表示图示并事件事件A 与事件B 至少一个发生,称这个事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A B ⋃或者A B+交事件事件A 与事件B 同时发生,称这个事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A B ⋂或者AB知识点三:事件的关系定义符号表示图示包含关系一般地,若事件A 发生,则事件B 一定发生,称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )B A Ê(或A B ⊆)互斥事件一般地,如果事件A 与事件B 不能同时发生,也就是说A B ⋂是一个不可能事件,即A B ⋂=∅,则称事件A 与事件B 互斥(或互不相容)A B ⋂=∅对立事件一般地,如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A B =Ω ,且A B ⋂=∅,那么称事件A 与事件B 互为对立,事件A 的对立事件记为AA B =Ω ,且A B ⋂=∅.(2022·全国·高一课时练习)1.袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B ,“第二次摸得黑球”记为C ,那么事件A 与B ,A 与C 间的关系是()A .A 与B ,A 与C 均相互独立B .A 与B 相互独立,A 与C 互斥C .A 与B ,A 与C 均互斥D .A 与B 互斥,A 与C 相互独立(2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末)2.命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2022·全国·高一课时练习)3.给出下列说法:①若事件A ,B 满足()()1P A P B +=,则A ,B 为对立事件;②把3张红桃J ,Q ,K 随机分给甲、乙、丙三人,每人1张,事件A =“甲得红桃J ”与事件B =“乙得红桃J ”是对立事件;③一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.其中说法正确的个数是()A .3B .2C .1D .0(2022·全国·高一单元测试)4.已知A 与B 是互斥事件,且()0.4P A =,()0.2P B =,则()P A B = ()A .0.6B .0.7C .0.8D .0.0(2022·全国·高一课时练习)5.利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次,观察指针所指区域的颜色(不考虑指针落在分界线上的情况).事件A 表示“转盘①指针所指区域是黄色”,事件B 表示“转盘②指针所指区域是绿色”,用样本点表示A B ⋂,A B ⋃.题型一:随机事件之间关系的判断典型例题例题1.(2022·陕西渭南·高二期末(文))6.设靶子上的环数取1~10这10个正整数,脱靶计为0环.某人射击一次,设事件A =“中靶”,事件B =“击中环数大于5”,事件C =“击中环数大于1且小于6”,事件D =“击中环数大于0且小于6”,则下列关系正确的是()A .B 与C 互斥B .B 与C 互为对立C .A 与D 互为对立D .A 与D 互斥例题2.(2022·全国·高一课时练习)7.下列结论正确的是()A .若A ,B 互为对立事件,()1P A =,则()0P B =B .若事件A ,B ,C 两两互斥,则事件A 与B C ⋃互斥C .若事件A 与B 对立,则()1P A B ⋃=D .若事件A 与B 互斥,则它们的对立事件也互斥例题3.(2022·全国·高一课时练习)8.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,给出以下四个事件:事件A :恰有一件次品;事件B :至少有两件次品;事件C :至少有一件次品;事件D :至多有一件次品.下列选项正确的是()A .ABC = B .BD 是必然事件C .A B C = D .A D C= 同类题型归类练(2022·全国·高一单元测试)9.若随机事件A ,B 互斥,且()2P A a =-,()34P B a =-,则实数a 的取值范围为()A .43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦B .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D .14,23⎛⎫ ⎪⎝⎭(2022·河南安阳·高一期末)10.从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品,设事件A 为“三件产品全不是次品”,事件B 为“三件产品全是次品”,事件C 为“三件产品不全是次品”,事件D 为“第一件是次品”则下列结论正确的是()A .B 与D 相互独立B .B 与C 相互对立C .AD ⊆D .A C ⋂=∅(2022·河北·高一阶段练习)11.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设{A =三件产品全不是次品},{B =三件产品全是次品},{C =三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论中正确的是()A .A 与C 互斥B .B 与C 互斥C .任何两个都互斥D .A 与B 对立题型二:随机事件的频率与概率典型例题例题1.(2022·全国·高一课时练习)12.将容量为100的样本数据,由小到大排列,分成8个小组,如下表所示:组号12345678频数101314141513129第3组的频率和累积频率分别为()A .0.14,0.37B .114,127C .0.03,0.06D .314,637例题2.(2022·河南·高三阶段练习(理))13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1423A.157石B.164石C.170石D.280石例题3.(2022·全国·高一专题练习)14.某购物网站开展一种商品的预约购买,规定每个手机号只能预约一次,预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下:(ⅰ)摇号的初始中签率为0.19;(ⅱ)当中签率不超过1时,可借助“好友助力”活动增加中签率,每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9,则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.例题4.(2022·全国·高一单元测试)15.某射击队统计了甲、乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数,如下表:射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率,补全表格;(2)根据(1)中的数据估计两名运动员击中10环的概率.同类题型归类练(2022·甘肃·兰州五十一中高一期末)16.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了48次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.48,0.48B.0.5,0.5C.0.48,0.5D.0.5,0.48(2022·全国·高三专题练习)17.某同学做立定投篮训练,共3场,每场投篮次数和命中的次数如表中记录板所示.第一场第二场第三场投篮次数252030投中次数161318C .0635.D .0648.(2022·山西·平遥县第二中学校高一期末)18.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________.(2022·全国·高二课时练习)19.为了研究某种油菜籽的发芽率,科研人员在相同条件下做了8批试验,油菜籽发芽试验的相关数据如下表.批次12345678每批粒数5101307001500200030005000发芽粒数491166371370178627094490(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率?(2)由各批油菜籽发芽的频率,可以得到频率具有怎样的特征?(3)如何确定该油菜籽发芽的概率?(2022·湖南·高一课时练习)20.某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋,但无法确定各种颜色的产量,于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生,并在调查到1000名,2000名,3000名,4000名,5000名时分别计算了各种颜色的频率,绘制的折线图如下:(1)随着调查次数的增加,红色的频率如何变化?(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗?(3)若你是该厂的负责人,你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量?题型三:互斥事件与对立事件的概率典型例题例题1.(2022·河北唐山·高一期末)21.甲、乙两人独立地破译一份密码,已知两人能独立破译的概率分别是0.3,0.4,则密码被成功破译的概率为()A .0.18B .0.7C .0.12D .0.58例题2.(2022·江西·高三阶段练习(理))22.甲、乙两人打台球,每局甲胜的概率为34,若采取三局两胜制,即先胜两局者获胜且比赛结束,则比赛三局结束的概率为()A .38B .427C .49D .29例题3.(2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习)23.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏,在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图,假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者,且甲、乙每次投壶投中的概率分别为21,32,每人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次,乙投壶3次,投中次数多者胜,则甲最后获胜的概率为()A .318B .518C .13D .19例题4.(2022·全国·高一课时练习)24.某网站登录密码由四位数字组成,某同学将四个数字0,3,2,5,编排了一个顺序作为密码.由于长时间未登录该网站,他忘记了密码.若登录时随机输入由0,3,2,5组成的一个密码,则该同学不能顺利登录的概率是()A .124B .2324C .116D .1516同类题型归类练(2022·河南商丘·高一期末)25.已知袋子中有10个小球,其中红球2个,黑球和白球共8个,从中随机取出一个,设取出红球为事件A ,取出黑球为事件B ,随机事件C 与B 对立.若()0.5P A B +=,则()P C =()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8(2022·河南安阳·高一期末)26.银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成,每个数字均是0~9中的一个,小王去银行取一笔到期的存款时,忘记了密码中某一位上的数字,他决定不重复地随机进行尝试,则不超过2次就按对密码的概率为()A.9100B.320C.19100D.15(2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末)27.甲乙两名运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,则至少有一人中靶的概率为()A.0.26B.0.72C.0.74D.0.98(2022·山东聊城·高一期末)28.甲、乙两人打靶,已知甲的命中率为0.8,乙的命中率为0.7,若甲、乙分别向同一靶子射击一次,则该靶子被击中的概率为()A.0.94B.0.90C.0.56D.0.38(2020·海南·高考真题)29.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%(2020·天津·高考真题)30.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.参考答案:1.A【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断,或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.【详解】方法一:由于摸球是有放回的,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A 与B ,A 与C 均相互独立.而A 与B ,A 与C 均能同时发生,从而不互斥.方法二:标记1,2,3表示3个白球,4,5表示2个黑球,全体样本点为()()()()()()()()()(){()()()()()121314152324253435452131415132,,,,,,,,,,,,,,,()()()()()}4252435354,,,,,用古典概型概率计算公式易得12312382(),(),()205205205P A P B P C ======.而事件AB 表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”,所以339()()()5525P AB P A P B =⨯==,所以A 与B 相互独立:同理,事件AC 表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”,326()()()5525P AC P A P C =⨯==,所以A 与C 相互独立.故选:A .2.A【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可.【详解】解:若事件A 与事件B 是对立事件,则事件A 与事件B 一定是互斥事件;若事件A 与事件B 是互斥事件,不一定得到事件A 与事件B 对立,故命题“事件A 与事件B 对立”是命题“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件;故选:A 3.C【分析】根据对立事件的知识对3个说法进行分析,从而确定正确答案.【详解】①A ,B 为对立事件,需满足()()1P A P B +=和A B ⋂=∅,故①错误;②事件A =“甲得红桃J ”的对立事件为“甲未得红桃J ”,即“乙或丙得红桃J ”,故②错误;③“至少有一次中靶”包括“一次中靶”和“两次都中靶”,则其对立事件为“两次都不中靶”,故③正确.所以说法正确的个数为1个.故选:C4.C【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式结合题意求解即可【详解】由题意知A ,B 是互斥事件,所以()()()P A B P A P B =+ ,且()()110.40.6P A P A =-=-=,则()0.60.20.8P A B ⋃=+=.故选:C.5.A B = {(黄,绿)},A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}.【分析】先列举出事件A ,B 的样本点,再利用事件间运算的定义求解.【详解】由题可得:转盘①转出的颜色红黄蓝转盘②转出的颜色蓝(红,蓝)(黄,蓝)(蓝,蓝)黄(红,黄)(黄,黄)(蓝,黄)红(红,红)(黄,红)(蓝,红)绿(红,绿)(黄,绿)(蓝,绿)紫(红,紫)(黄,紫)(蓝,紫)由表可知,共有15种等可能的结果,其中A ={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫)},B ={(红,绿),(黄,绿),(蓝,绿)},所以A B = {(黄,绿)},A B ⋃={(黄,蓝),(黄,黄),(黄,红),(黄,绿),(黄,紫),(红,绿),(蓝,绿)}.6.A【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个分析判断即可【详解】对于AB ,事件B 和C 不可能同时发生,但一次射击中有可能击中环数为1,所以B与C 互斥,不对立,所以A 正确,B 错误,对于CD ,事件A 与D 有可能同时发生,所以A 与D 既不互斥,也不对立,所以CD 错误,故选:A 7.ABC【分析】根据对立事件的概念,可判断AC 正确;根据互斥事件的特征,可判断B 正确,D 错误;【详解】若A ,B 互为对立事件,()1P A =,则A 为必然事件,故B 为不可能事件,则()0P B =,故A 正确;若事件A ,B ,C 两两互斥,则事件A ,B ,C 不能同时发生,则事件A 与B C ⋃也不可能同时发生,则事件A 与B C ⋃互斥,故B 正确;若事件A 与B 对立,则()()()1P A B P A P B =+= ,故C 正确;若事件A ,B 互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D 错误.故选:ABC .8.AB【分析】根据已知条件以及利用和事件、积事件的定义进行判断.【详解】对于A 选项,事件A B ⋃指至少有一件次品,即事件C ,故A 正确;对于B 选项,事件B D 指至少有两件次品或至多有一件次品,次品件数包含0到5,即代表了所有情况,故B 正确;对于C 选项,事件A 和B 不可能同时发生,即事件A B ⋂=∅,故C 错误;对于D 选项,事件A D 指恰有一件次品,即事件A ,而事件A 和C 不同,故D 错误.故选:AB .9.A【分析】根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组,即可求解.【详解】由题意,知0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+≤⎩,即0210341221a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩,解得4332a <≤,所以实数a 的取值范围为43,32⎛⎤⎥⎝⎦.故选:A.10.B【分析】根据互斥事件,对立事件,相互独立事件的定义逐个判断即可.【详解】A为三件产品全部是次品,指的是三件产品都是正品,B为三件全是次品,C为三件产品不全是次品,包括一件次品,两件次品,三件全是正品三个事件,D为第一件是次品,指的是最少有一件次品,包括一件次品,两件次品,三件次品三个事件.由此可知A与B是互斥事件,A与C是包含,不是互斥,B与C对立故选:B.11.ABC【分析】根据已知条件,根据互斥事件和对立事件的定义,即可求解.【详解】解:由题意可知,{C=三件产品有次品,但不全是次品},包括1件次品、2件次正品,2件次品、1件次正品两个事件,{A=三件产品全不是次品},即3件产品全是正品,{B=三件产品全是次品},由此知,A与C互斥,B与C互斥,故A,B正确,A与B互斥,由于总事件中还包含“1件次品,2件次正品”,“2件次品,1件次正品”两个事件,故A与B不对立,故C正确,D错误,故选:ABC.12.A【分析】根据频数分布表和频率概念求解即可。
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值;频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是1/n,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生(A、B中有一个发生)的概率,等于事件A、B 分别发生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件,因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
§2.2.2事件的相互独立性教学目标:知识与技能:理解两个事件相互独立的概念。
过程与方法:能进行一些与事件独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。
教学重点:独立事件同时发生的概率教学难点:有关独立事件发生的概率计算授课类型:新授课课时安排:2课时教学过程:一、复习引入:1 事件的定义:随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件;必然事件:在一定条件下必然发生的事件;不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作()P A .3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事件发生的频率近似地作为它的概率;4.概率的性质:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,随机事件的概率为0()1P A ≤≤,必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事件A )称为一个基本事件6.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事件的概率都是1n,这种事件叫等可能性事件 7.等可能性事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,而且所有结果都是等可能的,如果事件A 包含m 个结果,那么事件A 的概率()m P A n = 8.等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件.()()()P A B P A P B +=+一般地:如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥11.对立事件:必然有一个发生的互斥事件.()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥,那么12()n P A A A +++=12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币,都是正面朝上的概率是多少?事件A :甲掷一枚硬币,正面朝上;事件B :乙掷一枚硬币,正面朝上(2)甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率是多少?事件A :从甲坛子里摸出1个球,得到白球;事件B :从乙坛子里摸出1个球,得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥?(不互斥)可以同时发生吗?(可以)问题(1)、(2)中事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率有无影响?(无影响)思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张,因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率.于是P (B| A )=P(B ),P (AB )=P( A ) P ( B |A )=P (A )P(B).二、讲解新课:1.相互独立事件的定义:设A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立(mutually independent ) .事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立2.相互独立事件同时发生的概率:()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中,“从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球”是一个事件,它的发生,就是事件A ,B 同时发生,记作A B ⋅.(简称积事件)从甲坛子里摸出1个球,有5种等可能的结果;从乙坛子里摸出1个球,有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球,共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯. 另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得到白球的概率3()5P A =,从乙坛子里摸出1个球,得到白球的概率2()4P B =.显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅. 这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积一般地,如果事件12,,,n A A A 相互独立,那么这n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅.3.对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:三、讲解范例:例 1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB .由于两次抽奖结果互不影响,因此A 与B 相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A B )U (A B )表示.由于事件A B 与A B 互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为P (A B )十P (A B )=P (A )P (B )+ P (A )P (B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) U ( A B )U (A B )表示.由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,所求的概率为 P ( AB ) + P (A B )+ P (A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)2人都射中目标的概率;(2)2人中恰有1人射中目标的概率;(3)2人至少有1人射中目标的概率;(4)2人至多有1人射中目标的概率?解:记“甲射击1次,击中目标”为事件A ,“乙射击1次,击中目标”为事件B ,则A 与B ,A 与B ,A 与B ,A 与B 为相互独立事件,(1)2人都射中的概率为:()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=,∴2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次,恰有1人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件A B ⋅发生),另一种是甲未击中、乙击中(事件A B ⋅发生)根据题意,事件A B ⋅与A B ⋅互斥,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为:∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1):2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=.(法2):“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件,2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=,∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=.(4)(法1):“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”, 故所求概率为:0.020.080.180.28=++=.(法2):“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”,故所求概率为1()1()()10.720.28P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率解:分别记这段时间内开关A J ,B J ,C J 能够闭合为事件A ,B ,C .由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是∴这段时间内至少有1个开关能够闭合,,从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=.答:在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.变式题1:如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联,在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率 (1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦) 变式题2:如图两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一:()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅方法二:分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与B J 至少有1个开的情况例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率;(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮? 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机,故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:(1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5),那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅.∵事件1A ,2A ,3A ,4A ,5A 相互独立,∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅ ∴敌机未被击中的概率为5)54(.(2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中,仿(1)可得: 敌机被击中的概率为1-n)54( ∴令41()0.95n -≥,∴41()510n ≤ 两边取常用对数,得110.313lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ,∴11n =∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评:上面例1和例2的解法,都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用,常常能使问题的解答变得简便 四、课堂练习:1.在一段时间内,甲去某地的概率是14,乙去此地的概率是15,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )2.从甲口袋内摸出1个白球的概率是13,从乙口袋内摸出1个白球的概率是12,从两个口袋内各摸出1个球,那么56等于( ) ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3.电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2,则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是( )()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844.某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是 ( )5.(1)将一个硬币连掷5次,5次都出现正面的概率是 ;(2)甲、乙两个气象台同时作天气预报,如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7,那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 .6.棉籽的发芽率为0.9,发育为壮苗的概率为0.6,(1)每穴播两粒,此穴缺苗的概率为 ;此穴无壮苗的概率为 .(2)每穴播三粒,此穴有苗的概率为 ;此穴有壮苗的概率为 .7.一个工人负责看管4台机床,如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79,第2台是0.79,第3台是0.80,第4台是0.81,且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响,计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8.制造一种零件,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05.从它们制造的产品中各任抽1件,其中恰有1件废品的概率是多少?9.甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,问取得的球是同色的概率是多少?答案:1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示:86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 :两个事件相互独立,是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地,两个事件不可能即互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生的,而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业:课本58页练习1、2、3第60页 习题 2. 2A 组4. B 组1七、板书设计(略)八、教学反思:1. 理解两个事件相互独立的概念。
事件的相互独立性及频率与概率
核心知识点一:事件的相互独立
事件A和事件B相互独立事件,P(AB)=P(A)P(B)。
核心知识点二:频率与概率
1. 频率的稳定性
根据频率的稳定性,可以用频率来估计概率。
2. 随机模拟
利用随机数模拟试验,用模拟试验中事件产生的频率来估计事件的概率。
例题1 分别抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第1枚为正面”为事件A ,“第2枚为正面”为事件B ,“2枚结果相同”为事件C ,有下列三个命题:
①事件A 与事件B 相互独立; ②事件B 与事件C 相互独立; ③事件C 与事件A 相互独立。
以上命题中,正确的个数是( ) A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
答案:D
解析:分别抛掷2枚质地均匀的硬币可能出现的所有结果为:正正,正反,反正,反反。
设“第1枚为正面”为事件A ,“第2枚为正面”为事件B ,“2枚结果相同”为事件C , 则1
()(B)()4
P A P P C ===
, 而事件AB 表示事件A 与事件B 同时发生,因此事件AB 包含的基本事件为:正正,所以1()4
P AB =
, 同理可知1
()()4
P BC P AC ==,则由相互独立事件定义得:①②③均正确, 故选:D 。
总结提升:判断两事件是否相互独立的方法
(1)利用相互独立事件的概率公式P(AB)=P(A)P(B),可以准确地判断两个事件是否相互独立,这是定量计算的方法,必须熟练掌握。
(2)判断两个事件是否为相互独立事件,也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响,没有影响就是相互独立事件;有影响就不是相互独立事件。
例题2 一道试题,A ,B ,C 三人可解出的概率分别为21,31,4
1
,则三人独立解答,仅有1人解出的概率为 ( )
A.
24
1 B.
24
11 C.
24
17 D. 1
答案:B
解析:根据题意,只有一人解出的试题的事件
包含A 解出而其余两人没有解出,B 解出而其余两人没有解出,C 解出而其余两人没有解出,三个互斥的事件,而三人解出答案是相互独立的,
则P (只有一人解出试题)=21×(1﹣31)×(1﹣41)+(1﹣21)×31×(1﹣4
1)+(1﹣
21)×(1﹣31)×41=24
11
, 故选:B 。
总结提升:明确事件的相互独立性,注意审题,找到解决题目所需要的公式或者定理,利用积事件的概率模型来求解。
例题3 在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”的次数为( )
A. 0.49
B. 49
C. 0.51
D. 51
答案:D
解析:由题意知“正面朝上”的次数为0.4910049 =, 故“正面朝下”的次数为1004951-=。
故选D 。
总结提升:
在频率和概率的关系中,频率是试验次数的增加时逐渐接近概率的一个值,概率时不变的,所以在做题的时候要分清是频率的问题还是概率的问题。
例题4 下列关于“频率”和“概率”的说法中正确的是( ) ①在大量随机试验中,事件A 出现的频率与其概率很接近; ②概率可以作为当实验次数无限增大时频率的极限; ③计算频率通常是为了估计概率。
A. ①② B. ①③
C. ②③
D. ①②③
答案:D
解析:(1)在大量随机试验中,事件A 出现的频率与其他概率很接近,所以该命题是真命题;
(2)概率可以作为当试验次数无限增大时频率的极限,所以该命题是真命题; (3)计算频率通常是为了估计概率,所以该命题是真命题。
故选:D 总结提升:
注意频率和概率的关系。
随着试验次数的增加,频率逐渐接近于概率,并在概率的左右微振动,在随机试验中,常常用试验的频率来估计概率,偏差不会很大,频率是变化的,概率时一个定值。
1. 事件的相互独立性
对任意的两个事件A 和事件B ,如果P (AB )=P (A )P (B ),则事件A 和事件B 是相互独立的,称为独立事件。
2. 频率和概率
(1)在随机试验中,试验次数的不同得到的频率也不同,频率是一个变化的数,随着试验次数的增加,频率逐渐接近于概率。
(2)概率是一个定值,不会随着试验次数的变化而变化。
(3)通常可以运用随机数法来得到随机试验中事件的频率,以此来估计事件发生的概率。
(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 一箱产品中有正品4件,次品2件,从中任取2件,以下事件:①恰有1件次品和恰有2件次品;②至少有1件次品和全是次品;③至少有1件次品和全是正品,其中互斥事件为( )
A. ①
B. ①③
C. ②③
D. ①②
2. 某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明 ( ) A. 该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B. 该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C. 合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D. 该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
3. 掷一个骰子的试验,事件A 表示“出现小于5的偶数点”,事件B 表示“出现小于5的点”,若B 表示B 的对立事件,则一次试验中,事件A +B 发生的概率为( )
A.
31
B.
21 C. 32
D.
6
5 4. 掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是( ) A. 1999
B.
1
1000
C.
999
1000
D.
1
2
二、填空题
5. 小明和小颖按如下规则做游戏:桌面上放有5支铅笔,每次取1支或2支,最后取完铅笔的人获胜,你认为这个游戏规则____。
(填“公平”或“不公平”)
6. 口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球,随机摸出一球,是红球的概率为0.45,是红球或黄球的概率为0.64,则摸出是红球或蓝球的概率是_________。
三、解答题
7.由经验得知:在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下表:
排队人数0 1 2 3 4 5
概率0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04
(1)求至多2人排队的概率;
(2)求至少2人排队的概率。
8. 甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。
i j分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况;
(1)设(,)
(2)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少?
(3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜,你认为此游戏是否公平,说明你的理由。
1. 答案:B
解析:由一箱产品中有正品4件,次品2件,从中任取2件,事件: 在①中,恰有1件次品和恰有2件次品不能同时发生,是互斥事件; 在②中,至少有1件次品和全是次品能同时发生,不是互斥事件; 在③中,至少有1件次品和全是正品不能同时发生,是互斥事件。
故①③。
故选:B 。
2. 答案:D
解析:合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率。
故选D 3. 答案:C
解析:掷一个骰子的试验有6种可能的结果。
依题意知P (A )=
62=31,P (B )=64=32,∴P (B )=1-P (B )=1-32=3
1,∵P (B )表示“出现5点或6点”,因此事件A 与P (B )互斥,从而P (A +B )=P (A )+P (B )=
31+31=3
2。
4. 答案:D
解析:每一次出现正面朝上的概率相等都是1
2
,故选D 。
5. 答案:不公平
解析:当第一个人第一次取2支时,还剩余3支,无论第二个人取1支还是2支,第一个人在第二次取铅笔时,都可取完,即第一个人一定能获胜。
所以不公平。
故答案为不公平。
6. 答案:0.81
解析:∵口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球, 随机摸出一球,是红球的概率为0.45,是红球或黄球的概率为0.64, ∴摸出是黄球的概率为0.64﹣0.45=0.19, ∴摸出是红球或蓝球的概率为:1﹣0.19=0.81。
故答案为:0.81。
7. 解:(1)至多2人排队的概率为P =0.10+0.16+0.30=0.56; (2)至少2人排队的概率为P ′=1﹣(0.10+0.16)=0.74。
8. 解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示,红桃2,红桃3,红桃4分别用2,3,4表示)为:
(2,3)、(2,4)、(2,4’)、(3,2)、(3,4)、(3,4’)、
(4,2)、(4,3)、(4,4’)、(4’,2)、(4’,3)、(4’,4)共12种不同情况
(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4’,因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为2 3
(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4’,2)、(4’,3)5种,
甲胜的概率
1
5 12
p=,乙获胜的概率为
2
7 12
p=,∵
57 1212
<
∴此游戏不公平。