陕西省咸阳市高一下学期开学数学试卷

陕西省高一下学期开学数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知10b1(2)=a02(3),则a+b的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2019高三上·梅州月考) 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（，）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·和平期末) 一个算法的步骤如下：第一步：输入正数m的值；第二步：求出不超过m的最大整数x；第三步：计算y=2x+x；第四步：输出y的值．如果输出y的值为20，则输入的m值只可能是下列各数中的（）A . 3.1B . 4.2C . 5.3D . 6.45. （2分） (2016高三上·韶关期中) 已知函数f（x）= ，g（x）=x2﹣2x，则函数f[g（x）]的所有零点之和是（）A . 2B . 2C . 1+D . 06. （2分） (2017高三上·高台期末) 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S 的值为（）A . 64B . 73C . 512D . 5857. （2分） (2017高一下·河北期末) 三棱锥P﹣ABC中，AB=BC= ，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为（）A . πB . πC . πD . π8. （2分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A . 若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB . 若l∥α，α∥β，则l⊂βC . 若l⊥α，α∥β，则l⊥βD . 若l∥α，α⊥β，则l⊥β9. （2分） (2017高三下·岳阳开学考) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A . 210﹣1B . 210C . 310﹣1D . 31010. （2分）将圆平分的直线的方程可以是（）A . x+y-1=0B . x+y+3=0C . x-y+1=0D . x-y+3=0[11. （2分）(2012·辽宁理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 812. （2分）函数 y=的反函数是（）A . y=-B . y=-C . y=D . y=二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·和平期中) 函数的单调递增区间是________．14. （1分） (2017高二下·咸阳期末) （如图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是________．15. （1分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=________.16. （1分） (2017高二下·南昌期末) 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）已知集合A={x|x﹣1≤2}，B={x|2＜x＜2m+1，m∈R}≠∅．（1）若m=3，求（∁RA）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．18. （5分） x的取值范围为[0，10]，给出如图所示程序框图，输入一个数x．（1）请写出程序框图所表示的函数表达式；（2）求输出的y（y＜5）的概率；（3）求输出的y（6＜y≤8）的概率．19. （10分） (2016高一上·会宁期中) 已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明．20. （15分） (2016高二上·邗江期中) △ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l 经过点D（0，4）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC外接圆M的方程；（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2 ，求直线l的方程．21. （5分） (2019高三上·浙江月考) 设，其中，函数在点处的切线方程为 .其中（Ⅰ）求证：函数有且仅有一个零点；（Ⅱ）当时，恒成立，求最小的整数的值.22. （10分） (2015高一上·福建期末) 如图（1），在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体如图（2），使G1、G2、G3三点重合于点G．证明：（1） G在平面SEF上的射影为△SEF的垂心；（2）求二面角G﹣SE﹣F的正弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。

2023-2024学年陕西省咸阳市高一下册期中数学试题一、单选题1．复数2ii i++(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】由复数的运算法则，化简复数21ii i i++=-，得到复数对应的点为(1,1)-，即可求解.【详解】由题意，复数2(2)()121()i i i i i i i i i i i ++⋅-+=+=+-=-⋅-，可得复数对应的点为(1,1)-，即复数2ii i++在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.本题主要考查了复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．已知向量1a =，b = a 与b 的夹角为6π，则a b ⋅ 为（）AB ．32CD ．1【正确答案】B【分析】根据已知条件利用数量积的定义求解即可.【详解】因为向量1a =，b = ，若a 与b 的夹角为6π，所以3cos 162a b a b π⋅=== ，故选：B.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =sin sinb cB C++等于（）A ．12BC．2D ．2【正确答案】D由已知结合正弦定理即可直接求解．【详解】A ＝60°，a =由正弦定理可得，sin sin sin 2b c a B C A ===2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，则sin sin b cB C+=+2．故选：D ．本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．4．已知正三角形ABCABC ∆的直观图A B C '''∆的面积为（）ABCD【正确答案】D作出原图和直观图，然后求面积.【详解】如图，直观图A B C '''∆的底边A B ''长度为原图形的底边长，高为原图形的高CD 的一半乘，故其直观图面积为1122=故选：D .本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.5．已知平面向量,a b满足||2,4a a b =⋅= ，则b 在a 方向上的投影向量为（）A ．12aB ．12br C ．aD ．b【正确答案】C【分析】根据投影向量的定义结合向量的夹角公式运算求解.【详解】b 在a方向上的投影向量为()2cos ,a a b a a b b a b b a a a a aa b ⎛⎫⋅⋅ ⎪=⨯== ⎪⎝⎭故选：C.6．已知ABC 满足2sin 6AB BA CA π=⋅，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出ABC 的形状为等腰三角形.【详解】2sin ==cos 6AB BA CA BA CA A π⋅⋅⋅，则=2cos AB CA A ⋅ ，由正弦定理可得sin =2sin cos C B A ⋅，则[]sin π(+)=2sin cos A B B A -⋅，即sin(+)=2sin cos A B B A ⋅，即sin()0A B -=，所以A B ∠=∠，ABC 的形状为等腰三角形，故选：C.7．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A ．B ．(8π+C ．D ．(10π+【正确答案】D【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.，设圆柱底面圆半径为r ，根据圆柱和球的对称性可得r =所以圆柱的表面积2222(10S πππ=⨯+⨯=+.故选：D8．海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：2a b cS p ++==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为10+ABC 满足sin :sin :sin 2:3:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（）A ．B ．C ．D ．12【正确答案】C【分析】用正弦定理将条件转化为边长的比，结合周长可求出三边的长度，将三边的长度代入海伦－秦九韶公式即可求出三角形的面积.【详解】在ABC 中，因为sin :sin :sin 2:3:A B C =由正弦定理可得：::sin :sin :sin 2:a b c A B C ==，设2a x =，3=b x ，c =，且10a b c ++=+∴2310x x ++=+2x =，即4a =，6b =，c =52a b cp ++==，∴S ==故选：C .本题考查三角形正弦定理和海伦－秦九韶公式的应用，考查理解辨析、运算求解能力，属基础题.二、多选题9．在ABC 中，AB =，1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．2π【正确答案】AD【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，即2132BC BC =+-⨯，解得1BC =或2BC =.当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π.故选：AD本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.10．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中的真命题为（）A ．2z =B ．22i z =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-【正确答案】BD【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念、复数的模，以及共轭复数概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数22(1i)1i 1i 2z --===---+，则22i,1i z z z ===-+，其中复数z 的虚部为1-.故选：BD.11．下列命题中成立的是（）A ．a c ⊥，//b c a b⊥⇒B ．P α∈，P β∈且l P l αβ⋂=⇒∈C ．∈A l ，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂D ．//a b ，////a c b c ⇒【正确答案】BCD【分析】利用平面的公理直接判断求解．【详解】对于A ：若a c ⊥，b c ⊥，则//a b 或a 与b 异面、或a 与b 相交，故A 错误；对于B ：由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，因为P α∈，P β∈且l αβ= ，则P l ∈，故B 正确；对于C ：由公理一知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，因为∈A l ，B l ∈，且A α∈，B α∈，则l ⊂α，故C 正确；对于D ：由平行公理得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，因为//a b ，//a c ，则//b c ，故D 正确.故选：BCD12．下列命题中，正确的是（）A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴>B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形【正确答案】ABD对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选.ABD本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.三、填空题13．设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+- ，若a b ⊥，则m =______________.【正确答案】5【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅= ，又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=，即5m =，故5.本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.14．在复平面内，复数34i +与56i +所对应的向量分别为OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则AB对应的复数为______.【正确答案】22i+【分析】首先求出OA 和OB 的坐标，从而求出AB的坐标，即可得解.【详解】因为复数34i +与56i +所对应的向量分别为OA 和OB，所以()3,4OA = ，()5,6OB = ，所以()()()5,63,42,2AB OB OA =-=-=，即AB对应的复数为22i +.故22i+15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若()()3a b c a b c ab +++-=，且2a bc =，则sin ba A的值为______【正确答案】3由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为1cos 2C =、sin sin a A b C =，求得3C π=后代入运算即可得解.【详解】 ()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==，由()0,C π∈可得3C π=，又2a bc =，∴sin sin a A b C =，∴11sin sin sin33b a A C π===.故答案为本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.四、双空题16表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为______.【正确答案】27画出图形，取BC 的中点E ，连接AE 、PE ，设ABC 的中心为O ，连接PO ，由题意结合正三棱锥的几何特征可得PE BC ⊥、2PE =，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.【详解】由题意，三棱锥-P ABC 如图所示：取BC 的中点E ，连接AE 、PE ，由正三角形的性质可得ABC 的中心O 在线段AE 上，且1133OE AE ===，连接PO ，则PO 即为该三棱锥的高，即PO =，所以2PE ==，又PB PC =，所以PE BC ⊥，所以12PBC S BC PE =⋅=△又12ABC S BC AE =⋅=△所以三棱锥的表面积33ABC PBC S S S =+=⨯=△△；所以该三棱锥的体积111333ABC V S PO =⋅=⨯△,当球与三棱锥-P ABC 内切时，体积最大，设三棱锥-P ABC 的内切球的半径为R ，则()1113333ABC PBC V S S R R =+⋅=⨯=△△，解得R ，则33max4433327V R ππ⎛==⋅= ⎝⎭.故；27.本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.五、解答题17．已知复数2(2i)3(1i)2(1i)z m m =+-+--．当实数m 取什么值时，复数z 是：(1)虚数；(2)纯虚数．【正确答案】(1)1m ≠且2m ≠(2)12m =-【分析】（1）根据复数z 是虚数，列出方程，解方程即可得解；（2）根据复数z 是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.【详解】（1）()222(2i)3(1i)2(1i)23232iz m m m m m m =+-+--=--+-+∵m ∈R ，∴2232m m --，232m m -+∈R ．当复数z 为虚数时，2320m m -+≠，1m ≠且2m ≠，故当实数1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数．（2）当复数z 为纯虚数时，222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得12m =-，故当12m =-时，复数z 为纯虚数．18．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，G 为FC 的中点，平面ABFE ∩平面CDEF =EF(1)证明:AF //平面BDG (2)证明:AB //EF【正确答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【分析】（1）连接AC 交BD 于O ,连接OG .利用三角形的中位线定理，再利用线面平行的判定定理即可证明AF //平面BDG ；（2）利用线面平行的性质定理即可证明出AB //EF.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ,连接OG .因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 、BD 互相平分.又G 为FC 的中点，所以OG 为三角形ACF 的中位线，所以//AF OG .因为OG ⊂面BDG ,AF ⊄面BDG ,所以AF //平面BDG.（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB//CD .因为CD ⊂面CDEF ,AB ⊄面CDEF ,所以AB //平面CDEF .因为AB ⊂面ABEF ,面CDEF 面ABEF =EF .所以AB //EF.19．已知函数()2πcos 22f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC的面积.【正确答案】(1)π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(2)4【分析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调增区间即可；（2）求出A 角，利用正弦定理得C 角和B 角，再由1sin 2ABC S ac B =计算即可.【详解】（1）())πsin 21cos 2sin 222sin 23f x x x x x x ⎛⎫=-++-=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ；故f （x ）在π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 上单调递增.（2）π2sin 23Af A ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πsin 3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵()0,πA ∈，∴ππ33A -=，即2π3A =，由正弦定理得，sin sin a c A C =1sin 2C =，解得1sin 2C =，∴π6C =或5π6，当5π6C =时，πA C +>，舍去，所以π6C =，故π6B =，∴111sin 1222ABC S ac B ==⨯= 20．如图，在三棱锥S ABC -中，SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==.（1）求三棱锥S ABC -的体积；（2）求三棱锥S ABC -的表面积.【正确答案】（1）2（2）（1）由体积公式直接计算；（2）题中有,,SC AC BC 两两垂直，面积易得，然后求出SAB △三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得面积．【详解】解：（1）因为SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==，所以111122323326S ABC ABC V S SC AC BC SC -=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=△；（2）因为SC 是高，SC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以SC AC ⊥，同理AC BC ⊥，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==，所以1123322SAC SBC S S AC SC ==⋅=⨯⨯= ，1122222ABC S AC BC =⋅=⨯⨯= ，SAB △是等腰三角形，SA SB ==AB =所以12SAB S =⨯=△所以三棱锥S ABC -的表面积为本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积．属于基础题．21．如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠= ，2DB AD = ，2CE EB =.（1）求CD 的长；（2）求AB DE ⋅ 的值．【正确答案】（1；（2）73.【分析】（1）将CD 用AB 和AC 表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2CD 的值，即可得出CD 的长；（2）将DE 利用AB 和AC 表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出AB DE ⋅ 的值．【详解】（1）2DB AD = ，13AD AB ∴= ，13CD AD AC AB AC ∴=-=- ，2AB = ，3AC =，60BAC ∠= ，1cos 602332AB AC AB AC ∴⋅=⋅=⨯⨯=.3CD ==== ；（2）2CE EB = ，13BE BC ∴= ，()212111333333DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+ ，221111117233333333AB DE AB AB AC AB AB AC ⎛⎫∴⋅=⋅+=+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ .本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.22．在①sin cos a A a C =-，②(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的角A B C ，，对边分别为,,,a b c c =_____．（I ）求C ∠；（Ⅱ）求ABC 面积的最大值．【正确答案】（I ）3π；（Ⅱ）4【分析】（I ）选①，先利用正弦定理化简可得sinA sinAcosC -，进而得到1cosC -=，结合C 的范围即可求得3C π=；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得12cosC =，结合C 的范围即可求得3C π=；（Ⅱ）由余弦定理可得223a b ab +-=，再利用基本不等式可得3ab ≤，进而求得△ABC 面积的最大值．【详解】解：（I ）选①，∵a acosc =-，∴sinA sinAcosC =-，∵sin A ≠0，1cosC -=，即162sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0＜C ＜π，∴5666C πππ--＜＜，故66C ππ-=，即3C π=；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ，∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴222122a b c cosC ab +-==，∵0＜C ＜π，∴3C π=；（Ⅱ）由（I ）可知，3C π=，在△ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，∴2232a b ab ab+=+≥∴3ab ≤，当且仅当那个a ＝b 时取等号，∴11sin 32224ABC S ab C =≤⨯=△，即△ABC 面积的最大值为4．。

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i- B.8iC.88i- D.88i+3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C.A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D .平面ABC 与平面BCD 不可能垂直7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC -8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC .当2π3θ=时，1F G = D.当π2θ=时，1F G= 11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B. C. D.1212.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067615.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠︒，2,AD AC PO ==⊥平面,2,ABCD PO M =是PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N ．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数【答案】B 【解析】【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A 错误；样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B 正确；样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C 错误；样本容量是20，D 错误，故选：B2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i -B.8iC.88i- D.88i+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--，所以()228i z -=-.故选：A3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据题意列式解出m ，再利用复数的运算求得2i 13i i 22m +=+-，结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】若复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则20m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，则()()()()2i 1i 2i 2i 13i 13i i 1i 1i 1i 222m +++++====+---+，故复数2i i m +-在复平面内对应的点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：A.4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg【答案】C 【解析】【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70kg ，女生平均体重为50kg ，该班的平均体重是70750364kg 10⨯+⨯=，故选：C ．5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C .A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子【答案】C 【解析】【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.【详解】()14849505152505A x =++++=，()()()()()22222214850495050505150525025A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；()14848494951495B x =++++=，()()()()()222222148494849494949495149 1.25B S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；A B x x >，22A B S S >，故A 的平均产量高，B 的产量比较稳定.故选：C6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D.平面ABC 与平面BCD 不可能垂直【答案】A 【解析】【分析】A 选项只需满足AC AD =即可，B 选项与题干矛盾，C 选项与A 选项矛盾，D 选项只需满足AC ⊥平面BCD 即可.【详解】如图所示：取CD 的中点E ，连接AE ，BE假设AB CD ⊥，因为BCD 为等边三角形，所以BE CD ⊥，又因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，所以CD AE⊥又因为E 是CD 中点，所以AC AD =，只需满足AC AD =，即可做到AB CD ⊥，故A 正确C 错误；对于B ：若A 在平面BCD 内的射影为B ，则有AB ⊥平面BCD ，与题干矛盾，故B 错误；对于D ：过C 点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面BCD ，A 点只需在该直线上，即满足AC ⊥平面BCD 即可达到要求，故D 错误.故选：A7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC C.14BC-D.34BC -【答案】A 【解析】【分析】首先根据已知条件可知AB AC ⊥，从而推得ABD △为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，则()()22AB ACAB AC +=- ，所以0AB AC ⋅= ，则AB AC ⊥，因为D 是BC 的中点，所以AD BD CD == ，又因为||||AD AB =，所以ABD △为等边三角形，故点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，则E 为BD 中点，所以向量BA 在向量BC上的投影向量为14BE BC = ．故选：A .8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C 【解析】【分析】设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，分π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和(0,]θγ∈两种情况讨论，证明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，从而可得出答案.【详解】平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，当π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111,(0,1]1C E C F AB C D C B λλ==∈=，则()222211(12312(1)22EFBD S λλλλλ=+-+=-++，令()222()12(1)h λλλ=-++，因为2()4(1)0h λλλ'=+>，所以()11max max ()(1)2,2EFBD BDB D h h S S λ====当(0,]θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面11,2C BD C BD S =，当0θ=时，平面α截正方体所得截面为,1ABCD ABCD S =，所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D ，同理平面β过1A D 、时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC ，连接11,,BD AC B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C --，因为1B C ⊥面11,AD BC AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C --大小，因为160B CA =∠︒，所以面α与面β所成锐二面角大小为60︒.故选：C ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，考查了分类讨论思想和极限思想.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b【答案】ABC 【解析】【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC.当2π3θ=时，1F G= D.当π2θ=时，1F G= 【答案】AC 【解析】【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.【详解】对A ：根据题意，得12G F F =+，所以2222121212cos 2(1cos )G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得221G Fθ=+ ，因为()0,πθ∈时，cos y θ=单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A 正确；对B ：由题意知θ的取值范围是()0,π，故B 错误；对C ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当2π3θ=时，221F G = ，所以1F G =，故C 正确；对D ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当π2θ=时，2212GF = ，所以1F =，故D 错误.故选：AC.11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B.C.D.12【答案】AC 【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC 为x '轴时，B C ''=为最大值，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='为最小值，故B C ''的长度范围是，C 选项可以以AB 为x '轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BC 为x '轴，画出直观图，如图2，此时B C BC ===''A 正确，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='，则B C ''的长度范围是，若以AB 或AC 为x 轴，画出直观图，如图1，以AB 为x '轴，则2,1A B A C ''''==，此时过点C '作C D '⊥x '于点D ，则45C A B '''∠=︒，则2A D C D '='=，22B D '=-，由勾股定理得：B C =''C 正确；故选：AC12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A 、B ，将,BD BO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C 、D ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对A ：因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以13OA OD DC AC ===，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对B ：()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，则2212212253333999BD BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51132233922=++⨯⨯⨯=，故B 正确；对C 、D ：如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()11,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()13cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故D 正确.故选：ABCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．【答案】4-【解析】【分析】借助向量垂直，则数量积为0计算即可得.【详解】()221,3a b m -=-，由()2a b c -⊥ ，可得()20a b c -⋅= ，即有2190m -+=，解得4m =-.故答案为：4-.14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】05【解析】【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.15.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A 到BC 的距离的最大值，和BC 边上的高为2比较，即可确定答案.【详解】因为ABC 中，60,A BC == ，所以ABC 的外接圆半径为122sin 60R BC ︒=⨯=,即A 位于以2为半径的圆弧 BAC上，如图，当ABC 为正三角形时，此时顶点A 到BC 的距离的最大值为6032︒=>,如图当A 位于,E F 处时，此时,BE CF 为外接圆直径，则,EC BC FB BC ⊥⊥,则2EC FB ==，满足60,A BC BC ==边上的高为2，故满足条件的ABC 的个数为2个，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．【答案】28R π【解析】【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积.【详解】设圆柱的高为h ，内壁的表面积为S ，由题意可知：323211·33R R h R πππ+=，解得：3h R =.内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即222·28S R h R R πππ=+=.故答案为：28R π四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．【答案】（1（2）1114【解析】【分析】（1）代入向量模的数量积公式m =，即可求解；（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.【小问1详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，m ∴== ．【小问2详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，n ∴== ()()2212121122π112366cos 132m n e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=+-=，11112cos ,14m n m n m n⋅∴==．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．【答案】（1）50人，40人，10人（2）82.5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用百分位数的定义进行求解即可得.【小问1详解】老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:1255:4:1=，故抽取100人，样本中老年人数为510050541⨯=++人，中青年人数为410040541⨯=++人，少年人数为110010541⨯=++人；【小问2详解】设当天游客满意度分值的75%分位数为x ，因为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.0100.0250.0350.020100.90.75+++⨯=>，所以x 位于区间[)80,90内，则()800.0200.750.7x -⨯=-，解得：82.5x =，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.【答案】（1）1a =，4b =-；（2）2.【解析】【分析】（1）将2i x a =+代入方程250x bx ++=，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于a 、b 的方程，结合0a >可求得a 、b 的值；（2）设()2i ,z x y x y R =+∈，根据复数的模长公式结合已知条件可得出1y x =+，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得2z 的最小值.【详解】（1）依题意得，()()22i 2i 50a b a ++++=，即()()24254i 0a b a ab -++++=，所以24250400a b a ab a ⎧-++=⎪+=⎨⎪>⎩，解得1a =，4b =-；（2）由（1）可得12i z =+，设()2i ,z x y x y R =+∈，则21z z -=，23i z -=因为2123i z z z -=-=，整理得1y x=+.2z ==故当12x =时，2z 取得最小值2.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．【答案】（1）π3C =（2）321sin 14AEB ∠=【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.【小问1详解】)sin sinB C A A=+，())sin sinA C C A A+=+，cos sin sinA C C A=．因为sin0A≠sinC C=，所以tan C=又0πC<<，所以π3C=．【小问2详解】如图所示，因为π,33ACB AC∠==，所以AB=又因为CD为ACB∠的平分线，所以AD CD DB===．因为DE CD=，所以在BDE中，DB DE==又π3BDE∠=，所以BDE为等边三角形，所以BE=在ADEV中，由余弦定理可得2222π2cos213AE AD DE AD DE=+-⨯⨯=，即AE=，在ADEV中，由正弦定理可得sin sinAB AEAEB ABE=∠∠，即3321πsin sin3AEB=∠，得sin14AEB∠=．21.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，=45ADC∠︒，2,AD AC PO==⊥平面,2,ABCD PO M=是PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）255．【解析】【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）找出直线AM 与平面ABCD 所成角，借助正切函数定义计算即可得.【小问1详解】连接OM ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，O ∴为BD 的中点，又M 为PD 的中点，PB MO ∴∥，又PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面,//ACM PB ∴平面ACM ；【小问2详解】取DO 的中点N ，连接,MN AN ，M 为PD 的中点，MN PO ∴∥，且112MN PO ==，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，MAN ∴∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ ，在Rt DAO △中，12,12AD AO AC ===，DO ∴=122AN DO ==，在Rt ANM △中，25tan 5MN MAN AN ∠===，∴直线AM 与平面ABCD．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）62（3）6【解析】【分析】（1）由AB AF ⊥，CD AF ⊥，可证得CD ⊥平面ACF ，得CD AN ⊥，又AN CF ⊥，即可证得结论；（2）设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，得BF PO ∥，则CPO ∠是异面直线BF 与PC 所成角，即可求解；（3）可证得AF ⊥平面ABCD ，则三棱锥B CEF -的体积：B CEF C BEF V V --=，计算即可．【小问1详解】四边形ABEF 为正方形，AB AF ∴⊥，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，CD AC ∴⊥，AB CD ，CD AF ∴⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，CD \^平面ACF ，AN ⊂ 平面AFC ，CD AN ∴⊥，AN CF ⊥ ，⋂=CF CD C ，,CF CD ⊂平面CDF ，AN ∴⊥平面CDF．【小问2详解】四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，AC ∴===32AO CO ∴==， 四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AC =，=90ACD ∠︒，CD ⊂平面ABCD ，CD \^平面PAC ，PC ⊂ 平面PAC ，CD PC ∴⊥，P 为DF的中点，122AP CP FD ∴=====，设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，BF PO ∴∥，CPO ∴∠是异面直线BF 与PC所成角，sin 552CO CPO PC ∠===，10cos 5CPO ∴∠=，6tan 2CPO ∠=，∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为62．【小问3详解】平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，CA ==∴三棱锥B CEF -的体积：111113326B CEF C BEF BEF V V S CA --==⨯=⨯⨯⨯= ．。

2023-2024学年陕西省咸阳市高一下册第一次质量检测数学试题一、单选题1．设p 2N ,2n n n *∀∈>，则命题p 的否定形式为（）A ．2N ,2n n n *∀∈≤B ．2N ,2n n n *∀∈<C ．2N ,2n n n *∃∈≤D ．2N ,2nn n *∃∈>【正确答案】C【分析】根据全称命题的否定的概念求解即可.【详解】p 2N ,2n n n *∀∈>的否定为2N ,2n n n *∃∈≤，故选：C2．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A ．()22log f x x =与()22log g x x=B ．()sin f x x =与2(sin )()sin x g x x=C ．()()22x f x =与()4xg x =D ．()0f x x =与()1g x =【正确答案】C【分析】由表示同一函数的满足条件：定义域相同，对应关系相同，对选项逐一判断即可得到结果.【详解】对于A ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为{}0x x >，定义域不相同，故A 错误；对于B ：()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}π,Z x x k k ≠∈，定义域不相同，故B 错误；对于C ：()f x ，()g x 的定义域都为R ，且解析式相同，故C 正确；对于D ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，()g x 的定义域为R ，定义域不相同，故D 错误.故选：C.3．下列各组中两个值大小关系正确的是（）A ．()()tan 50tan 48-<-B ．912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()sin 506sin 145>D ．cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】A【分析】根据三角函数的单调性与诱导公式一一验证即可.【详解】对于选项A 、B ：由正切函数的单调性可得()()tan 50tan 48-<-，912tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A 正确，B 错误；对于选项C ：()()()sin 506sin 360146sin 146=+=，则根据正弦函数的单调性可得()()sin 146sin 145< ，则C 错误；对于选项D ：根据余弦函数的单调性可得cos cos 53ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则D 错误；故选：A.4．若函数()f x 的定义域是[3,2]-，则函数()()11f xg x x +=-的定义域是（）A ．[-4，1]B ．[-3，1]C ．[-3，1）D ．[-4，1）【正确答案】D【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．【详解】由312x -≤+≤解得41x -≤≤，又10x -≠，得41x -≤<.故选：D ．5．下列不等式一定成立的是（）A ．212(0)x x x +>>B ．()1sin 2,Z sin x x k k xπ+≥≠∈C ．()211R 1x x ≥∈+D ．12(0)t t t+≥>【正确答案】D【分析】根据各项所给条件，结合均值不等式分析、判断作答.【详解】对于A ，当1x =时，212x x +=，A 不正确；对于B ，当,Z x k k π≠∈时，1sin 1x -≤≤，且sin 0x ≠，若1sin 0x -≤<，则1sin 0sin x x+<，B 不正确；对于C ，2R,11x x ∀∈+≥，则21011x <≤+，即C 不正确；对于D ，当0t >时，由均值不等式得12t t+≥成立，当且仅当1t =时取等号，则D 正确.故选：D6．若关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，则关于x 的不等式2120x px x q+->+的解集是（）A ．()()3,24,--+∞B ．()()3,24,-+∞C ．()()0,32,4--D ．()(),23,4-∞- 【正确答案】B【分析】根据关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，利用韦达定理可得1,2=-=-p q ，将不等式等价转化为()()4302x x x -+>-，进而求解.【详解】因为关于x 的不等式{}20x x px q ++<的解集是{}|12x x -<<，所以20x px q ++=的两根是1-或2，由韦达定理可得：1,2=-=-p q ，所以2120x px x q +->+可转化为()()4302x x x -+>-，解得32x -<<或4x >.所以原不等式的解集为(3,2)(4,)-+∞ ，故选.B7．已知定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x -关于()1,0中心对称，(2)f x +是偶函数，且()f x 在[]0,2上是增函数，则（）A ．()()()101913f f f <<B ．()()()101319f f f <<C ．()()()131019f f f <<D ．()()()131910f f f <<【正确答案】D【分析】根据函数对称性和奇偶性得到()f x 的周期为8，化简得到()()102f f =，()()191f f =，()()131f f =-，结合函数在[]0,2上的单调性和奇偶性得到()f x 在[]22-,上递增，从而比较出大小.【详解】因为()1f x -关于()1,0中心对称，所以()f x 对称中心是()0,0，故()()f x f x -=-，因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 的对称轴是2x =，即()()22f x f x +=-，所以()()22f x f x +=-中，将x 替换为2x -，得到()()4f x f x =-，故()()4x f f x -=--，将x 替换为4x -，得到()()84x f f x -=--，所以()()8f x f x -=-，因此()f x 的周期为8.所以()()102f f =，()()()1931f f f ==，()()()1351f f f ==-，因为()f x 在[]0,2上递增且()f x 是奇函数，所以()f x 在[]22-,上递增，所以()()()112f f f -<<，∴()()()131910f f f <<.故选：D8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，对于任意的x ，总有()()22f x f x -=+成立，当()0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x mx x =+，对任意x ∈R ，存在R t ∈，使得()()f x g t >成立，则满足条件的实数m 构成的集合为（）A ．1|3m m ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．1|3m m ⎧≤⎫⎨⎬⎩⎭C ．1|03m m ⎧⎫⎨<⎩≤⎬⎭D ．1|3m m ⎧⎫>⎨⎩⎭【正确答案】B【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数()f x 的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据0m ≤和0m >分类讨论可得．【详解】由函数()y f x =是奇函数得函数()y f x =的图象关于原点对称，由任意的x ，总有()()22f x f x -=+成立，即()()4f x f x +=恒成立，于是得函数()y f x =的周期是4.又当(0,2)x ∈时，()03f x <<，而()f x 是奇函数，当(2,0)x ∈-时，()30f x -<<，又()()22f f -=，()()22f f -=-，从而行()()()2200f f f -===，即[]2,2x ∈-时，()33f x -<<，而函数()y f x =的周期是4，于是得函数()y f x =在R 上的值域是()3,3-，因为对任意x ∈R ，存在R t ∈，使得()()f x g t >成立，从而得不等式()223g x mx x =+≤-在R 上有解，当0m ≤时，成立，当0m >时，2230mx x ++≤在R 上有解，必有4120m ∆=-≥，解得13m ≤，则有103m <≤.综上得13m ≤.故选：B ．结论点睛：不等式恒成立问题的转化：()f x 的定义域是A ，()g x 的定义域是B ，（1）对任意的1,x A ∈，存在2x B ∈，使得12()()f x g x ≤成立⇔max max ()()f x g x ≤；（2）对任意的1,x A ∈，任意的2x B ∈，12()()f x g x ≤恒成立⇔max min ()()f x g x ≤；（3）存在1,x A ∈，对任意的2x B ∈，使得12()()f x g x ≤成立⇔min min ()()f x g x ≤；二、多选题9．已知集合{}2|30A x x x =∈+=R ，则有（）A ．A∅⊆B ．3A-∈C ．A 有4个子集D ．{3}A⊆【正确答案】ABC【分析】根据题意先求出集合A ，然后利用元素与集合的关系，集合的子集等概念进行判断即可求解.【详解】由题意可得{}3,0A =-，由集合与元素，集合与集合的关系可知A 正确；B 正确；D 错误；由子集的概念可知：集合A 的子集有,{0},{3},{3,0}∅--共4个，所以C 正确；故选：ABC.10．已知函数()2ln(2)f x x x =-，则()A ．()f x 的定义域为(0，2)B ．()f x 是奇函数C ．()f x 的单调递减区间是(1，2)D ．()f x 的值域为R 【正确答案】AC【分析】由对数的真数大于0得定义域判断A ，根据奇函数的性质判断B ，由对数型复合函数的单调性判断C ，根据对数函数性质求对数型复合函数的值域判断D ．【详解】对于A ，由220x x ->，得02x <<，故A 正确；对于B ，因为定义域不关于原点对称，所以()f x 不是奇函数，故B 错误；对于C ，∵22u x x =-在(1，2)上单调递减，而ln y u =在0u >时单调递增，∴()()2ln 2f x x x =-在(1，2)上单调递减.故C 正确；对于D ，∵()2202111x x x <-=--+≤∴()()10f x f ≤=，故D 错误.故选：AC ．11．已知3sin cos 10θθ=，sin sin θθ=-，则正确的有（）A ．2θ是第二象限角B ．sin cos θθ+=C ．sin cos θθ-=D ．1tan 3θ=或3【正确答案】BD【分析】A 选项，根据题目条件得到sin 0θ<，cos 0θ<，得到θ为第三象限角，判断出2θ可能为第二或第四象限角，故A 错误；B 选项，求出()28sin cos 5θθ+=，结合θ的范围求出B 正确；C选项，求出()2sin cos θθ-，得到sin cos 5θθ-=±，D 选项，在BC 选项的基础上，求出答案.【详解】对于A ，∵sin sin θθ=-，3sin cos 10θθ=，∴sin 0θ<，cos 0θ<，∴θ为第三象限角，∴()3ππ2π2πZ 2k k k θ+<<+∈，∴()π3πππZ 224k k k θ+≤≤+∈，当k 为偶数时，2θ为第二象限角，当k 为奇数时，2θ为第四象限角，2θ可能为第二或第四象限角，故A 错误；对于B ，()28sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=，∵sin 0θ<，cos 0θ<，∴sin cos 0θθ+<，∴sin cos 5θθ+=-，故B 正确；对于C ，由()22sin cos 12sin cos 5θθθθ-=-=，∵sin 0θ<，cos 0θ<，∴sin cos θθ-可能为正，也可能为负，∴sin cos 5θθ-=±，故C 错误；对于D ，当sin cos θθ-=，sin cos θθ+=-时，sin θθ==，故1tan 3θ=，当sin cos θθ-=sin cos θθ+=sin θθ==故tan 3θ=故1tan 3θ=或3，故D 正确.故选：BD.12．已知函数()11f x ax x =+-，则正确的有（）A ．0a >时，()f x 在(1,)+∞单调递增B ．(cos )f x 为偶函数C ．若方程()0f x =有实根，则()[,04,)a ∞∞∈-⋃+D ．()()sin 11g x x =-+，当1a =时，()f x 与()g x 交点的横坐标之和为4【正确答案】BC【分析】利用双勾函数的单调性可判断A ；利用函数的奇偶性判断B ；解方程可判断C ；结合正弦函数和基本不等式分别求出两函数的值域即可判断D .【详解】对于A ，因为0a >时，由双勾函数的单调性可知：函数()()111f x a x a x =-++-在1,⎫+∞⎪⎭上递增，故A 错误；对于B ，∵()1cos cos cos 1f x a x x =+-的定义域关于原点对称，且()()()cos cos f x f x -=∴()cos f x 是偶函数，故B 正确；对于C ，若()0f x =有实根，即101ax x +=-，当0a =时，方程101ax x +=-无解，故舍去；当0a ≠时可得()211x x x a=-+≠，由二次函数的图象和性质可得：114a ≤，解得a<0或4a ≥，故C 正确；对于D ，由正弦函数的图象和性质可知()g x 的值域为[0，2]，又因为当1a =时，11()(1)111f x x x x x =+=-++--，当1x >时，则1()(1)131f x x x =-++≥-，当且仅当2x =时等号成立；当1x <时，11()(1)1[(1)1111f x x x x x=-++=--++≤---当且仅当0x =时取等号，所以()f x 的值域为(,1][3,)-∞-+∞ ，二者无交点，故D 错误.故选.BC 三、填空题13．若()0,x ∞∈+幂函数()211a y a a x -=--为减函数，则实数a 的值为______.【正确答案】1-【分析】先根据函数是幂函数求出a 的值，再代入验证即可.【详解】因为函数()211a y a a x -=--是幂函数，所以211a a --=，解得1a =-或2a =，当1a =-时，2y x -=，满足在区间()0,∞+上是减函数，当2a =时，y x =，不满足在区间()0,∞+上是减函数，故1-14．已知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm ，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为______cm.【正确答案】15π【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为120602÷=，则每秒大轮转过的圈数为2183484⨯=，所以大轮每秒转过的弧长为3210154ππ⨯⨯=.故答案为.15π15．若2x a -<成立的一个充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围为______.【正确答案】[0，3]【分析】用集合的思想来分析充分不必要条件即可求解.【详解】由2x a -<得22a x a -+<<+，∵2x a -<的充分不必要条件是12x <<∴2122a a -+≤⎧⎨≤+⎩，解得03a ≤≤，经检验0a =或3均满足条件，故答案为.[]0,316．已知()()()()21log 220e 0x x x f x x -⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()23y f x mf x =++有8个不同零点，则实数m 的取值范围为______.【正确答案】7,2⎛-- ⎝【分析】利用换元法令()t f x =及并画出()f x 的函数图像，求得()f x t =有四个不同的解时t 的取值范围，再利用二次函数的性质即可求得实数m 的取值范围.【详解】令()t f x =，作出函数()f x 的图象，可知当12t <<时，()f x t =有四个不同的解.因为()()23y f x mf x =++有8个不同的零点，所以230t mt ++=在()1,2t ∈内有两个不等实根.设()23g t t mt =++，则根据二次函数的图象与性质，等价于:()()2Δ121221020m m g g ⎧=-⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得72m -<<-.故72m -<<-四、解答题17．平面直角坐标系中，若角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -(1)求sinα和tanα的值(2)若()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-，化简并求值【正确答案】(1)sin α=tan 2α=-(2)()sin 2cos ,4sin cos af αααα-=+【分析】（1）根据三角函数的定义计算；（2）用诱导公式化简函数后，弦化切代入计算．【详解】（1）∵OP =sin 5α=，tan 2α=-；（2）∵()()()()sin tan 2cos 2sin cos f παπαπαααα⎛⎫+++- ⎪⎝⎭=+-sin cos 2cos sin 2cos cos sin cos sin cos αααααααααα--==++，∴()tan 2224tan 11f ααα---===+-.18．已知集合()(){}22220A x x a x a a =-+++>，1{|1}1B x x =<-.(1)若1a =，求A B ⋃，R ()ðA B (2)若A B A = ，求a 的取值范围.【正确答案】(1){|1A B x x =< 或2}x >，{}R ()|23A B x x =<≤ ð；(2){}|01a a ≤≤【分析】(1)解一元二次不等式和分式不等式可求得集合,A B ，再由交，并，补集的定义即可求解；(2)根据交集的结果得到A B ⊆，然后根据集合的包含关系列出不等式，解之即可求解.【详解】（1）若1a =，所以2{|430}{|(1)(3)0}{|1A x x x x x x x x =-+>=-->=<或3}x >，集合112{|1}{|10}{|0}{|1111xB x x x x x x x x -=<=-<=<=<---或2}x >，由{|1A x x =<或3}x >，{|1B x x =<或2}x >，结合集合的运算可得：{|1A B x x =< 或2}x >，{}R |13A x x =≤≤ð，{}R ()|23A B x x =<≤ ð（2）∵{|A x x a =<或2}x a >+，{|1B x x =<或2}x >，由A B A = 可得A B ⊆，∴1a ≤且22a +≥∴a 的取值范围{}|01a a ≤≤.19．2022年夏天，重庆遭遇了极端高温天气，某空调厂家加大力度促进生产.生产某款空调的固定成本是1000万元，每生产x 千台，需另投入成本()R x （单位：万元），()()214501602360005103000(60100)10x x R x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪-⎩，生产的空调能全部销售完，每台空调平均售价5千元．(1)写出年利润()P x （单位:万元）关于年产量x （单位:千台）的关系式；(2)当年产量为多少千台时，这款空调的年利润最大？最大为多少？【正确答案】(1)()P x ()21501000160 236000200010(60100)10x x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩(2)产量为7万台时，年利润最大为700万元【分析】（1）求出销售收入，减去成本后可得利润函数；（2）根据利润函数分段求最大值，一段利用二次函数性质得最大值，一段利用勾形函数的单调性求得最大值，比较后即可得．【详解】（1）由题意得空调销售收入为0.51000500x x ⨯=（万），则()P x ()215004501000160 23600050051030001000(60100)10x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+--<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩()21501000160 236000200010(60100)10x x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩；（2）由（1）得：当160x ≤≤时，()()21502502P x x =--+∴当50x =时，()P x 取得最大值250；当60100x <≤时()()()36000360019001010190010101010P x x x x x ⎡⎤⎡⎤=--+=--+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，由勾形函数性质知()P x 在(60,70)上递增，在(70,100)上递减，∴当70x =时，()P x 取得最大值700.综上所述，当年产量为70000台时，年利润最大，最大为700万元.20．已知函数2()1f x ax ax =-+．(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,)b -，求()f x 的零点；(2)若0a >，解关于x 的不等式()0f x x ->．【正确答案】(1)1-和2(2)答案见解析【分析】（1）利用()0f x >的解集为(1,)b -可得到()f x 开口向下，1-和b 为210ax ax -+=方程的两根，结合韦达定理即可求解（2）将不等式整理成(1)(1)0ax x -->，然后分01a <<，1a =和1a >三种情况进行讨论即可【详解】（1）因为2()10f x ax ax =-+>的解集为(1,)b -，∴()f x 开口向下，且1-和b 为210ax ax -+=方程的两根，∴0111a b b a ⎧⎪<⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩，解得212b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴()f x 的零点为1-和2．（2）()0f x x ->，即2(1)10ax a x -++>，∵0a >，∴(1)(1)0ax x -->当01a <<时，11a >，不等式解集为：11x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭∣或；当1a =时，11a=，不等式解集为：{1}x x ≠∣．当1a >时，11a <，不等式解集为：11x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭∣或．21．已知函数()()2R x f x x =∈.(1)解不等式()()()4218f x f x f x ++>++；(2)若[]2,2x ∀∈-，不等式()22f x x m +>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)13x -<<(2)12m <【分析】（1）直接代入方程，通过换元转化为一元二次函数即可求解；（2）恒成立问题，小于最小值，利用函数的单调性，求出定义域的范围，即可求出值域的范围.【详解】（1）由4212228x x x +++>+得()22217280x x -⋅+<，令2x t =，则221780t t -+<，解得182t <<，即1282x <<，解得13x -<<.（2）∵[]2,2x ∀∈-，不等式()22f x x m +>恒成立，∴()22min2x x m +⎡⎤>⎢⎥⎣⎦由于[]2,2x ∈-，()222111x x x =+-≥-+，当且仅当1x =-时，等号成立；∴()21min 1222f x x -+==∴12m <.22．已知函数()()()log log 2(01)m m f x x m x m m m =-+->≠且.(1)当12m =时，解不等式()2log 50f x +>；(2)若对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，求实数m 的取值范围；(3)在（2）的条件下，是否存在5,,2m αβ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使()f x 在区间[α，β]上的值域是[]log ,log m m βα？若存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.【正确答案】(1){}13x x <<(2)112m ≤<(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据对数函数性质把对数不等式化为一元二次不等式后求解，注意对数函数的定义域；（2）根据对数函数性质求得()f x 在[3,4]m m 上的最大值max ()f x ，由max ()1f x ≤可得；（3）由对数函数单调性问题转化为一元二次方程在5(,)2m +∞上有两个不等实根，由一元二次方程根的分布知识求解可得．【详解】（1）∵12m =∴()()11221log log 12f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域为（1，+∞）.由()()1211222111log 1log 5log 1log 0225x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=--+> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，化简得()1152x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得332x -<<，又1x >，∴所求不等式的解集为{}13x x <<.（2）对于任意的[]3,4x m m ∈，都有()1f x ≤，等价于max ()1f x ≤，∵()()()()22log 2log 32([3,4])m m f x x m x m x mx m x m m ⎡⎤=--=-+∈⎣⎦设[]()22223323,424m t x mx m x m x m m ⎛⎫=-+=--∈ ⎪⎝⎭则t 在[3,4]m m 上是增函数，下面按照log m y t =的单调性分类讨论:当01m <<时，()f x 在[3,4]m m 上递减，则()()()2max 3log 21m f x f m m ==≤，解得112m ≤<，当1m >时，()f x 在[3,4]m m 上递增，则()()()2max 4log 61m f x f m m ==≤，解得106m <≤与1m >矛盾，故舍去.综上，112m ≤<.（3）∵112m ≤<，∴()f x 在(52m ,+∞)上递减，∴()()log log m m f f ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()22a m a m m m αβββ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，即关于x 方程()()2x m x m x --=在(52m ,+∞)上有两个不等的实根，设()()()()222312h x x m x m x x m x m =---=-++，则22112Δ(31)80315225(02m m m m m m h ⎧≤<⎪⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪⎪>⎪⎩，即211261012103m m m m m ⎧≤<⎪⎪++>⎪⎪⎨<⎪⎪⎪>⎪⎩m ⇒∈∅．综上，不存在这样的α，β满足条件.结论点睛：一元二次方程根的分布：20ax bx c ++=(0)a >，记2()f x ax bx c =++，（1）方程20ax bx c ++=的两根都大于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩；（2）方程20ax bxc ++=的两根都小于m ⇔Δ02()0b m a f m ≥⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩；（3）方程20ax bxc ++=的一根大于m ，一根小于m ⇔()0f m <；（4）方程20ax bx c ++=的两根都都在区间(,)m n 上⇔Δ02()0()0b m n a f m f n ≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩．。

2023-2024学年陕西省咸阳市高一下册入学检测数学试题一、单选题1．若集合{}4M =<，{}31N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1|163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】解不等式求得,M N ，从而求得M N ⋂.{}4,016,|016x M x x <≤<=≤<，1131,,|33x x N x x ⎧⎫≥≥=≥⎨⎩⎭，所以M N ⋂=1|163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D2．命题“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是（）A ．所有不能被4整除的整数都是偶数B ．所有能被4整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被4整除的整数是偶数D ．存在一个能被4整除的整数不是偶数【正确答案】D【分析】全称量词命题的否定是一个存在量词命题，根据全称命题的否定方法，可得到结论．【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且只否定结论，所以“所有能被4整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被4整除的整数不是偶数”．故选：D ．3．若不等式2210mx mx -+>的解集为R ，则实数m 的范围为（）A ．01m ≤<B ．0m <或m 1≥C ．0m ≤或m 1≥D ．01m <<【正确答案】A【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，0m =时易得符合题意，0m ≠时，即二次函数()221f x mx mx =-+图像恒在x 轴上方.【详解】因为不等式2210mx mx -+>的解集为R .当0m =时，10>，符合题意；当0m ≠时，201Δ440m m m m >⎧⇒<<⎨=-<⎩.综上.01m ≤<故选：A4．已知点(1,2)P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（）ABC．5-D．5-【正确答案】D直接根据三角函数的定义即可得结果.【详解】因为点(1,2)P -是角α终边上一点，所以sin αα==，所以sin cos 5αα+=-，故选：D.5．在ABC 中，已知1tan 2B =，1tan 3A =，则C 的大小为（）A ．90°B ．45°C ．135°D ．60°【正确答案】C【分析】利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得结果.【详解】∵1tan 2B =，1tan 3A =，∴()11tan tan 32tan 111tan tan 16A B A B A B +++===--，∴()tan tan 1C A B =-+=-，又()0,C π∈，∴34C π=.故选：C.6．已知0.112,ln 3a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c b a>>【正确答案】B【分析】利用中间值来比较大小.【详解】因为12=，所以12a =，因为0.10122>=，所以1b >，因为1ln ln103<=，所以0c <，综上可得b a c >>.故选：B.7．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【正确答案】D【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误；对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确故选D ．1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.8．同时具有以下性质：“①最小正周期是π，②在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎣⎦上是增函数”的一个函数是（）A ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据正余弦函数的周期性以及单调性逐一分析选项，得出结论．【详解】对于A ，πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期2ππ2T ==，当ππ66x -≤≤时，πππ2266x -≤-≤，所以函数在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，正确；对于B ，πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期2π4π12T ==，不符合题意；对于C ，1πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期2π4π12T ==，不符合题意；对于D ，πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期2ππ2T ==，当ππ66x -≤≤时，πππ2266x -≤-≤，所以函数在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先增后减，不符合题意；故选：A二、多选题9．若,,R a b c ∈，则下列说法正确的是（）A ．若0ab >，则2ab b a +≥B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11b a>【正确答案】AC【分析】根据基本不等式或不等式的性质可判断AC 的正误，根据反例可判断BD 的错误.【详解】因为0ab >，故0,0a b b a>>，故2a b b a +≥=，当且仅当a b =时等号成立.故A 成立.因为a b >，故22a b >，故C 成立.若0c =，则22ac bc =，故22ac bc >不成立，故B 错误.取1,1a b ==-，则1111b a=-<=，故D 错误.故选：AC.10．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A ．1y x x=-B ．3y x=-C ．e ex xy -=-D ．2x y x=【正确答案】AC【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断即可.【详解】对选项A ：()1f x x x=-在()0,1上单调递增，()()1f x x f x x -=-+=-，函数为奇函数，正确；对选项B ：3y x =-在()0,1上单调递减，排除；对选项C ：()e e x x f x -=-，()()e e x xx f x f --==--，函数为奇函数，在()0,1上单调递增，正确；对选项D ：()2x f x x =，则()()()2x f x f xx--==-，函数为偶函数，排除.故选：AC11．关于函数2()sin cos f x x x x -，下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为1C ．()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】ABC【分析】化简()f x 解析式，根据三角函数最小正周期、最值、单调区间，对称中心的知识确定正确选项.【详解】()1cos 211sin 2sin 22222x f x x x x +=-=-++2sin 232x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 正确，()f x 的最大值为1B 正确，由2222232k x k ππ3ππ+≤+≤π+解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，所以()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C 正确.2sin 2sin 063πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为6π⎛ ⎝⎭，D 不正确.故选：ABC12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，函数(1)f x +为偶函数，且当[]1,3x ∈时,2()2f x x x =-+,则（）A ．()f x 的图像关于点(2,0)对称B ．()f x 的图像关于直线2023x =对称C ．()f x 的值域为[]3,1-D ．3()20f x x -+=的实数根个数为6【正确答案】BC【分析】由(2)()f x f x +=-得()f x 的最小正周期为4，(1)f x +为偶函数得()f x 的图像关于直线1x =对称，借助[]1,3x ∈的解析式可画出对应图像，进而对选项逐一辨析即可.，【详解】()f x 是定义在R 上的函数,(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，即()f x 的最小正周期为4.又(1)f x +为偶函数，可得(1)(1)f x f x -=+，即()f x 的图像关于直线1x =对称，又2()2f x x x =-+的对称轴为1x =，在[]13,x ∈-上，1x =时()f x 取得最大值1，=1x -或3x =时()f x 取得最小值3-，则()f x 的值域为[]3,1-，故C 正确;由(1)1,(3)3f f ==-，即(1)(3)0f f +≠，则()f x 的图像不关于点(2,0)对称，故A 错误;由202350541x ==⨯+，而()f x 关于1x =对称且最小正周期为4，则2023x =也是对称轴，故B 正确；3()20f x x -+=的实数根个数等价为()y f x =与1(2)3y x =-的交点个数,由()f x 在[]1,3-的图像向右平移4个单位可得()f x 在[]3,7的图像，得2()1024(37)f x x x x =-+-≤≤，由21(2)31024y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-+-⎩可得2329700x x -+=，解得5x =或143,即有直线1(2)3y x =-与()y f x =在[]3,7有两个交点,画出()y f x =的图像和直线1(2)3y x =-可得它们有7个交点,所以3()20f x x -+=的实数根个数为7，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知扇形的圆心角为3α=，半径为2r =，则扇形的面积S =______．【正确答案】6【分析】由扇形的弧长公式、面积公式可得答案.【详解】因为扇形的弧长为6l r α==，所以162S rl ==．故6．14．已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数，则m =___________.【正确答案】1【分析】根据幂函数的定义与幂函数的单调性可得出关于m 的等式与不等式，解之即可.【详解】因为幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,∞+上为增函数，则211m m m ⎧+-=⎨>⎩，解得1m =.故答案为.115．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M 距离水面的高度H （单位：米）与转动时间t （单位：秒）满足函数关系式π52sin 604H ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且0=t 时，盛水筒M 与水面距离为2.25米，当筒车转动40秒后，盛水筒M 与水面距离为______米．【正确答案】94##2.25【分析】由题意得52.252sin 4ϕ=+，求出ϕ的值，从而可求出函数关系式，进而将40t =代入函数中可求得结果【详解】因为0=t 时，盛水筒M 与水面距离为2.25米，所以52.252sin 4ϕ=+，即1sin 2ϕ=，又π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π6ϕ=，所以ππ52sin 6064H t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当40t =时，ππ592sin 4060644H ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故94．16．已知R a ∈，函数()()11,44,a x x a f x x x a x ⎧-+<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若()f x 存在最小值，则a 的取值范围是__________.【正确答案】12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可.【详解】解：当10a ->，即1a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递增，故()f x 无最小值，不符合题意；当12a ≤≤时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，所以()(1)1f a a a =-+，又()f x 在[,)a +∞上的最小值为()20f =，要使()f x 存在最小值，还需()110a a -+≥，解得1122a ≤≤，故112212a a ⎧+≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩112a ⇒≤≤；当2a >时，要使()f x 存在最小值，还需：()4114a a a a -+≥+-，因为()4110,40a a a a-+<+->，所以无解综上a的取值范围为11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.11,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知集合{|}2A x a x a =≤≤+，集合{|1B x x =<-或5}x >，全集U =R .(1)若1a =，求()U A B ð;(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()()(),13,U A B ⋃=-∞⋃+∞ð(2)()(),35,-∞-+∞ 【分析】（1）由题知{}|13A x x =≤≤，再根据集合运算求解即可；（2）根据题意得21a +<-或5a >，再解不等式即可得答案.【详解】（1）解：当=1a 时，{}|13A x x =≤≤，所以()(),13,U A =-∞⋃+∞ð，又{|1B x x =<-或5}x >，所以()()(),13,U A B ⋃=-∞⋃+∞ð.（2）因为{|}2A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >，A B ⊆，所以21a +<-或5a >，解得3a <-或5a >，所以实数a 的取值范围是()(),35,-∞-+∞ .18．已知π10,sin cos 25x x x -<<+=(1)求sin cos x x -的值；(2)求2sin 22sin 1tan x x x-+的值；【正确答案】(1)75-(2)16825-【分析】（1）利用()()22sin cos sin cos 2x x x x -++=计算即可；（2）将2sin 22sin 1tan x x x-+变形，然后代入已知量和已求量计算即可.【详解】（1）()()22sin cos sin cos x x x x -++ 2222sin cos 2sin cos sin cos 2sin cos 2x x x x x x x x =+-+++=()()22149sin cos 2sin cos 22525x x x x ∴-=-+=-=又π0,sin 0,cos 0,sin cos 02x x x x x -<<∴<>∴-<，7sin cos 5x x ∴-=-（2）()222sin cos cos sin sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x ---==+++()()2171sin cos 1cos sin 1682551cos sin 255x x x x x x ⎛⎫-⨯⎡⎤ ⎪+--⎣⎦⎝⎭===-+19．已知正数,x y 满足1x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求12x y+的最小值．【正确答案】（1）14（2）3+【分析】（1）根据基本不等式x y +≥xy 的最大值；（2）利用()1212x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开求式子的最小值.【详解】（1）0,0x y >>，x y +≥1x y += ，14xy ∴≤当12x y ==时等号成立，xy 的最大值是14；（2） ()121223332y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭等号成立的条件是2y x x y =0,012x y x y y x x y⎧⎪>>⎪⎪∴+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：1x =，2y =所以，当1x =，2y =-12x y+的最小值是3+.本题考查根据基本不等式乘积的最大值和求和的最小值，意在考查公式的熟练掌握，以及转化与计算能力，属于基础题型.20．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．（1）求森林面积的年增长率；（2（3）为使森林面积至少达到6a 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？（参考数据：lg20.3010=，lg30.4771=）【正确答案】（1）11021-；（2）5；（3）26.（1）设年增长率为x ，根据题意可得出关于x 的等式，进而可解得x 的值，即可得解；（2）设已植树造林n 年，根据题意可得出关于n 的等式，解出n 的值，即可得解；（3）设至少需要植树造林m 年，列出关于m 的不等式，结合指数与对数的转换关系以及换底公式可求得结果.【详解】（1）设年增长率为x ，则()1012a x a +=，即()1012x +=，解得11021x =-，因此，森林面积的年增长率为11021-；（2）设已植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即110222n =，1102n ∴=，解得5n =，因此，该地已经植树造林5年；（3）设至少需要植树造林m 年，则1101216ma a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，可得1026m ≥，所以，2lg 6lg 2lg 3lg 3log 6110lg 2lg 2lg 2m +≥===+，10lg 3100.4771101025.8lg 20.3010m ⨯∴≥+=+≈，因此，至少需要植树造林26年.思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．21．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根，()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围以及1232x x x ++的值.【正确答案】(1)π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)[2,3]a ∈，12314π23x x x ++=【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出2,3A B ==，得到最小正周期，求出2π2Tω==，再代入特殊点的坐标，求出π3ϕ=，得到函数解析式；（2）先根据平移变换和伸缩变换得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到[2,3]a ∈，再根据对称性得到1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，相加后得到123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求出答案.【详解】（1）由图示得：51A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：51512,322A B -+====，又71πππ212122T =-=，所以πT =，所以2π2T ω==，所以()2sin(2)3f x x ϕ=++.又因为()f x 过点π,512⎛⎫⎪⎝⎭，所以52sin 232π1ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，所以ππ2π,62k k Z ϕ+=+∈，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到()2sin 232sin 2π4633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，,ππ266πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin 32sin 36πx t ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 3h t t =+，在2,ππ6t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦上单调递增，在ππ22,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，在π23π2,t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且2sin 32,2sin 35π2ππ66π2h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，332sin 31,(2)2sin 2332π2πππh h ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭,所以[2,3]a ∈时，.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根.因为()0h t a -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，且12,t t 关于π2t =对称，23,t t 关于3π2t =对称，则1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，两式相加得：12324πt t t ++=，即123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12314π23x x x ++=.22．设R a ∈，函数()22x x a f x a+=-.(1)若1a =，求证：函数()y f x =是奇函数;(2)设0,0a k ≠<，若存在实数(),m n m n <，使得函数()y f x =在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求k a的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)({}0,31--【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可；（2）分析当0a >时，a<0时，函数的单调性确定关于,m n 的方程，从而可得,a k 的关系，即可得k a的取值范围.【详解】（1）1a =时，有()2121x x f x +=-定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()()211221211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，即()f x 为奇函数；（2）0a ≠ ，当0a >时，函数()f x 的定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞ ，又()22221222x x x x x a a a a f x a a a +-+===+---，所以函数()f x 在()()22,log ,log ,a a -∞+∞上都单调递减,若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，有()1f x >，则12mk >与0k <矛盾，舍去；若[]()2,,log m n a ⊆-∞，有()1f x <，即有()()22n m k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222m m n n n ma k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，所以()()()()222222n m m m n n a k a a k a ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩，两式相减得()()220n m a k +-=，又m n <，所以220n m -<，故0a k +=，所以1ka=-；∴当a<0时，函数()f x 的定义域为R 又()212xa f x a =+-，所以()f x 在R 上单调递增，结合题意有()()22n m k f n k f m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得222222n n n m m m a k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩,即,m n 是222x x x a k a +=-的两个不同的实根,∴令20x t =>，则()()20,,0t a k t ak a k +-+=<在0t >上有两个不同实根,故()202400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎪⎩，可得03k a <<-综上所述，k a的取值范围({}0,31-- .。

2016--2017学年度第二学期第一次月考高一数学试题班级： 姓名：一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列几项调查，适合普查的是 （ ）A. 调查全省食品市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准B. 调查某城市某天的空气质量C. 调查所在班级全体学生的身高D. 调查全省初中生每人每周的零花钱数2. 为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（ ）A. 总体B. 个体C. 样本D. 样本容量3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为 a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )．A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>a>bD ．c>b>a 4．下列说法错误的是( )．A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大5．某考察团对全国10大城市职工的人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程y=0.6x+1.5（单位：千元），若某城市居民的人均消费额为7.5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为（ ）A. 66%B.72.3%C.75%D.83%6．甲、乙两个样本的方差分别为31.14,6.622==s s ，由此反映（ ） A ．样本甲的波动比样本乙大 B ．样本乙的波动比样本甲大C ．样本甲和样本乙的波动大小一样D ．样本甲和样本乙的波动大小无法确定 7．现要完成下列3项抽样调查：甲乙①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；③东方中学共有160名教师，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名。

陕西省咸阳市高三下学期开学数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x||x﹣1|≤1，x∈R}，B=，则A∩B=（）A . （0，2）B . [0，2]C . {0，2}D . {0，1，2}2. （2分） (2017高三上·襄阳期中) “a=2”是“∀∈（0，+∞），ax+ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率为”．根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（）A . 5B . 6C . 7D . 84. （2分）若a＞b，则下列正确的是（）①．a2＞b2 ②．ac＞bc ③．ac2＞bc2 ④．a﹣c＞b﹣c．A . ④B . ②，③C . ①，④D . ①，②，③，④5. （2分） (2017高一下·桃江期末) 为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度6. （2分）已知等差数列{an}的首项为，Sn为数列的前n项和，若S6=2S4 ，则a10=（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D .8. （2分） (2019高一上·新疆月考) 若方程在内有解，则的图象可能是（）A .B .C .D .9. （2分）执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·息县模拟) 某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A . 2B . 3C . 4D . 611. （2分）双曲线的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二下·广东期中) 若对，，且，都有，则的取值范围是（）注:（为自然对数的底数，即…）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·延安期中) 已知函数是偶函数，若则________.14. （1分） (2015高三上·盘山期末) 如图在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=4， =3 ，•=2，则• 的值是________．15. （1分） (2019高三上·沈阳月考) 已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，假定每个冰淇淋球都是半径为的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为________．16. （1分） (2019高二上·郑州期中) 若数列满足，，则________.三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分） (2019高一下·广东期中) 在中，角，，所对应的边分别为，，，且 .（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值.18. （10分） (2017高二下·金华期末) 甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为，乙每次闯关成功的概率为．（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．19. （10分） (2019高二下·奉化期末) 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在“阳马” 中，侧棱底面，且，过棱的中点E，作交于点F，连接 .（1）证明：平面 .试判断四面体是否为“鳖臑”，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若，求直线与平面所成角的正切值.20. （5分）(2017·河南模拟) 已知椭圆C：的右顶点A（2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l于椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于M，N两点，线段MN的中点为P，记直线PB的斜率为k2 ，求证：k1•k2为定值．21. （10分） (2015高二上·天水期末) 已知f（x）=ex ， g（x）=x+1．（1）证明：f（x）≥g（x）；（2）求y=f（x），y=g（x）与x=﹣1所围成的封闭图形的面积．22. （10分）(2016·连江模拟) 已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为p2= ，定点A（0，﹣），F1 ， F2是圆锥曲线C的左、右焦点，直线l经过点F1且平行于直线AF2 ．（1）求圆锥曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）若直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．23. （10分） (2020高一下·泸县月考) 已知，函数．（1）若，求的单调递增区间；（2）函数在上的值域为，求，需要满足的条件．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。

2023-2024学年陕西省咸阳实验中学高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知AB =(3,5)，AC =(−1,2)，则CB =( )A. (4,3)B. (−4,−3)C. (−4,3)D. (4,−3)2.设a 表示“向东走6km ”，b 表示“向南走3km ”，则b−a +b 所表示的意义为( )A. 向东南走6 2kmB. 向东南走3 6kmC. 向西南走6 2kmD. 向西南走3 6km 3.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m =−e 1+ke 2(k ∈R)与向量n =e 2−2e 1共线，则( )A. k =0B. k =1C. k =2D. k =124.在△ABC 中，内角A 、B 所对的边分别是a 、b ，且bcosA =acosB ，则△ABC 是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5.已知|a |=2|b |≠0，且关于x 的方程x 2+|a|x +a ⋅b =0无实根，则向量a 与b 的夹角的取值范围是( )A. [0,π6)B. (π3,π]C. (π3,2π3)D. [0,π3)6.如果{e 1,e 2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )A. 若存在实数λ1，λ2使λ1e 1+λ2e 2=0成立，则λ1=λ2≠0B. 平面α内任意向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC. λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内D. 对于平面α内任意向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对7.已知平面向量a ,b ,|a |=2，当|a−tb |最小时，t|b |= 3，则a ,b 的夹角为( )A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°8.如图所示，O 为线段A 0A 2025外一点，若A 0，A 1，A 2，A 3，⋯，A 2025中任意相邻两点间的距离相等，OA 0=a ,OA 2025=b ，则用a ，b 表示OA 0+OA 1+OA 2+⋯+OA 2025，其结果为( )A. 2025(a +b )B. 2026(a +b )C. 1012(a +b )D. 1013(a +b )二、多选题：本题共3小题，共18分。

陕西省咸阳市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题一、单选题1．某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ）A ．16B ．10C ．8D ．62．已知复数2025i 1iz =+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知集合{}{}34,1M x x N x x =-<≤=<，则（ ）A ．3M -∈B ．()M N =R R U ðC ．M N ⊆D ．()M N M ⋂⊆ 4．已知 ,a b 是两条不同的直线， α 是平面，若 //,a b αα⊂ ，则 ,a b 不可能（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．异面5．已知πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 6．某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：lg 20.301≈）（ ）A ．40年B ．30年C ．20年D ．10年 7．已知,a b 是实数，则“331a b <<”是“11a b >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，若AF AB AD λμ=-u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．54-B ．14-C ．14D ．54二、多选题9．某市举行体操选拔赛，每位评委各自给出一个基础分，按比赛规则，先对基础分进行处理，即去掉一个最高分和一个最低分，得到最终分．对于基础分和最终分，下列统计量可能发生变化的是（ ）A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．众数10．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则（ ） A ．π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的一个对称中心是7π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度后，所得图象关于y 轴对称 11．对于任意的[],x x ∈R 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）A ．函数[]()y x x =∈R 为奇函数B ．函数[]y x =的值域为ZC ．对于任意的,x y +∈R ，不等式[][][]x y x y +≤+恒成立D ．不等式[]2[]430x x -+<的解集为{}23x x ≤<三、填空题12．若1,a b a b ==⊥r r r r ，且()()23a b ka b +⊥-r r r r ，则k =． 13．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为．14．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将,,AED BEF DCF V V V 分别沿,,DE EF DF 折起，使,,A B C 三点重合于点A '，则三棱锥A EFD '-的外接球的表面积为．四、解答题15．已知函数()1log 3,02a f x x a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且1a ≠． (1)若()82f =，求a 的值；(2)若()f x 在[]6,18上的最大值与最小值的差为1，求a 的值．16．某大学强基计划招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是111,,223，答对第二题的概率分别是111,,323． (1)求甲同学通过该校强基招生面试的概率；(2)求甲、乙两位同学中有且只有一位同学通过强基招生面试的概率；(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．17．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，点D 是AB 的中点．若sin sin20c B b C +=．(1)求C ；(2)若4,2b CD ==，求边长AB ．18．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)[)[]40,50,50,60,,90,100L 得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)求样本成绩的第80百分位数；(3)已知落在[)50,60的平均成绩是51，方差是7，落在[)60,70的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．19．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．(1)证明：OA BC ⊥；(2)设OCD V是边长为3的等边三角形，3,AO E =是线段AD 上（不与A D 、重合）的点，若二面角E BC D --的大小为45︒，求AE AD的值．。

2023-2024学年陕西省咸阳市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3M =---，集合{}2230N xx x =--=∣，则M N ⋂=（）A ．{}1,3--B ．{}1,3C ．{}1,3-D ．{}3【正确答案】C【分析】求出集合N ，然后可得答案.【详解】因为{}3,2,1,0,1,2,3M =---，{}{}22301,3N xx x =--==-∣，所以M N ⋂={}1,3-，故选：C2．已知()()1,,2,4a m b ==- ，若//a b r r，则m =（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-【正确答案】B【分析】利用平行的坐标公式运算求解即可.【详解】由向量()()1,,2,4a m b ==- ，//a b r r，412m ∴⨯=-⨯，解得2m =-.故选：B.3．已知1πsin ,032αα=<<，则sin2α=（）A ．81B ．81C ．9D ．9【正确答案】D【分析】利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式即可求解.【详解】1sin ,032παα=<< ，2221cos 1sin 1338αα⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，又π0cos 23αα<<∴=，，1sin22sin cos 2339ααα∴==⨯⨯=.故选：D.4．已知向量a b､满足||2,||5a b == ，且a 与b 夹角的余弦值为15，则()()22a b a b +⋅-=（）A ．36-B ．28-C ．12D ．72【正确答案】A【分析】根据题意，由向量的数量积的运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为||2,||5a b ==，且a 与b 夹角的余弦值为15，所以()()22221222322232525365a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- .故选:A5．已知向量OA a,OB b,OC c === ，且=3AC BC，则（）A ．1322c a b=-+B ．3122c a b=- C ．1322c a b=- D ．1433c a b=-+ 【正确答案】A【分析】根据平面向量的线性运算，代入化简即可得解.【详解】向量OA a,OB b,OC c ===，且=3AC BC ，则33OC OA OC OB -=- ，所以23OC OA OB =-+ ，则1322OC OB =-+ ，即1322c a b =-+.故选：A6．在等式①00a ⋅= ；②00a ⋅= ；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ；④若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c = ；其中正确的命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】A【分析】由零向量、向量数乘、数量积等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案.【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，故①错误；0乘以任何向量都为零向量，故②正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量数量积不满足结合律，故③错误；a b a c ⋅=⋅不一定有b c = ，如,0a b c ⊥= 满足条件，结论不成立，故④错误；故选：A7．函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π4个单位得到下列哪个函数（）A ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．πcos 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．πcos 24y x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭=【正确答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π4个单位得到()πππsin 2cos 2444f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：D8．已知函数()()32log 1,14,(5),4,x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x t =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()341211x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（）A ．7B ．9C ．10D ．12【正确答案】C【分析】画出()f x 图像，由图可知方程()y f x t =+的4个不同的零点为函数y ＝f (x )与函数y ＝m 图像的四个交点的横坐标，然后可得1212x x x x =+且3x 410x +=，即可求出答案.【详解】函数()f x 的图像如图，()f x t =-有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，可得3x 410x +=，且()()3123log 1log 1x x -=-，即为()()1233log 1log 10x x -+-=，即有()()12111x x --=，即为1212x x x x =+，可得()3434121110x x x x x x ⎛⎫++=+=⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9．已知向量,a b满足()()1,2,1,2a b ==-- ，则（）A ．5b =B ．0a b +=C ．2a b -=D ．5a b ⋅=-【正确答案】BCD【分析】根据平面向量的坐标运算逐一判断即可.【详解】因为()()1,2,1,2a b ==--，所以b = 0a b +=，()23,6a b -= ，2a b -== ，145a b ⋅=--=- ，故选：BCD10．下列命题中，正确的是（）A ．对于任意向量,,a b 有||||||a b a b +≤+B ．若0,a b ⋅= 则0a =或0b =C ．对于任意向量,,a b有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b共线，则||||a b a b ⋅=± 【正确答案】ACD【分析】由向量加法的三角形法则可判断A 选项；利用数量积的定义式可判断BCD 选项.【详解】对于A ：由向量加法的三角形法则可知A 正确;对于B ：当a b ⊥时，0,a b ⋅= 故B 错误;对于C ：因为|||||||cos |||||,a b a b a b θ⋅=≤故C 正确;对于D ：当,a b 共线同向时，||||cos0||||,a b a b a b ︒⋅==当,a b 共线反向时，||||cos180||||,a b a b a b ︒⋅==- 故D 正确.故选：ACD.11．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，下列说法正确的是（）A ．AC AE BF -=B ．32AC AE AD+= C ．2AD AB AB⋅= D ．AD 在AB 上的投影向量为AB【正确答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对D 结合图形即可判断.【详解】对A ，AC AE AC EA EC -=+= ，显然由图可得EC 与BF为相反向量，故A 错误；对B ，由图易得AE AC =，直线AD 平分角EAC ∠，且ACE △为正三角形，根据平行四边形法则有2AC AE AH += 与AD共线且同方向，易知,EDH AEH 均为含π6的直角三角形，故,3EH AH DH === ，则4AD DH = ，而26AH DH = ，故232AH AD = ，故32AC AE AD += ，故B 正确；对C ，2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，π6BDC DBC ∴∠=∠=，则π2ABD ∠=，又AD //BC ，π3DAB ∴∠=，2AD AB = ，221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯= ，故C正确；对D ，由C 知π2ABD ∠=，则AD 在AB 上的投影向量为AB，故D 正确.故选：BCD.12．设,a b是互相垂直的单位向量，()2,1AB a b AC a b λλ=+=+- ，下列选项正确的是（）A ．若点C 在线段AB 上，则3λ=B ．当1λ=时，与AB共线的单位向量是55a +C ．若AB AC ⊥，则23λ=D ．当1λ=-时，a 在AC上的投影向量为1255a b- 【正确答案】CD【分析】对A ：根据向量共线分析运算；对B ：根据单位向量分析运算；对C ：根据向量垂直运算求解；对D ：根据投影向量分析运算.【详解】由题意可得：221,0a b a b ==⋅=r r r r，对A ：若点C 在线段AB 上，则[),1,AB k AC k =∈+∞uu u r uuu r，则()()211a b k a b ka k b λλλ⎡⎤+=+-=+-⎣⎦r r r r r r，可得()12k k λλ=⎧⎨-=⎩，解得2k λ==或1k λ==-（舍去），故A 错误；对B ：当1λ=时，则2AB a b =+===uu u r r r 与AB共线的单位向量是55a b ⎫=±+⎪⎪⎝⎭，故B 错误；对C ：由AB AC ⊥，可得()()()()22221221320AB AC a b a b a a b b λλλλλλλ⎡⎤⋅=+⋅+-=+-+⋅+-=-=⎣⎦uu u r uuu r r r r r r r r r ，解得23λ=，故C 正确；对D ：当1λ=-时，可得()22221,a AC a a b a a b AC ⋅=⋅-=-⋅====r uuu r r r r r r r uuu r则a 在AC上的投影向量为()2112cos ,555AC a AC AC a AC a a AC a AC AC a bAC a ACAC AC⋅⋅<>====-uuu r r uuu ruuu r r uuu rr r uuu r r uuur uuu r r ruuu r r uuu ruuu r uuu r ，故D 正确.故选：CD ．三、填空题13．已知,R a b +∈，且4ab =，则2a b +的最小值为__________．【正确答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】因为,R a b +∈，且4ab =，所以2a b +≥=2a b =即a b ==所以2a b +的最小值为故答案为.14．已知向量()1,3a =- ，()4,2b =- ，若a b λ- 与b 垂直，则λ=__________．【正确答案】2-【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】()a b b λ-⊥ ，()210200a b b a b b λλλ∴-⋅=⋅-=--= ，解得.2λ=-故答案为.2-15．已知a ，b 是不共线的向量，OA a b λμ=+ ，32OB a b =-，23OC a b =+ ，若A ，B ，C 三点共线，则实数λ，μ满足__________．【正确答案】513λμ+=.【分析】方法1：运用三点共线(1)OA mOB m OC =+-，再运用向量相等列方程消去m 可得结果.方法2：先计算BA 、BC，再运用A ，B ，C 三点共线则//BA BC 列方程可得结果.【详解】方法1：因为A ，B ，C 三点共线，所以设(1)OA mOB m OC =+-，即：(32)(1)(23)(2)(53)a b m a b m a b m a m b λμ+=-+-+=++-+ ，所以2 53m m λμ+=⎧⎨-+=⎩，消去m 得.513λμ+=方法2：()()()()3232BA OA OB a b a b a b λμλμ=-=+--=-++ ，()23325BC OC OB a b a b a b =-=+--=-+，因为A ，B ，C 三点共线，所以//BA BC，故()53(2)λμ-=-+，所以513λμ+=．故答案为.513λμ+=16．O 为ABC 的外心，6,4,AB AC BAC ∠==为锐角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=__________．【正确答案】13【分析】过O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，则E 、F 分别是AB 、AC 的中点.根据Rt AEO 中余弦的定义分别求出AB AO ⋅ ，AC AO ⋅的值，再由M 是边BC 的中点，得()12⋅=⋅+AM AO AB AC AO ，即可求得结果.【详解】过O 分别作OE AB ⊥于E ，OF AC ⊥于F ，则E 、F 分别是AB 、AC 的中点.可得Rt AEO中，cos 2AE AB OAE AO AO ∠== ,211822⋅=⋅⋅== AB AO AB A AB AO O AB ,同理可得2812⋅== AC AO AC , M 是边BC 的中点，()12AM AB AC=+uuu r uu u r uuu r ()()311(221)18812∴⋅+=+=+⋅=⋅⋅= AM AO AB AC AO AB AO AC AO 故13.四、解答题17．已知4a = ，2b = ，且a 与b 夹角为120 ，求：(1)2a b -；(2)a与a b + 的夹角．【正确答案】(1)；(2)π6.【分析】（1）根据数量积的运算律，求出()22a b - 的值，即可得出答案；（2）先根据数量积的运算律，求出()2a b + 的值，即可得出a b + 的值，进而根据数量积的运算得出()a ab ⋅+的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）由已知可得，1cos1204242a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r .所以有()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++= ，所以2a b -=.（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += 又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅= ，所以()cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+，所以a 与a b + 的夹角为π6．18．如图所示，某人从点A 出发，向西走了200m 后到达B 点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点，发现D 点在B 点的正北方.（1）作出向量AB ，BC，CD （图中1个单位长度表示100m ）；（2）求向量DA的模.【正确答案】（1）作图见解析（2）10013m 【分析】（1）根据题意直接画图即可；（2）根据（1）的作图，可以通过平行四边形的性质、勾股定理得到向量DA的模.【详解】解：（1）如图，,,AB BC CD 即为所求.（2）如图，作向量DA，由题意可知，四边形ABCD 是平行四边形，∴||13m DA BC == .本题考查了在直角坐标系内画出向量，考查了利用勾股定理求向量的模，属于基础题.19．已知函数())22log 91f x x ax =++是奇函数．(1)求a 的值．(2)若0a >时，()f x 是R 上的增函数，且()()2320f m f m -+>，求m 的取值范围．【正确答案】(1) 3.a =±(2)()(),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据奇函数的定义即可求a 的值．（2）利用函数单调性和奇偶性解抽象不等式知识即可求m 的取值范围．【详解】（1）函数())2log f x ax =是奇函数．()))22log ()log -=-=f x a x ax ()()()()0=--∴+-= f x f x f x f x()()))()222222log log log 910∴+-=+=+-=f x f x ax ax x a x 29 3.∴=∴=±a a （2）若0a >时，即3a =时，())2log 3= f x x 是奇函数又是增函数，且()()2320f m f m -+>，可得()()()2322f m f m f m ->-=-，232m m ->-，即()()()()2230310,31,+->⇔+->⇔∈-∞-⋃+∞m m m m m m ∴的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.20．已知两个力121253,2,,F i j F i j F F =+=-+ 作用于同一质点，使该质点从点()8,0A 移动到点()20,15B （其中,i j 分别是x 轴正方向､y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）．试求：(1)12,F F 分别对质点所做的功；(2)12,F F 的合力F 对质点所做的功．【正确答案】(1)1F 对该质点做的功为105J ，2F 对该质点做的功为9J-(2)96J【分析】（1）根据题意，求出位移AB，结合功的计算公式，即可求解；（2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解.【详解】（1）根据题意，()1535,3F i j =+= ，()222,1F i j =-+=- ，()12,15AB = ，故1F 对该质点做的功116045105W F AB =⋅=+= J ；2F 对该质点做的功2224159W F AB =⋅=-+=- J .（2）根据题意，1F ，2F 的合力()123,4F F F =+= ，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功31241596W F AB =⋅=⨯+⨯= J .21．已知平面向量()()2sin ,sin ,2sin (0)a x x b x x ωωωωω==> ，函数()1f x a b =⋅- ，若函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式．(2)先将()f x 图像上所有的点向左平移(0)m m >个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图像，若()y g x =的图像关于直线5π24x =对称，求当m 取得最小值时，函数()y g x =的单调递增区间．【正确答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)π7πππ,,Z 224224k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式将()f x 的解析式化为正弦型函数，利用周期求出ω的值可得答案；（2）首先根据图像的变换得到()y g x =的解析式，然后求出m 的最小值，然后结合正弦函数的单调性可得答案.【详解】（1）()2π12sin cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，因为函数()f x 的最小正周期为π，0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（2）将()f x 图像上所有的点向左平移(0)m m >个单位长度，得到π2sin 226y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图像，所以()π2sin 426g x x m ⎛⎫=+- ⎝⎭，因为()y g x =的图像关于直线5π24x =对称，所以Z 65πππ42π,242m k k ⨯+-=+∈，ππ,Z 212k k m -=∈，因为0m >，所以min 5π12m =，此时()2π2sin 43g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由π2ππ2π42π+,Z 232k x k k -≤+≤∈可得π7πππ,Z 224224k k x k -≤≤-∈，所以函数()y g x =的单调递增区间为π7πππ,,Z 224224k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦.22．平面内给定三个向量()()()2,2,1,4,,3a b n c k ==+= ，且()()2a c b a +- ∥．(1)求实数k 关于n 的表达式；(2)如图，在OAB 中，G 为中线OM 上一点，且2OG GM = ，过点G 的直线与边OA ，OB分别交于点P ，Q （,P Q 不与O 重合）.设向量()3,OP k OA OQ mOB =+= ，求2m n +的最小值．【正确答案】(1)23k n =-(2)43【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；（2）由向量的运算得出1613OG OP Q n O m =+ ，再由,,P G Q 三点共线，得出11163n m+=，再由基本不等式求最值.【详解】（1）因为2(22,8),(1,2)a c k b a n +=+-=- ，()()2a c b a +- ∥所以2(22)8(1)k n +=-，即23k n =-.（2）由（1）可知，2OP nOA = ，OQ mOB = ，由题意可知,0n m >因为2OG GM = ，所以12111()33233OG OM OA OB OA OB ==⨯+=+ 又12OA OP n = ，1OB OQ m= ，所以1613OG OP Q n O m =+ .因为,,P G Q 三点共线，所以11163n m+=.112222242(2)636333333m n m n m n n m n m ⎛⎫+=++=++≥=+= ⎪⎝⎭当且仅当223m n ==时，取等号，即22,33OP OA OQ OB == 时，2m n +取最小值43.。