1.1高数(北大版)

预习探究
3.一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两个命题叫作 互为逆否命题 ,其中一个命题叫作原命题,那 么另一个命题叫作原命题的 逆否命题 . 若原命题为“若p,则q”,则逆否命题为“ 若q的否定,则p的否定 ”. [思考] 一个命题有条件也有结论,在写命题的否命题时,是对条件的否定 还是对结论的否定?
解:(1)原命题为假命题.因为当c=0时,ac2=bc2.逆 命题:若ac2>bc2,则a>b,是真命题.否命题:若a≤b, 则ac2≤bc2,是真命题.逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b, 是假命题. (2)原命题为真命题.逆命题:若四边形是圆的内接 四边形,则该四边形的对角互补,是真命题.否命题: 若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内 接四边形,是真命题.逆否命题:若四边形不是圆的 内接四边形,则该四边形的对角不互补,是真命题.
备课素材
2．对四种命题概念的三点认识 (1)原命题与逆命题： ①逆命题是将原命题的条件与结论互换，写原命题的逆命题时，不要交换命题的 前提条件； ②原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题． (2)原命题与否命题： ①写一个命题的否命题时，要对条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件， 而只否定结论的错误； ②原命题也可以看作是它的否命题的否命题．
(3)原命题为假命题.∵当b2-4ac<0时,一元二次方 程ax2+bx+c=0没有实数根,∴二次函数 y=ax2+bx+c的图像与x轴没有公共点.逆命题:若 二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有公共点,则 b2-4ac<0,为假命题.否命题:在二次函数 y=ax2+bx+c中,若b2-4ac≥0,则该二次函数的图像 与x轴没有公共点,为假命题.逆否命题:若二次函 数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有公共点,则 b2-4ac≥0,为假命题.

☆理论根据：原命题与其逆否命题的等价性.
课堂小结一 让我想一想
1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论
3、四种命题形式：
原命题：若p则q. 否命题：若¬p则¬q.
逆命题： 若q则p. 逆否命题： 若¬q则¬p.
课堂小结二 让我想一想
1、四种命题形式：
原命题：若p则q.
逆命题： 若q则p.
否命题：若¬p则¬q.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.
例2 指出下列命题中的条件p和结论q; (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分. 解：(1)条件p:整数a能被2整除,结论q：整数a是偶数;
(2)条件p:四边形是菱形,结论q：四边形的对角线互 相垂直且平分.
正面叙述的词语及其否定
正面词语 等于 大于＞ 小于＜ 是 都是
否定
不等于 不大于 不小于 不是 不都是
或 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 且 至少有两个 一个也没有 存在 某些
反证法
☆用反证法证明命题的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
四种命题形式：
原命题：若p则q. 否命题：若¬p则¬q.
逆命题： 若q则p. 逆否命题： 若¬q则¬p.
点拨：要正确表示四种命题首 先把条件和结论显化
四种命题间的相互关系：
原命题 若p则q
互逆
互 否
否命题 若¬p则¬q
互逆
逆命题 若q则p
互 否
逆否命题 若¬q则¬p
说明：四种命题的关系相对的
判断 一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈 述句；（2）能否判断真假。

C.[1，＋∞)
D.(－∞，－1]
解析 q：x<－1或x>2，由题意知，{x|x≥k} {x|x<－1或x>2}， 则k>2， ∴k的取值范围是(2，＋∞).
3 达标检测
PART THREE
1.“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
√C.既不充分又不必要条件
第一章 §2 充分条件与必要条件
2.3 充要条件
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 充要条件的概念 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作 p⇔q .此时，我们说，p是q的_充__分_ 必要条件 ，简称 充要条件 .
题型三 充分条件与必要条件的应用
例4 已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求
m的取值范围.
解
由 3x＋m<0 得，x<－m3 .∴p：A＝xx <－m3
.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3. ∴q：B＝{x|x<－1或x>3}. ∵p⇒q 而 q⇏p，∴A 是 B 的真子集，∴－m3 ：x－1＝ x－1； 解 ∵当 x＝1 或 x＝2 时，可得 x－1＝ x－1成立， 反过来，当 x－1＝ x－1时，可以推出 x＝1 或 x＝2， ∴p是q的充要条件. (4)p：sin α>sin β，q：α>β. 解 由sin α>sin β不能推出α>β， 反过来由α>β也不能推出sin α>sin β， ∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件. 则p是q的既不充分又不必要条件.

北大版高等数学教材答案第一章极限和连续1.1 从数列的极限到函数的极限1.1.1 数列极限的定义1.1.2 数列极限的性质1.1.3 函数极限的定义1.1.4 函数极限的性质1.1.5 无穷小与无穷大1.2 一元函数的连续性1.2.1 函数连续的定义1.2.2 连续函数的性质1.2.3 闭区间上连续函数的性质1.3 极限存在准则1.3.1 两个重要极限存在准则1.3.2 极限存在准则的应用1.4 函数的间断点1.4.1 第一类间断点1.4.2 第二类间断点1.4.3 间断点的分类1.4.4 间断点与连续性的关系第二章导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.1.1 导数的定义2.1.2 几何意义2.1.3 导数的性质2.2 导数的计算2.2.1 利用导数定义计算2.2.2 导数的四则运算2.2.3 高阶导数2.3 函数的微分与高阶导数2.3.1 函数的微分2.3.2 高阶导数的计算2.4 切线与法线2.4.1 切线的定义2.4.2 切线与导数的关系2.4.3 法线的定义2.4.4 法线与导数的关系2.5 隐函数与参数方程的导数2.5.1 隐函数的导数2.5.2 参数方程的导数2.6 可导与连续函数第三章微分中值定理与导数应用3.1 Rolle定理与Lagrange中值定理3.1.1 Rolle定理的条件与结论3.1.2 Lagrange中值定理的条件与结论3.1.3 多次应用Lagrange中值定理3.2 函数的单调性与极值3.2.1 函数的单调性与单调区间3.2.2 极值的必要条件与充分条件3.2.3 极值的判定和求解3.3 函数图形的描绘3.3.1 函数的对称性3.3.2 函数的周期性3.3.3 函数的凹凸性与拐点3.4 洛必达法则与泰勒展开3.4.1 洛必达法则3.4.2 泰勒展开3.5 导数在自然科学中的应用3.5.1 导数在物理学中的应用3.5.2 导数在生物学中的应用3.5.3 导数在经济学中的应用第四章不定积分4.1 基本积分公式4.1.1 基本积分公式的推导4.1.2 基本积分公式的应用4.2 第一换元法4.2.1 第一换元法的步骤4.2.2 第一换元法的应用4.3 分部积分法4.3.1 分部积分法的推导4.3.2 分部积分法的应用4.4 第二换元法4.4.1 第二换元法的步骤4.4.2 第二换元法的应用4.5 有理函数的积分4.5.1 有理函数的积分的一般步骤4.5.2 有理函数分解的方法4.6 函数的定义积分4.6.1 定义积分的概念4.6.2 定义积分的性质4.7 牛顿—莱布尼茨公式与定积分的应用4.7.1 牛顿—莱布尼茨公式4.7.2 定积分在曲线长度计算中的应用4.7.3 定积分在平面图形的面积计算中的应用第五章定积分5.1 定积分的定义与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 分割求和法5.2.2 定积分的换元法5.2.3 定积分的分部积分法5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在物理学中的应用5.3.2 定积分在几何学中的应用5.3.3 定积分在经济学中的应用5.4 不定积分与定积分之间的关系5.4.1 不定积分与定积分的定义5.4.2 不定积分与定积分的性质5.4.3 不定积分与定积分的计算方式...（以此类推，继续描述后续章节内容）这是根据北大版高等数学教材的章节划分及内容概要，提供了一个大纲结构。

精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。

高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。

在数学中，我们需要明确了解极限的定义。

对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。

对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。

连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。

1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。

导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。

1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。

对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。

微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。

第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。

函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。

常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。

2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。

通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。

2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。

1、最简单的幂函数 yx,y1,yx2的图像. x
2、画出 y x 3 的图像.
描点法画图的步骤： 1、列表 2、描点 3、连线
3、将 yx,y1,yx2的图像与 y x 3
x
画在同一坐标系中.
幂函数简单的性质
几何画板
观察幂函数在第一象限的图像，归纳幂 函数的简单性质
（单调性、过定点、图像间的位置等）
即 y x，这样的函数称为幂函数。
练习：下列函数中，是幂函数的有______
① y = 2x2
③ y = x－4
⑤y = x3
② y (3x)2
1 ④ y = x2
⑥ y 2x
题后反思
幂函数解析式 y x 的特征：
① x 的系数是1
②底数只能是自变量 x
简单幂函数的图像
几何画板
所以函数图象在 0, 上成上凸姿势,函数是增函数,增长
的速度越来越缓慢；
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是 什么样 子的。 她说， 姐

导数与函数的单调性教学设计教学目标：1知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。

2能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

3情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。

教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。

教学方法：“诱思探究”法 教学手段：多媒体课件等辅助手段 教学过程：一、回顾与思考 提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。

） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。

这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

二、观察与表达32()233616f x x x x =--+借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已经学过）。

让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。

老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。

（该回答很切入本节课的教学重点）。

北京大学出版社高等数学（第二版）习题1.11证明√3为无理数.证明：假设√3是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且√3=m n所以√3n=m ⟹3n2=m2所以3整除m2，即3整除m。

设m=3p，代入3n2=m2得：3n2=9p2⟹n2=3p2所以3整除n2，即3整除n。

由于3能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√3是无理数。

证毕。

2设p是正的素数，证明√p是无理数.证明：假设√p是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且因为p>0，有√p=m n所以√pn=m ⟹pn2=m2所以p整除m2，即p整除m。

设m=pq，代入pn2=m2得：pn2=p2q2⟹n2=pq2所以p整除n2，即p整除n。

由于p能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√p是无理数。

证毕。

3解下列不等式：（1）|x|+|x−1|<3解：依[命题2]有|x+y|≤|x|+|y|，且原式|x|+|x−1|<3所以|x+x−1|≤|x|+|x−1|<3所以|2x−1|<3所以（依[命题4]）−3<2x−1<3 ⟹−1<x<2（2）|x2−3|<2解：|x2−3|<2 ⟹−2<x2−3<2 ⟹1<x2<5①考虑x2>1时，有x>1或x<−1②考虑x2<5时，有−√5<x<√5综合①和②，有−√5<x<−1或1<x<√54设a与b为任意实数.（1）证明：|a+b|≥|a|−|b|证明：|a|=|a+b+(−b)|≤|a+b|+|−b|=|a+b|+|b|所以|a|≤|a+b|+|b|所以|a+b|≥|a|−|b|。

证毕。

（2）设|a−b|<1，证明|a|<|b|+1证明：因为|a−b|=|a+(−b)|≥|a|−|−b|=|a|−|b|且因为|a−b|<1所以|a|−|b|<1有|a|<|b|+1。

2013-4-1
以上推理中，“所以”后面的命题是结论。 由前提派生结论的方式，即前提与结论之间 的联系关系，称为推理形式。推理形式是舍 去具体的推理内容，由特定形式的命题排列 而成的，如上面两个例题中具有共同的推理 形式：
p→q，s→p
s→q
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按推理中表现的思维进程看，有以下 三种情况的推理，从一般到特殊的推理、 从特殊到一般的推理、从特殊到特殊的 推理。由此可将推理分为演绎推理、归 纳推理和类比推理。
p→q q→p 1 0 1 1 1 1 0 1
→ 1 1 0 1
→ 1 0 1 1
从真值表中得出：p→q≡ → ， q→p≡ →
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即原命题与逆否命题逻辑等价； 逆命 题与否命题逻辑等价。 如果用命题运算律也可证明上面的 等值式： p→q≡ ∨q≡q∨ ≡ ∨ ≡ → ， q→p≡ ∨p≡p∨ ≡ ∨q≡ →
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3．逆命题的制作
逆命题是相对于原命题而言的一种命 题形式，交换原命题的题设和结论后即 得逆命题。而当命题的条件和结论都是 合取式时，对等交换条件和结论分支命 题所得的新命题就不能称作逆命题，而 应称为偏逆命题。
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例如：讨论“等腰三角形顶角平分线也是底边的 中线和高线”的逆命题和偏逆命题。 解：如图，将原命题可写为下面的形式： （AB=AC）∧（AD 平分∠A）→ ① ② A （AD 平分 BC）∧（AD⊥BC） ③ ④ B D C
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当命题是真命题时，我们称这个命题 的值为1，当命题为假时，我们称命题 的值为0。这就给命题赋予了真值。命 题 可 用 字 母 A 、 B 、 C…… 或 p 、 q 、 r……等表示。
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高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。

第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值 1.1 导数与函数的单调性
观察图 1 表示高台跳水运动员的高度 h随时 间变化的函数 h t 4.9t 6.5t 10的图像,
2
图 2 表示高台跳水运动员的速度v随时间t变 化的函数v t h
'
t 9.8t 6.5的图像.运动员
探究点2
y
利用导数讨论函数单调性
单调函数的图像特征
y
f ( x ) 0
o a b x o a b
f ( x ) 0
x
若 f(x) 在G上是增加的或减少的则G称为f(x)的单调
区间.
用单调性定义及函数图像讨论函数单调性虽然可行，
但比较麻烦，利用导数讨论函数单调性更方便.
思考：观察图中的函数y=f(x)的图像，对f′(2)， f′(3)，f(3)-f(2)与0的大小进行排序. 提示：f′(2)，f′(3)是x分别为 2，3时对应图像上点的切线斜率，
应地v（t）=
h(t ) >0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减小，即h（t）在定义域上是减少的，相 应地v（t）=
h(t ) <0.
这种情况是否具有一般性呢？
1.正确理解利用导数判断函数单调性的原理.
2.会利用导数判断函数单调性，并求函数单调区间.
（重点）
3. 探索导数特征与函数性质之间的关系.（难点）
加的；
当x∈(-∞,0)时, f (x) 2x 0,
函数y=x2在区间(-∞,0)上是
o
1 1 -1
x
减少的.
思考：通过上面三个实例思考导函数的符号与函数的单 调性之间具有什么关系？ 提示：如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数_______ f (x) 0 , 则在这个区间上，函数y=f(x)是_______; 增加的 个区间上，函数y=f(x)是_______. 减少的

北大本科生高等数学教材高等数学作为一门基础学科，对于理工类本科生而言，具有极其重要的地位。

北大本科生高等数学教材，作为北大为学生量身定制的教材，旨在全面系统地讲解高等数学的各个知识点，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

第一章: 极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 极限的定义1.1.2 极限的性质1.1.3 两个重要极限1.2 函数的连续性与间断点1.2.1 点的分类1.2.2 连续函数的性质与判定1.2.3 间断点与连续性1.3 无穷小量与无穷大量1.3.1 无穷小量的概念与性质1.3.2 无穷大量的概念与性质1.3.3 无穷小量的比较第二章: 导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.1.3 导数的计算方法2.2 微分与微分中值定理2.2.1 微分的概念与性质2.2.2 微分中值定理的原理与应用 2.2.3 函数的单调性与判定2.3 高级导数与泰勒公式2.3.1 高级导数的定义与计算2.3.2 泰勒公式的原理与应用2.3.3 高级函数的性质与判定第三章: 定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的计算方法3.1.3 定积分的应用3.2 不定积分与牛顿-莱布尼茨公式3.2.1 不定积分的定义与计算3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式的原理与应用 3.2.3 不定积分的常见形式与求解技巧3.3 定积分与不定积分的关系3.3.1 定积分与不定积分的联系3.3.2 定积分与不定积分的互相转化3.3.3 定积分与不定积分的应用领域第四章: 多元函数及其微分学4.1 二元函数的极限与连续性4.1.1 二元函数的极限的定义与性质4.1.2 二元函数的连续性与判定4.1.3 二元函数的多个变量极限4.2 多元函数的偏导数与全微分4.2.1 多元函数的偏导数的定义与计算 4.2.2 全微分的概念与性质4.2.3 多元函数的可微性与判定4.3 隐函数与参数方程4.3.1 隐函数的存在定理与求导法则 4.3.2 参数方程的性质与应用4.3.3 隐函数与参数方程的相互转化第五章: 重积分与曲线积分5.1 二重积分的概念与性质5.1.1 二重积分的定义5.1.2 二重积分的计算方法5.1.3 二重积分的应用5.2 三重积分的概念与性质5.2.1 三重积分的定义5.2.2 三重积分的计算方法5.2.3 三重积分的应用5.3 曲线积分与曲面积分5.3.1 曲线积分的定义与计算5.3.2 曲面积分的定义与计算5.3.3 曲线积分与曲面积分的应用第六章: 无穷级数与傅里叶级数6.1 数项级数的概念与性质6.1.1 数项级数的定义与收敛性6.1.2 数项级数的判定方法6.1.3 数项级数的应用6.2 幂级数的概念与性质6.2.1 幂级数的收敛区间与收敛域6.2.2 幂级数的求和计算6.2.3 幂级数的应用6.3 傅里叶级数与傅里叶变换6.3.1 傅里叶级数的概念与性质6.3.2 傅里叶级数的计算方法6.3.3 傅里叶级数的应用通过北大本科生高等数学教材的学习，学生将全面了解高等数学的各个知识点，并能运用数学思维和解决问题的能力进行的深入研究。

班级姓名层次1.1 命题编写人：刘瑞华审核：高二数学组寄语：废铁之所以能成为有用的钢材，是因为它经得起痛苦的磨练。

一.学习目标：1.理解命题的概念，能判断命题的真假；2.能把命题写成若P 则 q 的形式3.会分析四种命题的相互关系二. 学习重点： 1. 判断命题的真假；2.四种命题的概念及相互关系.学习难点： 1. 把命题写成若 P 则 q 的形式，2.四种命题的相互关系 .三.知识链接：1、什么样的语句是命题？什么样的语句不是命题？。

2、你能分别举出真命题、假命题的例子吗？。

3、一般地，一个命题由和组成。

数学中，通常把命题表示为的形式，其中是条件，是结论。

4 写出命题：“若直线 a 与直线 b 没有公共点则这两条直线平行”的逆命题：。

四.过程：（认真阅读课本 3-5 页）完成下列问题。

下面给出两个命题，请分别写出它们的逆命题，并仔细分析条件和结论，讨论它们之间有什么联系.若AB ，则 sin A sin B .①若AB ，则 sin A sin B .②命题①的逆命题是若 sin A sin B ，则AB③命题②的逆命题是若 sin A sin B ，则AB④分析这四个命题的条件与结论，容易发现，在命题①与命题②中，命题②的条件是命题①的条件的否定，命题②的结论是命题①的结论的否定，我们把这样的两个命题叫做，若把命题①叫作原命题，则命题②就叫作原命题的。

在命题①与命题④中，命题④的条件是命题①的结论的否定，命题④的结论是命题①的条件的否定，我们把这样的两个命题叫作.若把命题①叫作原命题，则命题④叫作原命题的.概括的说，设命题①为原命题，那么这个例子中，原命题与逆否命题都是，而和都是假命题 . （思考：你能得到什么结论呢？）五. 当堂检测：1.阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）3 12；（3）3 12吗？（4）8 是 24 的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子 .2.将下列命题改写成“若 p ，则 q ”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等 .3.写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）若x2y 20 ，则x, y全为0.（2）若ab ，则ac b c .（3）相切两圆的连心线经过切点.六.作业布置：1.有下列四个命题：①“若 x y 0 ,则x, y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若 q 1 ,则 x22x q0 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．②③C．①③D．③④2．设原命题：若ab 2，则a, b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题七.小结反思：四种命题的相互关系图：你本节课学到了什么？原命题互逆逆命题若 p 则 q互若 q 则 p否为互互逆否为逆否否互否命题逆否命题若┐q则┐p 若┐p则┐q互逆因为我们就这么一辈子，几十年的光景，无法重来，开心也好，不开心也罢，怎么都是活着，那么何不让自己开开心心的过好每一天呢！生活虽辛苦，但我们一定要笑着过，以积极乐观的心态让日子过得有滋有味，这样才不白来人世走一遭，才会无怨无悔。

数列1．1 数列的概念预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1）什么是数列？数列的项指什么？(2)数列的一般表示形式是什么？(3)按项数的多少，数列可分为哪两类？（4）数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？错误!1．数列的概念（1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列．（2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项．(3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项;a n是数列的第n项，也叫数列的通项．[点睛］(1）数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的,即确定的数在确定的位置．(2）项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．（3){a n｝与a n是不同概念：｛a n}表示数列a1,a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列｛a n｝中的第n项．2．数列的分类项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．3．数列的通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n＝f(n)，那么这个式子叫作数列｛a n}的通项公式．［点睛］（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集｛1，2，3，…,n｝为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法．［小试身手] 1．判断下列结论是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）同一数列的任意两项均不可能相同．（ )(2）数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．（ )(3）数列中的每一项都与它的序号有关．（ ）答案：（1）× （2）× （3)√2．已知数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝1－－1n ＋12,则该数列的前4项依次为( )A ．1,0，1，0B ．0，1，0，1C.错误!，0，错误!,0 D ．2,0,2，0解析：选B 把n ＝1,2，3，4分别代入a n ＝错误!中，依次得到0,1,0，1。

大一高数上册知识点总结北大版大一高数上册知识点总结（北大版）大学高数是大学数学的一门重要基础课程，也是理科、工科等专业学生必修的课程之一。

北大版的大一高数上册涵盖了从函数、极限、导数、微分应用、不定积分到定积分等多个方面的内容。

本文将对这些知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握课程要点。

1. 函数与极限函数是数学中最基本的概念之一，可以用来描述数与数之间的关系。

在高数上册中，我们学习了各种类型的函数，如常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

同时，我们也需要了解函数的性质，如定义域、值域、奇偶性、周期性等，并掌握函数的图像与性质之间的关系。

极限是函数计算中的重要概念，通过极限可以研究函数在某个点附近的变化趋势。

我们学习了数列极限和函数极限，包括数列极限的定义、性质和计算方法，以及函数极限的定义、左极限、右极限、无穷极限等知识点。

在掌握了极限的基本概念后，我们还学习了一些重要的极限定理，如夹逼定理、无穷小量的性质等。

2. 导数与微分应用导数是函数的变化率，描述了函数在某一点的瞬时速度。

通过导数，我们可以研究函数的增减性、极值、凹凸性等性质。

在高数上册中，我们学习了导数的定义、求法和性质，如导数的四则运算、常用函数的导数公式等。

我们还学习了一些重要的导数应用，如速度、密度、切线、法线等概念，并通过实际问题进行了相关的计算与分析。

微分应用是将微分学的知识应用于实际问题中。

我们学习了函数的微分形式、微分中值定理、泰勒公式等内容。

通过这些知识，我们可以进行函数近似、函数极值判断、误差估计等操作。

同时，我们还学习了一些实际问题的微分应用，如最优化问题、曲线的切线与法线、角度的微分等。

3. 不定积分与定积分不定积分是求函数的原函数的操作，也称为反导数运算。

我们学习了不定积分的定义、性质和求法，如换元法、分部积分法、有理分式的积分等。

通过不定积分，我们可以求出函数的原函数表达式，并计算出定积分的结果。

[解] 设直线l₁, l₂,₃, l₄ 的斜率分别为k₁,
k₂,k₃,k₄.
∵直线l₁过点P(3,2) ,Q₁ (一2,一1),
∵直线l₂过点P(3,2),Q₂(4, 一 2),
∵直线l₃过点P(3,2),Q₃(3,2),
∵直线l₄过点P(3,2),Q₄(3,0) 且P(3,2),Q₄(3,0) 的横坐标相
知识点四 斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 (范围)
斜率 (范围)
α=0° k=0
O
C
<90°
k>
α= a=90° 90°<α<180
不存在
k<0
知识点五 直线的方向向量
定义：与直线l平行的非零向量d 叫作直线l的一个方向向量. 已知直线上的点A(x₁,y₁) 和 B(x₂,y₂) 是直线1上不同的两点(x₁≠x₂且 y₁≠y₂), 则直线的方向向量为(x₂—x₁,y₂-y₁) 或(1,k)
三点，这三点是否在同一
∴经过A,B 两点的直线的斜
经过A,C 两点的直线的斜率 又∵直线AB与AC经过同一点A, ∴A,B,C 三点在同一条直线上.
, ∴kAB=kAC ·
通法提炼 已知三点A,B ,C, 判断是否共线，只要直线AB,BC,AC 中任意两条直线 的斜率相等即可(斜率存在时).解题过程中，要注意说明两条直线经过同一 点.
或
9 求得a≤
—1或 故选D.
达标小练
检测篇 达标小练
1.已知直线l的倾斜角a=30°, 则其斜率k 的值为( B )
A.0
.
C.3
D.1
故应选B.
2.若经过A(2,1),B(m,3)
的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是