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运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。
其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。
本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。
一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。
通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。
整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。
与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。
二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。
具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。
1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。
然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。
2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。
通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。
3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。
通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。
西南交《管理运筹学B》在线作业二
在图论中，通常用点表示（）
A:研究对象
B:连接各边
C:研究对象之间一般关系
D:研究对象之间特定关系
参考选项：A
线性规划问题的标准形式中，所有变量必须（）
A:大于等于零
B:小于等于零
C:等于零
D:自由取值
参考选项：A
以下各项中不属于运输问题的求解程序的是（）
A:分析实际问题，绘制运输图
B:用单纯形法求得初始运输方案
C:计算空格的改进指数
D:根据改进指数判断是否已得最优解
参考选项：B
数学模型中，“s·t”表示（）
A:目标函数
B:约束
C:目标函数系数
D:约束条件系数
参考选项：B
求解需求量小于供应量的运输问题不需要做的是（）
A:虚设一个需求点
B:令供应点到虚设的需求点的单位运费为0
C:取虚设的需求点的需求量为恰当值
D:删去一个供应点
参考选项：D
运筹学运用数学方法分析与解决问题，以达到系统的最优目标。
可以说这个过程是一个（）
A:解决问题过程
B:分析问题过程
C:科学决策过程
D:前期预策过程
1。
课程实验大纲《运筹学B》课程实验大纲课程名称：运筹学英文名称：Operational Research课程代码：5037700一、实验总学时（课外学时/课内学时）： 24学时总学分：3学分必开实验个数：4个选开实验个数：4 二、实验的地位、作用本课程是管理类专业的一门主要课程，是一门应用科学，强调科学性和定量分析，它广泛应用现有科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
要求学生运用来自企业和生活的实际案例，掌握建立数学模型的方法，用Excel电子表格对数学模型进行求解，培养学生分析问题的思想方法和提炼数学模型的技巧，运用运筹学方法解决管理实际问题的能力。
三、基本原理及课程简介《运筹学》是管理类专业的一门主要课程，是一门应用科学，强调科学性和定量分析，它广泛应用现有科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据。
要求的先修课程主要有：高等数学、线性代数、概率论。
《运筹学》实验的主要内容包括：线性规划；灵敏度分析；运输问题和指派问题；网络最优化问题；项目管理；整数规划；非线性规划；目标规划；决策分析等。
四、实验的目的本课程实验的目的有以下几点：1、帮助学生获得管理科学的基本知识，了解管理科学发展的前沿，掌握研究管理科学知识的一般方法。
2、引导学生运用来自企业和生活的实际案例掌握建立数学模型的方法，用Excel电子表格对数学模型进行求解。
3、培养学生分析问题的思想方法和提炼数学模型的技巧，运用运筹学方法解决管理实际问题的能力。
五、实验基本要求学生必须熟悉应用EXCEL软件的使用；必须能够运用EXCEL软件对已知数据进行整理分析，根据实际的管理情况，对公司面临的一些进行简单的决策问题进行分析，在以上基础上能够建立问题的数学建模，并运用所学的运筹学知识对模型进行求解，最终得到结果，给管理决策提供相关对策建议。
六、实验项目与内容七、考核方式与评分办法所有实验以小组为单位，以PPT演讲的形式对老师和所有同学演示，并以电子文档形式上交演示稿及建模过程。
西南交通⼤学管理运筹学试题（C）管理运筹学试题（C）⼀．单项选择（将唯⼀正确答案前⾯的字母填⼊题后的括号⾥。
正确得1分，选错、多选或不选得0分。
共15分）1．线性规划⼀般模型中，⾃由变量可以⽤两个⾮负变量的（）代换。
A．和B．差C．积D．商正确答案：A: B: C: D:2．满⾜线性规划问题全部约束条件的解称为（）A．最优解B．基本解C．可⾏解D．多重解正确答案：A: B: C: D:3．当满⾜最优检验，且检验数为零的变量的个数⼤于基变量的个数时，可求得（）A．多重解B．⽆解C．正则解D．退化解正确答案：A: B: C: D:4．原问题与对偶问题的最优（）相同。
A．解B．⽬标值C．解结构D．解的分量个数正确答案：A: B: C: D:5．运输问题中，m+n-1个变量构成基本可解的充要条件是它不含（）A．松弛变量B．多余变量C．闭回路D．圈正确答案：A: B: C: D:6．只有⼀部分变量限制为整数的线性规划称为（）A．混合整数规划B．局部整数规划C．部分整数规划D．0—1规划正确答案：正确答案：A: B: C: D: 7．有向图的基本图⼀定是（）A．⽆向图B．有向图C．完备图D．有向树正确答案：A: B: C: D:8．树T的任意两个顶点间恰有⼀条（）A．边B．初等链C．欧拉链D．回路正确答案：A: B: C: D:9．若运输⽹络G中不存在流f的增流链，则称流f为G （）A．最⼩流B．零流C．平凡流D．最⼤流正确答案：A: B: C: D:10．若Q为f增流链，则Q中所有后向边都为f （）A．零边B．正边C．饱和边D．对边正确答案：A: B: C: D:11．对G上任⼀流f和任⼀割K，⼀定有（）A．Valf=CapK B．Valf≥CapK C．Valf≤CapK D．⽆法⽐较正确答案：A: B: C: D:12．若T*为G的⽣成树，且有W（T*）=min{W（T）|T为G的⽣成树}，则称T*为G的（）A．⽣成树B．最⼩⽣成树C．根树D．最⼩边集正确答案：A: B: C: D:13．树T的任意两个顶点间恰有⼀条（）A．回路B．路径C．初等链D．根正确答案：A: B: C: D:14．若是否采⽤j项⽬的0-1变量为xj,那么J个项⽬中⾄多只能选择⼀个项⽬的约束⽅程为（）D．⽆法表⽰正确答案：A: B: C: D:15．若K*为满⾜下列条件的割，CapK*=min{CapK |K为G的⼀个割}，则称K*为G的（）A．最⼩割B．最⼩流C．最⼩值D．最⼩费⽤正确答案：A: B: C: D:⼆．多项选择题（每题⾄少有⼀个答案是正确的。
运筹动 态 规 划学Operations Research西南交通大学经济管理学院西南交通大学经济管理学院需要倒推求解的问题 拾火柴游戏: 桌子上放30根火柴, 每人一次可拾起1－ 3根, 谁拾起最后一根火柴谁输, 如果你先选择, 如何 保证你能赢得游戏？ 29－25－21－17－13－9－5－1 买牛奶：给你4升和9升两个瓶子，让你买回6升牛 奶，如何满足这一要求？ 9升: 6－6－9－0－1－1－5－5－9 4升: 0－4－1－1－0－4－0－4－0西南交通大学经济管理学院静态的优化方法:线性规划、非线性规划-----静态性，叙述和 解决问题都是征对某一时刻发生的情况，与时间的推移无关 另一类问题：包含有与时间相关联的变量----多阶段决策过程 最优性原理 一系列相互联系的单阶段问题 状态 决策 状态 1 状态 决策 状态 k 状态 决策 状态 n所有决策构成一个决策序列，多阶段决策过程目的是求使 整个过程达到最好活动效果的决策序列。
一个决策序列是在 变化的状态中产生出来的，这种规划叫动态规划西南交通大学经济管理学院动态规划的基本概念 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数 学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出; 1957年贝尔曼发表动态规划方面的第一部专著“动 态规划”, 标志着运筹学的一 个新分支的创立。
动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简 单的、离散的单阶段决策问题，采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题达到求解整个问题目的； 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶段的决策 目标，还要兼顾整个决策过程的整体目标；从而实 现整体最优决策。
西南交通大学经济管理学院动态规划的特点 动态规划没有准确的数学表达式和精确算法, 它强 调具体问题具体分析, 依赖分析者的经验和技巧。
与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤其在处理非 线性、离散性问题时有其独到的特点。
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每个线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题。
简单考虑如下的生产分配问题我们有下面的对偶问题：该问题的任意一个可行解对应的目标函数值都不小于原问题的目标函数值，但是两个问题的最优目标函数值（有限）相同。
一般而言：1、每个对偶变量对应原问题的一个约束条件2、原问题是等式约束则对偶变量无不等式约束（非负约束）3、原问题是不等式约束则对偶变量有不等式约束4、原问题变量和对偶问题约束条件同样具有如上规律任何原问题和对偶问题之间都存在下述相互关系：弱对偶性：原对偶问题任何可行解的目标值都是另一问题最优目标值的界（推论：原对偶问题目标值相等的一对可行解是各自的最优解）强对偶性：原对偶问题只要有一个有最优解，另一个就有最优解，并且最优目标值相等互为对偶的线性规划问题解之间关系有如下四种：原问题与对偶问题之间存在互补松弛性：一般形式的线性规划互补松弛定理：经济学中有所谓影子价格的概念：如果增加某些约束条件的数值，原问题的最优目标值应该增加，增加单位约束使得原问题最优值的增加量为该约束条件的影子价格。
影子价格可以由对偶线性规划问题清楚地描述：对偶单纯形法：当线性规划问题中地某个约束条件或价值变量中含有参数时，原问题称之为参数线性规划，它有如下的处理方法：1）固定λ的数值解线性规划问题2）确定保持当前最优基不变的λ的区间3）确定λ在上述区间附近的最优基，回2）如以下问题：在实际问题中，许多变量以及它们的约束条件往往是离散的，或者说限定在整数域上，这便引入了整数线性规划的概念。
具体而言，整数线性规划包含纯整数线性规划（所有变量是整数变量）、混合整数线性规划（同时包含整数和非整数变量）、0-1型整数线性规划（变量等于0或1）去除整数规划的整数约束后的问题称为其松弛问题。
一般情况，原问题的解并不一定是其松弛问题的最优解附近的整数解，例如：通常的解决办法是在松弛问题的基础上出发，不断地引入整数的约束条件，从而求出整数规划的解。
