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运筹学整数规划与分配问题

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运筹学-12分配问题

运筹学-12分配问题

具体求解过程(6)
• 4.没有找到m个独立的 “0”:
• (1)找最小直线覆盖所有 “0”
• 对没有打的行画横线; • 所有打的列画上垂线. • 找到了覆盖矩阵所有零
元素的最小直线数.

(0) 8 2 5 11 (0) 5 4 2 3 (0) 0 0 11 4 5
O3 26 17 16 19 0
增加一个虚拟工作T5
O4 19 21 23 17 0 O5 17 18 19 17 0
每一个工人干 这项工作需 要的时间比其他工作所需时 间要多的多，为什么？
O2下岗，
O1T1, T5 , O3T3 , O4T4 , O5T2 ,93-27=66
人员少，工作岗位多的情况P.125/4.5
• 如该列没有零元素或有 两个以上零元素(划去的不 计在内),则专下一列,直到 最后一列为止.
0 8 2 5 11 0 5 4 2 3 0 0 0 11 4 5
(0) 8 2 5 11 (0) 5 4 2 3 0 0 0 11 4 5 .
具体求解过程(4)
乙
总时间：101
丙
•加一个虚拟人员戊，
39 34
38 27
26 28
20 40
33 32
其效率为55（最大） 丁 24 42 36 23 45
甲B;乙D;丙C;丁A;戊E 戊 0 0
0
0
0
总时间：165-55=101
人员少，工作岗位多的情况P.125/4.5

25 29 31 42 37 25 0 4 6 17 12 0 4 5 17 7
• 即做2.找到m个独立
“0”

运筹学中的整数规划问题分析

运筹学中的整数规划问题分析

运筹学中的整数规划问题分析运筹学是运用数学和定量分析方法，通过对系统的建模和优化，来解决实际问题的学科。

其中整数规划是运筹学中的一个重要分支，它在许多实际情况中得到广泛应用。

本文将对整数规划问题进行分析，并探讨其解决方法与应用领域。

一、整数规划问题定义及特点整数规划是一类线性规划问题的扩展，其目标函数和约束条件中的变量取值限定为整数。

通常，整数规划问题可以形式化表示为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t.a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z为目标函数值，x₁, x₂, ..., xₙ为待求解的整数变量，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数。

整数规划问题的特点在于整数约束条件的引入，使其解空间变得有限，增加了问题的复杂性。

与线性规划问题相比，整数规划问题更接近实际情况，能够更准确地描述和解决很多实际问题。

二、整数规划问题的解决方法解决整数规划问题的方法主要有以下几种：穷举法、剪枝法、分支定界法、动态规划法等。

具体使用哪种方法需要根据问题的规模和特点来确定。

1. 穷举法是最简单直观的方法，通过枚举搜索整数解空间中的每一个可能解来寻找最优解。

然而，由于整数解空间往往非常大，这种方法在实际问题中往往是不可行的。

2. 剪枝法是一种通过对解空间进行剪枝操作，减少搜索空间的方法。

通过合理选择剪枝条件，可以避免对明显无解的解空间进行搜索，从而提高求解效率。

3. 分支定界法是一种将整数规划问题不断分解为子问题，并对子问题进行界定的方法。

通过不断缩小问题规模，并计算上下界确定最优解的位置，可以有效地求解整数规划问题。

运筹学复习考点

运筹学复习考点
状态值，各条弧代表了可行的方案选择。 • 正确。
整理课件
59
• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
整理课件
57
• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
整理课件
60
•
整理课件
61
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整理课件
62
5 3 6 -6 0
0
801001
5
14 1 2 0 0 0
-6
4 0 1 -1 1 0

割平面法-运筹学整数规划

割平面法-运筹学整数规划

第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1

运筹第四章整数规划与分配问题

运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。

运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题

运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题

整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。

运筹学分配问题建模

运筹学分配问题建模

运筹学分配问题建模
运筹学分配问题是指在特定的条件下，如何合理地分配资源以达到最优化的解决方案的问题。

这类问题可以用数学模型来描述和解决。

在运筹学中，分配问题通常涉及到有限的资源和不同的需求或约束条件。

在建模时，可以使用线性规划、整数规划、动态规划或网络流等方法来求解。

以一个简单的分配问题为例，假设有三个项目（A、B、C）需要分配有限的资源（如人力、时间或资金）。

每个项目会产生不同的效益（如收益或效率），同时存在一些约束条件（如人力资源的限制或时间的限制）。

我们的目标是在满足约束条件下，最大化总体效益。

为了建模这个问题，我们可以定义以下变量和参数：
令x1、x2、x3分别表示项目A、B、C的分配比例；
令c1、c2、c3分别表示项目A、B、C的效益；
令r表示可用资源的数量；
令a1、a2、a3分别表示项目A、B、C所需资源的数量。

然后，我们可以建立以下数学模型：
目标函数：maximize Z = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3
约束条件：a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 <= r
x1 + x2 + x3 = 1
x1, x2, x3 >= 0
这个数学模型可以被解释为：我们要最大化总体效益（Z），
但同时要满足资源约束条件（第一个约束条件），并且项目的分配比例之和为1（第二个约束条件）。

当我们求解这个数学模型时，可以得到最优的分配比例，从而实现最大化总体效益。

这只是一个简单的示例，实际的运筹学分配问题可能更加复杂，可以根据具体情况进行进一步的建模和求解。

运筹学基础-整数规划(2)

运筹学基础-整数规划(2)

【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1

运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)

运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next

运筹学 第4章 整数规划与分配问题

运筹学 第4章 整数规划与分配问题

匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356

运筹学 整数规划( Integer Programming )

运筹学 整数规划( Integer Programming )
组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题 是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目 标值是分枝问题的下界。
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1

运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)

运筹学习题解答(chap4 整数规划与分配问题)

第四章 整数规划与分配问题一、建立下列问题的数学模型1、P143, 4.1 利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件 (a) 221≤+x x 或53221≥+x x ； (b) x 取值0,3,5,7中的一个； (c) 变量x 或等于0，或50≥； (d) 若21≤x ，则12≥x ，否则42≤x ； (e) 以下四个约束条件中至少满足两个：6225433121≥+≥≤≤+x x x x x x ，，，。

解：(a) 设⎩⎨⎧=否则。

，个条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。

则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≥++≤+1y y My -5x 3x 2My 2x x 21221121(b) 设⎩⎨⎧=≠=ix i x y i ,1,0，7,5,3,0=i ，则原条件可表示为⎩⎨⎧=++++++=1753075307530y y y y y y y y x(c) 设⎩⎨⎧≥==50,10,0x x y ，则原条件可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥≤0)1(50x M y x yM x(d)⎩⎨⎧=否则。

，组条件起作用；第1i ,0y i （i=1,2）,M 为任意大正数。

则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++≤->-≥+≤.1,4,2,1,22122211211y y My x My x My x My x (e)设⎩⎨⎧=个条件不成立第个条件成立第i ,1i ,0y i ，4,3,2,1i =，则原条件可表示为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+++-≥+-≥+≤+≤+2y y y y My 6x x My 2x M y 2x M y 5x x 43214433321121 2、P143, 4.2 某钻井队要从以下10个可供选择的井位确定5个钻井探油，目的是使得总的钻探费用最小。

若10个井位代号为101S ,...,S ，相应的钻探费用为101C ,...,C ，并且井位的选择要满足下列条件：（1）或选择1S 和7S ，或选择8S ；（2）选择了3S 或4S 就不能选择5S ，反过来也一样； （3）在10962S ,S ,S ,S 中最多只能选两个。

运筹学 第四章 整数规划与分配问题

运筹学 第四章 整数规划与分配问题

第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
逻辑变量的应用
沈阳农业大学
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冯大光制作
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
沈阳农业大学
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冯大光制作
(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
沈阳农业大学
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冯大光制作
如效率 矩阵为

运筹与优化— 整数规划建模方法

运筹与优化— 整数规划建模方法

j 1
n
s.t
i1
xij
1,
j V
(2)
xij S 1,
S V , 2 S n 1
(3)
iS jS
xij 0, 1
二、典型整数规划问题建模方法
3、指派问题
混合游泳接力接力队的选拔
甲
乙
丙
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
57”2 1’06” 1’06”4 53”
14
二、典型整数规划问题建模方法
Page 15
• 记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距 离dij已知。设
xij
1 , 0,
若i, j 在回路路径上
其他
则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：
nn
min Z
dij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i V
(1)
5
应用统计 微积分；线性代数
6
计算机模拟
计算机编程
7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解:
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门 课程，总学分21（注意：最优解可能不唯一！）
约束条件：先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
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max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
• 用单纯形法解得：x1 4.8, x2 0, z 96
一、概述
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?
ST :
? ?
5x1 ? 4x2 ? 24 2x1 ? 5x2 ? 13
?? x1，x2 ? 0，且为整数
能否先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性 规划来求解，当解为非整数的时候可以用“四舍 五入”或“凑整”方法寻找最优解？
?对于变量取值很大时，用上述方法得到的解 与最优解差别不大；但当变量取值较小时，得 到的解就可能与实际整数最优解差别很大。 ?当问题规模较大（决策变量较多）时，用 “凑整”方法来算工作量很大。
(
j
?
1,?
,7)
?
Ax ? b
ST
:
? ?
x
j
?
1或0, (
j
?
1,? , n)
0-1整数规划一般都 是纯整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.3 整数规划的作用
?0-1整数规划在管理领域具有重要作用
1. m个约束条件中只有k个起作用； 2. 约束条件的右端项可能是r个值(b1, b2, … b r)
译成俄文
4
15
13
9
人员 任务
译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(2)
甲乙丙丁
?? 2 10 9 7 ??
2 15 13 4
10 4 14 15
9 14 16 13
7 8 11 9
[aij
]
?
?15 ????143
4 14 15
14 16 13
8? 191????
第四章 整数规划与分配问题
?对于线性规划问题，最优解可能是分数或小数。 但是对于某些问题，会要求解答必须是整数 （称为整数解）。
?对于所求解是机器的台数、完成工作的人数、装货 的车数、集装箱数量等；
?对于一些决策变量必须取 Boolean 值时，如要不要 在某地建工厂，可选用一个逻辑变量 x，令x=0表示 不在该地建厂， x=1表示在该地建厂。
?效指派率第矩阵j人用去[完aij]成表第示i。项a任ij 务> 时0 (的i,j效=率1,(2时,…间,n、)表成示 本等)。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(3)
?1，分配第 i 个人去完成第 j 项任务 xij ? ??0，不分配第 i 个人去完成第 j 项任务
?在东区，由 A1，A2，A3三个点中至多选两个； ?在西区，由 A4，A5两个点中至少选一个； ?在南区，由 A6，A7两个点中至少选一个。
?如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。
?问：应如何选址，可使年利润为最大？
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
例：某线性规划问题最优解为(x1, x2) = (4.6, 5.5)，用凑整法需要比较与上述数据最接近的 几种组合：(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6) ， 共四种组合。若问题中有10个整数变量，则解 组合达到210 = 1024个整数组合。且最优解未 必在这些组合中。
例：求整数规划问题的最优解 max z ? 3x1 ? 2x2
中的某一个； 3. 两组条件中满足一组； 4. 用以表示含固定费用的函数。
第四章 整数规划及分配问题
第二节 分配问题与匈牙利法
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(1)
?指派n个人去完成n项任务，使完成 n项任 务的总效率最高(或所需总时间最少)，这 类问题称为指派问题或分配问题。
? 安排工作（派工）：有n项加工任务，怎样 指派到n台机床上完成；
解：设x j
?
??1 ?
??0
选Ai 不选Ai
0-1整数规划的一般形式:
MaxZ ? C T X
MaxZ ? c1x1 ? c2 x2 ? ? ? c7 x7
?b1 x1 ? b2 x2 ? ? ? b7 x7 ? B
ST
:
? ??x1?x4?源自?x2 x5? ?
x3 1
?
2
? ?
x6
??
? xj
x7 ? 1 ? 1或0,
? 有n条航线，怎样指定n艘船去航行的；
? ……
二、分配问题与匈牙利法
2.1 分配问题(2)
?如果完成任务的效率表现为资源消耗，考 虑的是如何分配任务使得目标函数极小化；
?如果完成任务的效率表现为生产效率的高 低，则考虑的是如何分配使得目标函数最 大化。
?在分配问题中，利用不同资源完成不同计 划活动的效率，通常用表格形式表示为 效 率表，表格中数字组成效率矩阵。
?2x1 ? 3x2 ? 14
? ?
x1 ? 0.5x2 ? 4.5
? ?
x1
,
x2
?
0,
且均取整数值
解：用图解法得最优解为（3.25 , 2.5）
如果不考虑整数约束（称为整数规划
问题的松弛问题）
(4,1)
凑整法求解：比较四个点（4 , 3）, （4 , 2）,（3 , 3）,（3 , 2），前三个 都不是可行解，第四个虽然是可行解，
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
?例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们
将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间
如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时
间最少?
人员
任务
甲
乙
丙
丁
译成英文
2
10
9
7
译成日文
15
4
14
8
译成德文
13
14
16
11
?如果所有的决策变量、技术系数和右端项都 是非负整数，就称为纯整数规划。
?如果所有的决策变量都是非负整数，技术系 数和右端项为有理数，称为全整数规划。
?如果仅一部分决策变量为整数，则称为混合 整数规划。
?如果变量取值仅限于0或1，称为0-1整数规划。
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
?某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
但 z=13 不是最优解。
最优解为（4 , 1）， z*= 14。
主要内容
一、整数规划的特点及作用 二、分配问题与匈牙利法 三、分枝定界法 四、应用举例
第四章 整数规划及分配问题
第一节 整数规划的特点及作用
一、整数规划的特点及作用
1.1 整数规划的概念
?整数规划(Integer Programming) ：决策变 量要求取整数的线性规划。
? 这时，分数或小数的解就不合要求，我们称这 样的问题为整数规划。
例：某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、 重量、可获利润以及托运所受限制如下表：
问两种货物各托运多少箱，可使获得的利润为最大？
货物
甲 乙
托运 限制
体积 米3/箱
5 4
24
重量 利润 百斤/箱 百元/箱
2
20
5
10
13
MaxZ ? 20 x1 ? 10x2