11.2第1课时 正弦定理(1)-(新教材)苏教版(2019)高中数学必修第二册课件

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。

四队中学教案纸 （备课人： 吴利霞 学科： 高二数学 ）备课时间教学课题教时计划1教学课时 1教学 目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；重点 难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程 一、问题情境在直角三角形中的边角关系是怎样的？这种关系在任意三角形中也成立吗？ 二、互动探究 1．正弦定理的推导（1）在直角三角形中：c a A =sin ,1sin ,sin ==C CBB ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=cC c sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABCS ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==． 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D∴R CD D aA a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，Cc sin R 2=证明三：（向量法）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcOB CAD。

教案：高中数学——正弦定理、余弦定理及应用教案编写者：教学目标：1. 理解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 掌握正弦定理、余弦定理的应用方法；3. 能够运用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

教学重点：1. 正弦定理、余弦定理的定义及几何意义；2. 正弦定理、余弦定理的应用方法。

教学难点：1. 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及练习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生回顾正弦、余弦函数的定义及图像；2. 提问：如何利用三角函数解决几何问题？引出正弦定理、余弦定理的学习。

二、正弦定理（15分钟）1. 讲解正弦定理的定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等；2. 解释正弦定理的几何意义：三角形任意一边的长度等于这一边所对角的正弦值乘以对边的长度；3. 举例说明正弦定理的应用方法，如已知三角形两边和一边的对角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握正弦定理的应用。

三、余弦定理（15分钟）1. 讲解余弦定理的定义：在一个三角形中，各边的平方和等于两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍；2. 解释余弦定理的几何意义：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍；3. 举例说明余弦定理的应用方法，如已知三角形两边和它们的夹角，求第三边的长度；4. 引导学生通过PPT上的例题，理解并掌握余弦定理的应用。

四、应用练习（15分钟）1. 给学生发放练习题，要求学生在纸上完成；2. 学生在纸上完成练习题，教师巡回指导；3. 选取部分学生的作业进行讲解和点评。

1. 回顾本节课学习的正弦定理、余弦定理的定义及应用；2. 强调正弦定理、余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生课后复习巩固，做好预习准备。

教学反思：本节课通过讲解正弦定理、余弦定理的定义及几何意义，让学生掌握了这两个重要定理的应用方法。

正弦定理、余弦定理一、知识回顾1.三角形内角和：2.正弦定理： ；变形① ； 变形② ；变形③ .3.余弦定理： ； 变形 .4.三角形面积公式：二、基础练习1.在△ABC 中,AB=4,BC=3,AC=37,则△ABC 中最大角的大小为2.在△ABC 中,BC=3,AC=2,A=3π,则B= 3.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC=4.在△ABC 中,若b=1,c=3,C=32π,则S △ABC = 5.一艘船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为 km.6.在△ABC 中, 内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c.(1)若c=2,C=3π,且△ABC 的面积S=3,求a,b 的值. (2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC 的形状.7.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且()C a A c b cos 3cos 32=-. (1)求角A 的大小;(2)若角B=6π,边BC 上的中线AM 的长为7,求△ABC 的面积.三、巩固练习1.在△ABC 中,若A=60°,B=75°,c=6，则a=2.在△ABC 中,B=6π,AC=1,AB=3,则边BC 的长度为 3.在△ABC 中, A=60°,b=1,3=∆ABC S ,则=++C B c b sin sin 4.在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则边c=5.在△ABC 中,若其面积S=()22241a c b -+,则A= 6.在△ABC 中,A=45°,cosB=54. (1)求cosC 的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.。