《正弦定理》教案1苏教版

《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。

2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。

3. 让学生了解正弦定理的应用场景。

教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。

2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

3. 解释正弦定理的证明过程。

教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。

2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。

3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。

练习题：1. 解释正弦定理的概念。

2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。

章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。

2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。

练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。

2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。

章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。

2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。

教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。

2. 解释正弦定理的证明方法。

教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。

2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。

练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。

2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。

章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。

2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。

教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。

2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。

教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。

课题：11.1 正弦定理 教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力;(3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力.教学重点：正弦定理及其证明过程 教学难点：正弦定理的推导与证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：几何画板 教学过程：一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测 到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的 距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转化为求三角形的边与 角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt △ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系?sinA=c a ,sinB=c b,sinC=c c =1,…… 即c=A a sin ,c=B b sin ,c=Ccsin ．∴A a sin =B b sin =Ccsin 探索2:在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动 数学实验:分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立?分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立?c b a DBA Cb ac DA BC数学猜想:A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD Da A a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理具有结构和谐,对称,体现了数学的和谐美与对称美; 若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.探索活动4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式:A a sin =B b sin ,B b sin =C c sin ,A a sin =Ccsin ; 每个式子中有四个量,如果知道其中三个可以求出第四个? 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:(原因是三角形全等的判定定理) ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA⑵若A为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(ba锐角一解无解ba四.数学运用：例1 :在△ABC中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理.例2:在△ABC中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c;(2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c;(3)已知a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确定几解.五.巩固练习：1 P9 练习2在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)3△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( )A 直角三角形B 等腰直角三角形C 等边三角形D 等腰三角形P 六.回顾小结本节课通过自己的努力发现并证明了正弦定理，我们经历了数学实验→数学猜想→数学证明的科学治学历程,得到了正弦定理,其表达式具有和谐性,对称性的特点.通过本节课的学习,我们应该感受到数学的确是一个神奇的世界,不同的人可以用不同的方法去解决相同的问题,一个人也可以用不同的方法解决同一个问题,只要你肯探索并善于探索,总会有丰厚的回报. 七.课后作业 八.教后感:。

第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）【三维目标】：一、知识与技能1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。

3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。

二、过程与方法通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。

三、情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力【教学重点与难点】：重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．难点：根据题意建立数学模型，画出示意图【学法与教学用具】：1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。

生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。

解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。

【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题总结解斜三角形的要求和常用方法（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材18P 例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=o ，60BDC ∠=o ，47ACD ∠=o ，72BCD ∠=o，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=o ，47ACD ∠=o ，则48DAC ∠=o.又100DC =，由正弦定理，得 ()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠oo . 在BDC ∆中，60BDC ∠=o ，72BCD ∠=o，则48DBC ∠=o .又100DC =，由正弦定理，得 ()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠oo . 在ABC ∆中，由余弦定理，得 2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯-o o3233.95≈，所以 ()57AB m ≈ 答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .例2 （教材18P 例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45o ，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105o的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1o ，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=o o o o .由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠o . 化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===o ，所以21.8BAC ∠≈o ，方位角为4521.866.8+=o o o . 答：舰艇应沿着方向角66.8o 的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，图图1-3-2所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠.例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的,C D 两处，测得烟囱的仰角分别为3512α'=o 和4928β'=o，CD 间的距离是11.12m ，已知测角仪高1.52m ，求烟囱的高。

总 课 题 解三角形 总课时 第 2 课时 分 课 题正弦定理（二）分课时 第 2 课时教学目标 初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 重点难点 正弦定理的应用 引入新课1．在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形3．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．4．在ABC ∆中，C a b cos =，则ABC ∆是________________三角形．5．在ABC ∆中，计算)sin (sin )sin (sin )sin (sin B A c A C b C B a -+-+-的值．例题剖析例1 如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．D ACB例2在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：DCBDBD AB =．巩固练习1．根据下列条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．已知ABC ∆的外接圆的面积是π4，求CB A cb a sin sin sin ++++的值．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．课堂小结正弦定理的应用．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．在ABC ∆中，已知2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆的形状是________________． 2．在ABC ∆中，已知，B C 3=，则bc的取值范围是________________． 3．在ABC ∆中，已知︒<<<90C B A ，︒=60B ，213)2cos 1)(2cos 1(-=++C A ，则b a 2+________c 2（填不等号）． 4．在ABC ∆中，已知21tan =A ，31tan =B ，且最长边为1，则最短边的长为________． 5．在ABC ∆中，已知)(4122b a S ABC+=∆，求C B A ，，． 6．为了测量校园里旗杆AB 的高度，学生们在D C ，两处测得A 点的仰角分别为︒30和︒45，测得DC 的距离为m 10，那么旗杆的高度是多少米？二 提高题 7．海上有B A ，两个小岛相距10海里，从A 岛观测C 岛与B 岛成︒60的视角，从B 岛观测A 岛和C 岛成︒75的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离是多少海里？8．在ABC ∆中，A ∠的外角平分线交BC 的延长线于D ，用正弦定理证明：DCBDAC AB =．9．在ABC ∆中，设a BC =，b CA =，c AB =，已知a c c b b a •=•=•， 证明ABC ∆为正三角形．三 能力题 10．在ABC ∆中，已知D 为AB 上一点，α=∠ACD ，β=∠BCD ，BD AD CD •=2，求证：βαsin sin sin sin =B A ．ABC D。

§1.1 正弦定理 (2)一、学习目标：1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用；2. 探究三角形的面积公式；3.能根据条件判断三角形的形状；4.能根据条件判断某些三角形解的个数。

二、学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、课前预习1.正弦定理：____________________===________3. 正弦定理的几个变形：设△ABC 的外接圆的半径为R ，则有 a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝ .①a b ＝ ，a c ＝ ，bc ＝ .②a ∶b ∶c ＝ ③a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝④a ＝ ，b ＝ ，c ＝⑤sinA ＝ ，sinB ＝ ，sinC ＝ .⑥A<B ⇔ ⇔ ⇔ . 3.在解三角形时，常用的结论（1）sin(A+B)= ，sin(A+C)= ，sin(B+C)= ， ( 2 ) 三角形的面积公式：______________________________________________四、课堂探究题型3三角形形状的判断例3 在△ABC 中，已知2a tanB ＝2b tanA ，试判断△ABC 的形状．规律归纳判断三角形形状的思路通常有以下两种：(1)化边为角；(2)化角为边．对条件实施转化时，考查角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角相等？(3)有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：(1)两边是否相等？(2)三边是否相等？题型4正弦定理与其他知识的综合应用例4 在△ABC 中，tanA ＝14，tanB ＝35.(1)求C 的大小；(2)若△ABC 最大边的边长为17，求最小边的边长．规律归纳在三角形中考查三角函数式的变换，是近年来高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此作为三角形问题，必然要用到三角形的内角和定理和正弦定理及三角形的有关性质进行边角转化，有利于发现解决问题的思路．另外做三角变换，常见的变换方法和公式都是适用的．题型5例5 判断下列三角形解的情况： （1）已知060,12,11===B c b （2）已知0110,3,7===A b a （3）已知045,9,6===B c b五、结论：三角形解的个数一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形（已知a , b 和A ），用正弦定理求B 时的各种情况：⑴若A 为锐角时: sin sin ()sin (, )³()a b A a b A b A a b a b <=<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩无解一解直角二解一锐一钝一解锐角，如下图所示：已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA⑵若A为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤一解无解baba1.在ABC∆中，若,60,3︒==Aa那么ABC∆的外接圆的周长为________2.在ABC∆中，若3,600==aA，则_______sinsinsin=++++CBAcba3.在ABC∆中,______,coscos的形状为则ABCBCbc∆=4.在△ABC中，若acosA＝bcosB，判断△ABC的形状．5.已知△ABC中，tanA＝25，tanB＝37，且最长边长为2，求：(1)C的大小；(2)最短边的长．6.ABC∆中，ABBA22sintansintan⋅=⋅，那么ABC∆一定是_______7.ABC∆中，A为锐角，2lgsinlg1lglg-==+Acb，则ABC∆形状为_____七、反思总结1.理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．2.判断三角形的形状的方法。

《正弦定理》教案（精选5篇）《正弦定理》篇1通过正弦定理让我们更容易的了解数学，正弦定理的教学内容有哪些呢?以下是小编为大家整理的关于《正弦定理》教案，给大家作为参考，欢迎阅读!一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。

因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力;但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。

根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。

三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。

如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。

”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、教学目标：1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何知识和处理几何图形的常用方法出发，探索和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性.2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步认识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种情况。

江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生理解正弦定理和余弦定理的定义及几何意义。

2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理的适用范围和条件。

二、教学内容1. 正弦定理：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义，分析正弦定理的适用范围和条件。

2. 余弦定理：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义，分析余弦定理的适用范围和条件。

3. 应用：通过例题讲解如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题，如边长问题、角度问题、面积问题等。

三、教学重点与难点1. 重点：正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义。

2. 难点：正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索正弦定理和余弦定理。

2. 利用几何画板或实物模型，直观展示正弦定理和余弦定理的应用。

3. 通过例题讲解和练习，巩固学生对正弦定理和余弦定理的理解和运用。

五、教学安排1. 第一课时：介绍正弦定理的定义、表达式及几何意义。

2. 第二课时：介绍余弦定理的定义、表达式及几何意义。

3. 第三课时：讲解正弦定理和余弦定理在解决三角形问题中的应用。

4. 第四课时：通过练习题巩固正弦定理和余弦定理的知识。

六、教学评价1. 评价学生对正弦定理和余弦定理的定义、表达式及几何意义的理解程度。

2. 评价学生运用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的能力。

3. 评价学生在解决实际问题时，能否灵活运用正弦定理和余弦定理。

七、教学反馈1. 课堂提问：通过提问了解学生对正弦定理和余弦定理的理解程度。

2. 练习反馈：通过练习题的完成情况，了解学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。

3. 课后访谈：与学生交流，了解他们在解决实际问题时对正弦定理和余弦定理的应用情况。

八、教学拓展1. 探索正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学、工程学等。

2. 介绍正弦定理和余弦定理的历史背景和发展过程。

《正弦定理》教案（含答案）第一章：正弦定理的引入1.1 实物的直观引入利用直角三角形和平行四边形模型，引导学生直观感受正弦定理的概念。

让学生通过观察和实验，发现正弦定理在几何图形中的普遍性。

1.2 数学定义与公式给出正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a, b, c分别为三角形的边长，A, B, C分别为对应的角度。

解释正弦定理的内涵，让学生理解各个参数之间的关系。

1.3 例题讲解选择具有代表性的例题，讲解正弦定理的应用方法。

引导学生通过正弦定理解决问题，培养学生的解题能力。

第二章：正弦定理的应用2.1 三角形内角和定理的推导利用正弦定理推导三角形内角和定理：A + B + C = 180°。

解释推导过程，让学生理解正弦定理与三角形内角和定理之间的关系。

2.2 三角形形状的判断利用正弦定理判断三角形的形状（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。

引导学生通过正弦定理判断给定三角形的形状。

2.3 实际问题应用选择与生活实际相关的问题，引导学生利用正弦定理解决问题。

培养学生的实际问题解决能力，提高学生对正弦定理的应用意识。

第三章：正弦定理在测量中的运用3.1 角度测量讲解利用正弦定理进行角度测量的方法。

引导学生通过正弦定理进行角度测量，提高学生的实际操作能力。

3.2 距离测量讲解利用正弦定理进行距离测量的方法。

引导学生通过正弦定理进行距离测量，提高学生的实际操作能力。

3.3 实际测量案例提供实际测量案例，让学生利用正弦定理进行测量。

培养学生的实际测量能力，提高学生对正弦定理在测量中应用的理解。

第四章：正弦定理在三角函数中的应用4.1 三角函数的定义与关系讲解正弦定理与三角函数之间的关系。

引导学生理解正弦定理在三角函数中的应用。

4.2 三角函数图像的绘制利用正弦定理绘制三角函数图像。

培养学生的图像绘制能力，提高学生对正弦定理在三角函数中应用的理解。

4.3 三角函数问题的解决利用正弦定理解决三角函数问题。

1.1正弦定理教学过程（二）推进新课［合作探究］师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当AABC是锐角三角形时，设边ABk的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有CD=/sinS=BsirU,贝U —-—=—-—,同理，可得一-—=—-—.从而sin/ sin 5 sinC sin 5a _b _ csin/ sin 5 sinC（当AABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a _b _ csin/ sin 5 sinC师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作AABC的外接圆，在AABC中，令BC=AAC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明—=—=这一关系•sin/ sin 5 sinC师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在厶ABC 中，已知BC=AAC=BAB=C,作厶ABC的外接圆,O为圆心，连结BO并延长交圆于B', 设B夕=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到ZBAB'=90°, ZC=ZB',sinC=siiiB - sin C = sinB'= ------ .2R :.= 2R .sinC同理，可得 ~^— = = 2R .sin/ sin 5sin A sin B sin C这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a _b _ csin/ sin 5 sinC点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识，将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时，易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路，又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. ［知识拓展］师接下来，我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出，定理反映的是三角形的边角关系，而在向量知识中，哪一知识点体现边角关系呢？生向量的数量积的定义式A-B=\A\\B\Co^,^中9为两向量的夹角.师回答得很好，但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系，这两者之间能否转化呢？生可以通过三角函数的诱导公式sin0=Cos(9O°-6)进行转化.师这一转化产生了新角90。

《正弦定理》教学设计一、课程分析：本节课以“任务驱动，情境体验，真实探究”为教学要求，“任务驱动”的核心是“驱动”——变“要我学”到“我要学”，所以在这节课的任务设计上就是利用卷尺和测角仪两种工具，设计测量登瀛楼高度方案，让学生通过建立数学模型，去实践这个问题，激发学习驱力，让学生积极参与学习，获得体验，建构意义，要想完成设计方案，学生就要去研究正弦定理在解决三角形问题中的应用，实现学习任务完成的过程，就是学习的过程，体验的过程，建构意义的过程。

任务在情境中展开，目标在学习过程中实现。

1教材内容解析本节课是必修五第一章《解三角形》中的第一节课，正弦定理，它是初中“解直角三角形”内容的直接拓展，三角形是最基本的几何图形，三角形中的数量关系在天文、地理、航海等领域中有着及其广泛的作用，本节课我们将在以前学习的三角形、三角函数和解直角三角形等知识的接触上，通过对任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中边长和角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

本节课的内容共分为三个阶段：第一，从实际问题引入，如何设计测量登瀛楼高度问题，在解决特殊的直角三角形的边角关系的基础上思考解斜三角形，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，后面就是严格的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归（从直角三角形中来回归到直角三角形问题）的数学思想；第三，设计测量登瀛楼高度方案，首尾呼应，并学以致用。

从实际中来，到实际中去。

本节课的主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用，培养学生的提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

第 周 周 月 日
备 课 时 间 2016 年 2 月 22 日 上 课时 间
班级 节次
课题
正弦定理（1）
总课时数第 节
教学目标
1．掌握正弦定理，了解其证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学重难点1．理解正弦定理的证明方法；2．会初步应用正弦定理解斜三角形
教学参考教材、教参
多 媒 体授课方法
合作探究、讲授
教学辅助手段
专用教室
教
学
二次备课
一、问题情境
1、直角三角形中的边角关系
在△中，设，则，RT ABC 0
90 C sin a A c
= ， =，sin b
B c =sin 1
C =c
c 即：， ， ， 则sin a c A =
sin b c B =sin c
c C
=．sin sin sin a b c
A B C
==对于任意三角形，这个结论还成立吗？
2、阅读书5-6页，了解正弦定理的证明过程
二、建构数学1、正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
==
2、正弦定理的证明
师生共同经历发现正弦定理的过程
阅读正弦定理的证明
过程
记忆公式
教学二次备课
1】在
C
：边求另两边和一角的问题
、正弦定理：
）已知两边和其中一边的对角求另一边对一角：ABC
课外作业教学小结。

让学生学会学习听课随笔第3课时正弦定理知识网络⎪⎩⎪⎨⎧解的个数的判定平面几何中某些问题判断三角形状正弦定理的应用学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； 2．熟记正弦定理及其变形形式； 3．判断△ＡＢＣ的形状. 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 2R sin sin sin sin sin a b a b cA B A B C±±±==±±±R 为ABC ∆的_______________2．三角形的面积公式：（1）s=_______=_______=_______ （2）s=__________________ （3）s=____________ 【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知A a cos ＝Bbcos ＝C ccos ，试判断△ＡＢＣ的形状． 【解】点评: 通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明AC AB ＝DCBD． 【证】【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数．（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ； （3）106a =，203b =，45A =︒，求B ；（4）202a =，203b =，45A =︒，求B ； （5）4a =，103b =，60A =︒，求B ． 【解】追踪训练一 1. 在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （ ） A.无解 B.一解 C.两解 D.解的个数不能确定让学生学会学习听课随笔 2. 在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 2 3. 在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形 【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON+的最大值和最小值． 【解】追踪训练二1.在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( )A ．4:1:1B ．2:1:1C 2D 3 2.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ，b = ， c = ．3.已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为( )CDB阳光地面A.75°D.455．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(1-2k )∶3k (k≠0)，则k 的取值范围为 ( )A ．(2，＋∞)B ．(61，41)C ．)0,21(-D ．),21(+∞6．在△ABC 中， 证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-.【师生互动】学生质疑教师释疑。

§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：R Cc B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． （2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ②Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =． （3）余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠. 在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯- 3233.95≈，所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得 2369100x x --=， 解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin1203sin 21BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12图1-3-1图1-3-2时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-，4415sin 22AC υθυ⋅⋅∴===在ACE ∆中，2252525cos1503υ⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度/h υ=.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。