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正弦定理和余弦定理习题课11.3(第一课时)

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正弦余弦定理习题课

正弦余弦定理习题课
2
[课堂小结] 1．正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正 确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解 决问题时要及时考虑另外一个定理．
2. 已知条件中既有边，又有角，解决问题的一般思路 是两种： ①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解
②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解．
(a2 b2 )(c2 a2 b2 ) 0
a 2 b2或c2 a 2 b2 0 a b或c 2 a 2 b2 ABC为等腰三角形或直角三 角形。
法二：由a cos A bcosB得
2RsinAcos A 2RsinBcosB
sin2A sin2B
2A 2B或2A 2B 即A B或A B
又0°＜B＜180°， ∴B＝150°.
探究问题二：三角形中的化简求值
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
解:（化角为边）由余弦定理得：
bcosC＋ccosB＝
a2
b·
b2
c2
a2 c2 b2
＋c·
2ab
2ac
a2 b2 c2 a2 c2 b2
2a
2a
a2
例3：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。
法二：由a cosB bcos A得
2RsinAcosB 2RsinBcos A
sinAcosB sinBcos A 0 即sin（A B） 0
A B
（2）a cos A bcosB
解：（2）a cos A bcosB
a
b2 (
c2
a2
)
b
a2 (
c2
b2
)
2bc
2ac
a2c2 a4 b2c2 b4 0

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外

正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)

正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)

一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
课堂讲练互动
续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
课前探究学习 课堂讲练互动
三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
课前探究学习
课堂讲练互动
【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
课前探究学习
课堂讲练互动
解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
课堂讲练互动
课前探究学习
方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
课前探究学习

余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

余弦定理与正弦定理第1课时 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

归纳小结
问题3 本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
（1）这节课我们发现了什么新知识？我们是如何研究它的？
（2）余弦定理的变式有哪些？三角形的面积公式是什么？
（1）我们发现了余弦定理，三角形面积公式的另一种表达形式；
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
2 + 2 − 2
（1）求cos C；
（2）求△ABC的面积．
解答： （1）由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A得b2＋25－5b＝49，
解得b＝－3（舍）或b＝8．
（2）由（1）得： Δ
2 + 2 − 2 49 + 64 − 25 11
∴ cos =
=
=
．
2
2×7×8
14
1
1
= sin = × 8 × 5 sin 60° = 10 3．
2
2
2
a
b
h
A
c
B
初步应用
例1 如图，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点为O．甲、乙两人同时从点O分别沿
OA，OC方向出发，速度分别为4 km/h，4.5 km/h．3 h后两人相距多远？（精确到0.1 km）
C
Q
80°
B
O
D
3 h后两人相距16.4 km．
（详解参考教材P109例1的解析．）
= ｜｜2 − 2 ⋅ + ｜｜2
b
c
＝a2＋b2－2ab cos C，
C
同理可证：
a
B
所以c2＝a2＋b2－2abcos C．
a2＝b2＋c2－2bccos A，

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版
a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想： 余弦定理在直角三角 形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析 由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)． 由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二 已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5

(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5

2017春高中数学 第1章 解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

高中数学必修二课件：余弦定理、正弦定理习题课


A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝
(A ) A．1
B．2
C．3
D．4
13 ，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝
解析 设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝ 13 ， ∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
C，2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝12，所以C＝π3 .
(2)由已知，得12absin
C＝3
2
3 .
π 又C＝ 3 ，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝7.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解析 (1)因为cos A＝35，A∈(0，π)，所以sin A＝45. 又由A→B·A→C＝3，得bccos A＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝12bcsin A＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6， 所以b＝5，c＝1或b＝1，c＝5. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，所以a＝2 5.
3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( A )
A．－14
1 B.4
C．－23
＝ac，c＝2a，则cos B＝____4____．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos
A＝
3 5
，
A→B·A→C＝3.
方法二：因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

1-1-3正、余弦定理习题课


第一章
1.1
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
3 3 3 故 sin B＝4，sinB＝ 2 或 sinB＝－ 2 (舍去)，
2
π 2π 于是 B＝3或 B＝ 3 . 2π 3 若 B＝ 3 ，则 cos(A－C)＝2－cosB＝2，这不可能，所以 B π ＝ . 3
第一章
1.1
第3课时
成才之路· 数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
解三角形
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
第一章
第 3 课时 正、余弦定理习题课
第一章
1.1
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[解析]
(1)由 acosC＋ 3asinC－b－c＝0 及正弦定理得
sinAcosC＋ 3sinAsinC－sinB－sinC＝0. 因为 B＝π－A－C，所以 3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0， π 1 由于 sinC≠0，所以 sin(A－ )＝ . 6 2 π 又 0<A<π，故 A＝ . 3
利用两角和的公式，辅助角公式以及正弦余弦定理．本题是常 规题目，但紧扣考试说明，万变不离其“本”(教材).
第一章
1.1
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
命题方向
方程思想
[例 3]
在四边形 ABCD 中，已知 AD⊥CD，AD＝10，

(人教版)数学必修五：1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件 公开课精品课件


2
3＋1 4.
根据正弦定理，得 a＝cssiinnCA＝2ssiinn7650°°
＝ 22×3＋23 1＝ 6( 3－1)， 4
b＝cssiinnCB＝2ssiinn7455°°＝ 22×3＋221＝2( 3－1)． 4
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
正弦定理的向量法证明： 证明：(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时，如图(1)所示， 过点 A 作单位 向量 i 垂直于 AB，因为A→C＝A→B＋B→C，所以 i·A→C＝i·A→B＋i·B→C， 所以 b·cos(90°－A)＝c·cos90°＋a·cos(90°－B)，即 bsinA＝asinB， 得sianA＝sibnB.同理可得sianA＝sincC，所以sianA＝sibnB＝sincC.
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
[答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2 ＋b2＝c2
运用正弦定理求有关三角形的面积问题
已知在△ABC 中，c＝2 2，a>b，C＝π4，tanA·tanB ＝6，试求三角形的面积．
[分析] 本题可先求 tanA，tanB 的值，由此求出 sinA 及 sinB， 再利用正弦定理求出 a，b 及三角形的面积．

高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)

第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
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☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
正弦定理和余弦定理习题课
[典型例题]：例1.(2003年北京市海淀区二模）已知 中,角 所对的边分别为 若 的面积 那么 的外接圆的直径等于
例2.(1999年上海高考题）在 中,若
则 的面积是
[变式]：（2003年北京东城二模）若 中, 则 一定是 （ ）
的三边 和面积 满足 且 求面积 的最大值
12.在 中, 分别是 的对边,且
⑴求角 的大小
⑵若 求 的值
[备选练习]：13.已知 中, 分别为
的对边,且
则 的面积为 （ ）
14.在 中,若 则 的形状为
15.在 中,已知 则最大角为
16.如下图,已知 是 内的一点,它到两边的距离分别是 和 求 的长
第 页
等边三角形 等腰三角形
等腰三角形或直角三角形 直角三角形
[基础训练]：1.在 中,已知 则
等于 （ ）
2.如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为 （ ）
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形 由增加长度决定
3. 周长为 ，面积为 则
边长为 （ ）
4.在 中, 则
[能力培养]：5.在 中,
且周长为 则 等于 （ ）
6.在 中,若 则
一定是 （ ）
等腰三角形 直角三角形
等腰直角三角形 等腰或直角三角形
7.已知三角形 中, 方程
的两根,角 满足 求角 的度数,边 的长度及 的面积
10.在 中, 分别为角 的对边, 为 的面积,且有
⑴求角 的度数
⑵若 求 的值
[综合提高]：11.（2003年武汉高考模拟试题）