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第十章 z变换

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第十章 z变换

第十章 z变换


收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) Im(z)
Re(z)
性质2：ROC内不包括任何极点。 Im(z)
在极点处，X(z)为无穷大。
×
Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z 平面，可能去除z=0和/或z=∞。

2
X (re jw )(re jw ) n dw
2 j
Im(z)
X ( z ) z n1dz
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 a i z 1 i 1
m
Z { Ai /(1 ai z )}
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n


x2 [ n ] z

X 4 ( z)
n n

x3[n]z n
n


[n 1]z n z
ROC :| z | ROC :| z | 0
n

[n 1]z n z -1
Im(z)
x 1 a Re(z) Unit circle
例 考虑信号x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[ n 1]z
n n n n n
a n z nn Nhomakorabea1
a z 1 (a 1 z ) n
n 1 n 0
第10章Z变换整理ppt-PPT精品文档

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n 例1. x(n) a u(n)
1 Xz ( ) az 1 1 a z n 0
n n

z a 时收敛
单位圆
当 a 1 时，
x ( n ) 的DTFT存在
此时，ROC包括了单位圆。
1 X (ej) j 1 a e
Z平面
Im
a1
R e
z a
例2. x(n) u(n)
第10章
Z-变换
The Z-Transform
本章主要内容
1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。 3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 4. 由零极点图分析系统的特性。
5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。
6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。
10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立 叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性 质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要
的差异。
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一.双边Z变换的定义:
零极点图可以唯一地确定一个信号。
零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特 性，具有重要的用途。
10.2 Z 变换的ROC
The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. X ( z ) 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形 区域。 2. 在ROC内 X ( z ) 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可 能不包括 z 0 ，或 z ）。
Z变换

Z变换

n=−∞
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变 换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z
z变换公式

z变换公式

z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。

它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。

本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。

一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。

它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。

通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。

z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。

二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。

下面对每个特性进行详细讨论。

1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。

2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。

3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。

4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。

三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。

1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。

Z变换PPT课件

Z变换PPT课件

x * ( t ) 0 . 5 ( t T ) 0 . 7 ( t 5 2 T ) 0 . 8 ( t 7 3 T ) 0 5 . 9( t 3 4 T ) 7
-
19
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
两端取Z变换得
(a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n )X o (z) (b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m )X i(z)
故离散控制系统的传递函数为
G (z ) X o (z ) b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m X i(z ) a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n
x(t)
x * (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
-
2
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采- 样时刻 t=nT 时的值 x(nT). 18
例10-18 求 X(z) 0.5z 的逆变换。
(z1)(z0.5)
解 X(z) 0.5z 0.5z
(z1)z(0.5) z21.5z0.5
利用综合除法得 X ( z ) 0 .5 z 1 0 .7 z 2 5 0 .8z 7 3 0 .5 9z 3 4 75
Z变换ppt课件

Z变换ppt课件


F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
第十章讲义——Z变换

第十章讲义——Z变换


1 anu[n]←z→ 1 − az−1
z >a
Example 10.2
x[n] = −anu[−n − 1], determine z-transform
X ( z) = − ∑ anu[−n − 1]z−n
n=−∞ −1 +∞
= − ∑ az
n=−∞
(
−1
)
n
= −∑ a z
−1 n=1
+∞
(
)
n
if the X (z) is convergence so then
n
a-1z < 1 ⇒ z < a 1 z −a-1z X ( z) = = = 1- a-1z 1- az-1 z - a z <a
1 −a u[−n − 1]← → 1 − az−1
z
z <a
Example 10.3
Property 7 —— if the Z-transform X(z) of x[n] is rational, then its ROC is bounded by poles or extends to infinity Property 8 —— if the Z-transform X(z) of x[n] is rational, and if x[n] is right sided, the ROC is the region in the z-plane outside the outermost pole ——i.e., outside the circle of radius equal to the largest magnitude of the poles of X(z). Furthermore,if x[n] is causal (i.e., if it is right sided and equal to 0 for n<0), then the ROC also includes z= ∞
Z变换

Z变换


0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ
第十章Z变换

第十章Z变换

n m
1
n

m
j Im[z ]
圆内为收敛域，若 n2 0 则不包 括z=0点，这里包括0点。
Rx2
Re[z]
1 3
16
例10.7：求有限长序列
8
1 x ( n) [u ( n) u ( n 8)] 3
n
n
的z变换。
1 8 z 8 ( 1 )8 1 1 1 ( 1 z ) 3 3 解：X ( z ) z 7 1 1 z 1 z (z 1) 3 n 0 3 3
n 0


z 1 1 z b z b
Im
Z平面
Re
b 1/b
1 ROC : b z b
18
§10.3 Z变换的逆变换
The Inverse Z-Transform
由 所以
X z X re j F xnr n
xnr n F 1 X re j
11
例10.5 求x n n , x n n n 1, x n n n 1 的Z变换。看ROC是否包含0和 ？ 性质4：如果 x[n] 是一右边序列，|z|=r0的圆位于ROC内， 那么|z|>r0的全部有限值都一定在这个ROC内，但可能不包 括
1 X re (re ) d X z z n1dz 2j 2
j j n
Z反变换公式
积分域为：收敛域内任一圆周。为什么？
与拉普拉斯反变换类似，还有另外的较为简单
的方法可以求得与X(z)相对应的序列。常用有两种： （1）部分分式法
（2）幂级数展开法
20
（1）部分分式法 当 X ( z ) 是有理函数时，可将其展开为部分分式：
信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-3]

信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-3]

上讲回顾由零极点图对傅里叶变换进行几何求值分析一阶、二阶系统Z变换的性质（表10.1）常用Z变换对（表10.2）信号与系统课程组© 20142大纲310.1 Z 变换定义10.2 Z 变换的收敛域10.3 Z 逆变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.5 Z 变换的性质10.6 常用Z 变换对10.7 用Z 变换分析与表征LTI 系统10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.9 单边z 变换信号与系统课程组10.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统•系统函数)()(z X n x )(n h [])()(n h ZT z H =)()()()()()(z H z X z X n h n x n y =∗= : 称为系统函数/ 传递函数410.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统5这就是LTI 系统的傅里叶分析。

即是系统的频率响应。

如果 的ROC 包括单位圆，则 和 的ROC 必定包括单位圆，以 代入，即有()()()ωωωj j j e H e X e Y ⋅= LTI 系统的性质直接与 在z 平面的特性（零极点及收敛域）相联系！信号与系统课程组•10.7.1 因果性（Causality ）–一个具有有理系统函数 的DT LTI 系统是因果的，当且仅当：•(a) 收敛域必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在收敛域内；且•(b) 若 表示成z 的多项式之比，其分子多项式的阶次不大于分母的阶次。

)(216)(317)(n u n u n x nn ⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎭⎫⎝⎛=NN N N MM M M z a z a z a z a a z b z b z b z b b z D z N z X ++++++++++==−−−−112210112210)()()( NM ≤710.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统信号与系统课程组•10.7.2 稳定性（Stability ）–一个DT LTI 系统，当且仅当它的系统函数 的收敛域包括单位圆 1时，该系统稳定。

z变换公式

z变换公式

z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。

它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。

z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。

那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。

z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。

以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。

位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。

这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。

延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。

这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。

如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。

这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。

z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。

如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。

z变换知识点总结

z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。

与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。

z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。

本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。

二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。

2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。

而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。

3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。

z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。

z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。

三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。

这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。

2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。

这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。

3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。

初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。

终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。

z变换通俗理解

z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。

它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。

1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。

Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。

2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。

3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。

例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。

4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。

Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。

在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。

5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。

为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。

《z变换的性质》课件

通过DFT，我们可以得到信号在各个频率分量 的幅度和相位信息；而通过z变换，我们可以分 析信号的频率响应和稳定性等特性。
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。

Z变换的基本性质 ppt课件

x(k1)x(k1)zk
k0
x1x0z1 x1z2 x(2)z3
x(-1)z-1[x0x1z1 x2z2 x3z3
x1z1Xz
X
14
第
Z变换的基本性质
页
根据单边z变换的定义，可得 Zxkm k xkm zk k0 zm xkmzkm k0
令nkmzm xnzn
nm
zmxnzn1xnzn
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则 Za1x(k)b2x(k)aX 1(z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
即zmaRxx 1,R (x2)
注意:如相加过程出现零极点抵消情况,收敛域可能变大.
X
3
Z变换求 的c基o本k sh 性0(质k)的 z变换（。 自学）
则 x (k m )(k ) z m X (z ) 1x (k )z k z
k m
x k 1 ( k ) z 1 X z x 1 其中m为正整数
x k 2 ( k ) z 2 X z z 1 x 1 x 2
注意：对k于 0时 因 x， k果 0， 序 则 列
第 页
解：
已知
Zak(k) z
za
并且
cok sω h 0 1 2ekω 0ekω 0
所 Z c以 k o ω 0 ( s k ) h 1 2 Z e k ω 0( k ) 1 2 Z e k ω 0( k )
1z 1 z 2zeω0 2zeω0
z2z(2zzccoossω ω h0h01
X
6
Z变换的基本性质
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1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质

Z变换知识点范文

Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。

它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。

下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。

给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。

2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。

对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。

3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。

这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。

4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。

在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。

5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。

这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。

6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。

通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。

7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。

通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。

8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。

通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。

9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。

递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。

总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。

通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。

z变换的基本知识

z变换基本知识1z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。

一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。

连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为OOf*(t)=1，f(kT)、(t-kT)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)•f(2T)、(t-2T)k Of(3T)5(t-3T)+|||(1)对式(1)作拉普拉斯变换F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'sT f(3T)e4T lMod=£f(kT)e3r(2)k0从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。

为此，引入了另一个复变量“z”，令z=e sT(3)代入式(2)并令F*(x)i=F(z),得s平lnzF(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)k 0式(4)定义为采样信号£*("的2变换，它是变量z 的幕级数形式，从而有利于问题的简化求解。

通常以F(z)=L[f*(t)]表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z=e sT 的变量置换。

f*(t)的z 变换的符号写法有多种，如Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等,不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变 换。

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z a
1 z X ( z ) n 0 (az ) , 1 1 az za
1 n
当 a=1
1 X ( z) , 1 1 z
z 1 z 1
1 即： Z {u[n]} , 1 1 z
1 X ( z) , 1 1 az
零、极点以及收敛域图
z | a |
而：
1 b u[n 1] , 1 1 1 b z
n
1 ROC ： | z | b
1 b u[n] , 1 1 bz
n
ROC ： | z | b
当b<1时，其收敛域为：
Im{Z} Re{Z}
Im{Z}
Im{Z} b
Re{Z} 1/b
Re{Z} 1/b
b
b>1 时其收敛域
m
Z { Ai /(1 ai z )}
1
1
Ai ainu[n] n Ai ai u[n 1]
| z || a | | z || a |
1.对于一阶极点 ，可以展开为：
Am A1 A2 X ( z) 1 1 1 a1 z 1 a2 z 1 am z 1
1 x[n] 2

2
X (re jw )(re jw ) n d w
1 n 1 x[n] X ( z ) z dz 2j
Im(z)
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 1 a z i 1 i
图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。
10.0 引言

前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点
分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变
而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于 连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉 氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可
Im{Z}
Im{Z} Im{Z} Re{Z} 1/b b
Re{Z}
Re{Z} 1/b
b
由以上收敛域，可知只有当b<1时双边指数序列的收敛域 才有公共的收敛域，而当b>1时其收敛域没有重叠部分， 因此不存在z变换。
性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的 ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。
X ( z) Ai (1 ai z ) X ( z ) | z ai （z ai ) | z ai 其中： z
1
对于含有二阶或二阶以上极点的 z变换，其逆变换的求法如 下：
A13 X ( z) A11 A12 3 2 z ( z a1 ) ( z a1 ) ( z a1 )
性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边 序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。 性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是 左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点 的里边。
例：设x[n]是绝对可和的信号，其z变换是有理的， 若已知X(z)在z=1/2有一个极点。 （a)x[n]可能是有限长信号吗？ （b)x[n]可能是左边信号吗？ （c)x[n]可能是右边信号吗？ （d)x[n]可能是双边信号吗？
单位圆
××
Re(z)
1 1 ( ) u[n] ,| z | 1 1 4 1 z 4
1 n 4
Z
2( )
1 n 3
2 1 ,| z | u[n] 1 1 3 1 z 3
Z
因此,x[n]为：
1 n x[n] ( ) n u[n] 2( 1 ) 3 u[ n] 4
例 有一z变换X(z)为
换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，
以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应
通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。
10.1 z 变换定义
一、离散时间信号的z变换
离散时间信号的z变换定义为：
X ( z)
记作：
n
x[n]z
Z

n
x[n] X ( z )
X ( z) A11 ( z a1 ) | z a1 z
3
A12
d X ( z) [( z a1 ) 3 ] | z a1 dz z
1 d2 3 X ( z) A13 [( z a ) ] | z a1 1 2 2 dz z
推广到一般情况：若含有r重根，则
1 d r X ( z) A1k [(z a1 ) ] |z a1 k 1 (k 1)! dz z
X(z)可能有多少不同的收敛域？
10.3 z反变换
由已知z变换求得一个序列的几种方法。 z反变换公式 部分分式展开法
长除法
一、z反变换公式
jw X ( re ) X ( z)
n
x[n](re

jw n
)

所以
n
n jwn n ( x [ n ] r ) e F { x [ n ] r }
k 1
例 有一z变换X(z)为
解：对X(z)进行部分分式分解
1 X ( z) ,| z | 1 1 1 1 3 (1 z )(1 z ) 4 3
Im(z) 单位圆
5 1 3 z 6
1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
××
Re(z)
Im(z)
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n


x2 [n]z

X 4 ( z)
n n

x3[n]z n
n


[n 1]z n z
ROC :| z |
n

[n 1]z n z -1 ROC :| z | 0
例 指数函数的z变换
x[n] = anu[n]
其z变换为：
X ( z ) n a u[n]z
n
n
n 0 (az 1 ) n

X(z)要收敛，要求：


( az ) n 0
1 n


( az ) n 0
az
1
1 n
收敛域为：

1 or | z || a |
例 有一z变换X(z)为
X ( z)
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3
Im(z) 单位 圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆
× Im(z)
× Re(z)
单位圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆 × × Re(z)
例：设x[n]的z变换
1 2 1 z 4 X( z ) 1 2 5 1 3 2 (1 z )(1 z z ) 4 4 8
1 n
Im{Z}
ROC
Re{Z}
| z | 0
性质4：如果x[n]是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么|z|> r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
……… n
Im(z)
N1
Re(z)
性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么0<|z|< r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
1 n 4
Z
××
Re(z)
n Z 2( 1 ) u [ n 1] 3
2 1 ,| z | 1 1 3 1 z 3
因此,x[n]为：
1 n n x[n] ( ) u[n] 2( 1 ) 3 u[ n 1] 4
Im(z)
1 x a Re(z) Unit circle
例 x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[n 1]z
n n

n
a z
n n 1 n
1
n
(az )
1 n
X ( z ) (az )
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。
掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。
掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性 分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟框
X ( z)
n n n n { 7 ( 1 / 3 ) u [ n ] 6 ( 1 / 2 ) u [ n ]} z n n
7 (1 / 3) z
n 0
6 (1 / 2) n z n
n 0

7z 6z 1 z 3 z 12 z( z 32) ( z 13 )(z 12 )

x[n]r n F 1{ X (re jw )}
x[n] r F { X (re )} n 1 jw jw n x[n] r X ( re ) e dw 2 2 1 jw jw n x[n] X ( re )( re ) dw 2 2
n
1
jw
而z=rejw
Im(z) ………
N1
n
Re(z)
性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆 位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的 圆环所组成。
Im(z) ………
………
n Re(z)
例：
x[n] b ,
|n|