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第十章 z变换

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第十章 z变换

第十章 z变换

收敛域为|z|>1/2。
10.2 z变换的收敛域
性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。 Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) Im(z)
Re(z)
性质2：ROC内不包括任何极点。 Im(z)
在极点处，X(z)为无穷大。
×
Re(z)
性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z 平面，可能去除z=0和/或z=∞。

2
X (re jw )(re jw ) n dw
2 j
Im(z)
X ( z ) z n1dz
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 a i z 1 i 1
m
Z { Ai /(1 ai z )}
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n


x2 [ n ] z

X 4 ( z)
n n

x3[n]z n
n


[n 1]z n z
ROC :| z | ROC :| z | 0
n

[n 1]z n z -1
Im(z)
x 1 a Re(z) Unit circle
例 考虑信号x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[ n 1]z
n n n n n
a n z nn Nhomakorabea1
a z 1 (a 1 z ) n
n 1 n 0

第10章Z变换整理ppt-PPT精品文档

第10章Z变换整理ppt-PPT精品文档

n 例1. x(n) a u(n)
1 Xz ( ) az 1 1 a z n 0
n n

z a 时收敛
单位圆
当 a 1 时，
x ( n ) 的DTFT存在
此时，ROC包括了单位圆。
1 X (ej) j 1 a e
Z平面
Im
a1
R e
z a
例2. x(n) u(n)
第10章
Z-变换
The Z-Transform
本章主要内容
1. 双边Z变换及其收敛域ROC。 2. ROC的特征，各类信号的ROC，零极点图。 3. Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。 4. 由零极点图分析系统的特性。
5. 常用信号的Z变换，Z变换的性质。
6. 用Z变换表征LTI系统，系统函数，LTI系统 的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。 7. 单边Z变换，增量线性系统的分析。
10.0 引言 (Introduction)
Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立 叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性 质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。 当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要
的差异。
10.1 双边 Z 变换
The z-Transform 一.双边Z变换的定义:
零极点图可以唯一地确定一个信号。
零极点图对描述LTI系统和分析LTI系统的特 性，具有重要的用途。
10.2 Z 变换的ROC
The Region of Convergence for the z-Transform ROC的特征： 1. X ( z ) 的ROC是Z平面上以原点为中心的环形 区域。 2. 在ROC内 X ( z ) 无极点。 3. 有限长序列的ROC是整个有限Z平面（可 能不包括 z 0 ，或 z ）。

Z变换

Z变换
n=−∞
n2
−n
−∞ ≤ n ≤ n
m n =m
2
X ( z) =
m= − n
m=− n2
∑ x(−m)z
∞
=
n=− n2
∑ x(−n) z
16
∞
n
若：
lim n x ( −n ) z < 1
n n →∞
则：
lim
n →∞
n
x( −n ) < z
1
n
−1
收敛半径
z<
lim
n →∞
x( −n )
= Rx2
1. 有限序列：在有限区间内x(n)
X (z) = ∑x(n)z
n=n1
收敛域为
n2
−n
n1 ≤ n ≤ n2
0< z <∞
12
例如： n1 = −2, 则：
n2 = 3
收敛域
X ( z ) = ∑ x(n)z = ∑ x(n) z
−n n = n1 n = −2
1 2 z <∞ −1 −2 常数
n
逆变换
= ⎡ 2 ( 2 ) − 1⎤ u ( n ) ⎣ ⎦
40
6.5 Z变换的基本性质
•线性 •位移性 •序列线性加权（ Z 域微分） •序列指数加权（ Z 域尺度变 换） •初值定理和终值定理 •时域卷积和 Z 域卷积定理
41
基本性质
线性：表现为叠加性和均匀性
若：
Z [x ( n ) ] = X ( z )
1、 Z变换式的一般形式
b0 + b1 z + " br −1 z + br z X ( z) = k −1 k a0 + a1 z + " + ak −1 z + ak z

z变换公式

z变换公式

z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。

它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。

本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。

一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。

它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。

通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。

z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。

二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。

下面对每个特性进行详细讨论。

1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。

2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。

3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。

4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。

三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。

1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。

Z变换PPT课件

Z变换PPT课件
x * ( t ) 0 . 5 ( t T ) 0 . 7 ( t 5 2 T ) 0 . 8 ( t 7 3 T ) 0 5 . 9( t 3 4 T ) 7
-
19
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
两端取Z变换得
(a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n )X o (z) (b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m )X i(z)
故离散控制系统的传递函数为
G (z ) X o (z ) b o b 1 z 1 b 2 z 2 b m 1 z m 1 b m z m X i(z ) a o a 1 z 1 a 2 z 2 a n 1 z n 1 a n z n
x(t)
x * (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
-
2
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采- 样时刻 t=nT 时的值 x(nT). 18
例10-18 求 X(z) 0.5z 的逆变换。
(z1)(z0.5)
解 X(z) 0.5z 0.5z
(z1)z(0.5) z21.5z0.5
利用综合除法得 X ( z ) 0 .5 z 1 0 .7 z 2 5 0 .8z 7 3 0 .5 9z 3 4 75

Z变换ppt课件

Z变换ppt课件

F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)

第十章讲义——Z变换


1 anu[n]←z→ 1 − az−1
z >a
Example 10.2
x[n] = −anu[−n − 1], determine z-transform
X ( z) = − ∑ anu[−n − 1]z−n
n=−∞ −1 +∞
= − ∑ az
n=−∞
(
−1
)
n
= −∑ a z
−1 n=1
+∞
(
)
n
if the X (z) is convergence so then
n
a-1z < 1 ⇒ z < a 1 z −a-1z X ( z) = = = 1- a-1z 1- az-1 z - a z <a
1 −a u[−n − 1]← → 1 − az−1
z
z <a
Example 10.3
Property 7 —— if the Z-transform X(z) of x[n] is rational, then its ROC is bounded by poles or extends to infinity Property 8 —— if the Z-transform X(z) of x[n] is rational, and if x[n] is right sided, the ROC is the region in the z-plane outside the outermost pole ——i.e., outside the circle of radius equal to the largest magnitude of the poles of X(z). Furthermore,if x[n] is causal (i.e., if it is right sided and equal to 0 for n<0), then the ROC also includes z= ∞

Z变换


0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
16
2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
17
n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
23
2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ

第十章Z变换

n m
1
n

m
j Im[z ]
圆内为收敛域，若 n2 0 则不包 括z=0点，这里包括0点。
Rx2
Re[z]
1 3
16
例10.7：求有限长序列
8
1 x ( n) [u ( n) u ( n 8)] 3
n
n
的z变换。
1 8 z 8 ( 1 )8 1 1 1 ( 1 z ) 3 3 解：X ( z ) z 7 1 1 z 1 z (z 1) 3 n 0 3 3
n 0


z 1 1 z b z b
Im
Z平面
Re
b 1/b
1 ROC : b z b
18
§10.3 Z变换的逆变换
The Inverse Z-Transform
由 所以
X z X re j F xnr n
xnr n F 1 X re j
11
例10.5 求x n n , x n n n 1, x n n n 1 的Z变换。看ROC是否包含0和 ？ 性质4：如果 x[n] 是一右边序列，|z|=r0的圆位于ROC内， 那么|z|>r0的全部有限值都一定在这个ROC内，但可能不包 括
1 X re (re ) d X z z n1dz 2j 2
j j n
Z反变换公式
积分域为：收敛域内任一圆周。为什么？
与拉普拉斯反变换类似，还有另外的较为简单
的方法可以求得与X(z)相对应的序列。常用有两种： （1）部分分式法
（2）幂级数展开法
20
（1）部分分式法 当 X ( z ) 是有理函数时，可将其展开为部分分式：

信号与系统课件ch10 z变换-lec[10-3]

上讲回顾由零极点图对傅里叶变换进行几何求值分析一阶、二阶系统Z变换的性质（表10.1）常用Z变换对（表10.2）信号与系统课程组© 20142大纲310.1 Z 变换定义10.2 Z 变换的收敛域10.3 Z 逆变换10.4 由零极点图对傅里叶变换进行几何求值10.5 Z 变换的性质10.6 常用Z 变换对10.7 用Z 变换分析与表征LTI 系统10.8 系统函数的代数属性与方框图表示10.9 单边z 变换信号与系统课程组10.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统•系统函数)()(z X n x )(n h [])()(n h ZT z H =)()()()()()(z H z X z X n h n x n y =∗= : 称为系统函数/ 传递函数410.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统5这就是LTI 系统的傅里叶分析。

即是系统的频率响应。

如果 的ROC 包括单位圆，则 和 的ROC 必定包括单位圆，以 代入，即有()()()ωωωj j j e H e X e Y ⋅= LTI 系统的性质直接与 在z 平面的特性（零极点及收敛域）相联系！信号与系统课程组•10.7.1 因果性（Causality ）–一个具有有理系统函数 的DT LTI 系统是因果的，当且仅当：•(a) 收敛域必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在收敛域内；且•(b) 若 表示成z 的多项式之比，其分子多项式的阶次不大于分母的阶次。

)(216)(317)(n u n u n x nn ⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎭⎫⎝⎛=NN N N MM M M z a z a z a z a a z b z b z b z b b z D z N z X ++++++++++==−−−−112210112210)()()( NM ≤710.7 利用z 变换分析和表征LTI 系统信号与系统课程组•10.7.2 稳定性（Stability ）–一个DT LTI 系统，当且仅当它的系统函数 的收敛域包括单位圆 1时，该系统稳定。

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z a
1 z X ( z ) n 0 (az ) , 1 1 az za
1 n
当 a=1
1 X ( z) , 1 1 z
z 1 z 1
1 即： Z {u[n]} , 1 1 z
1 X ( z) , 1 1 az
零、极点以及收敛域图
z | a |
而：
1 b u[n 1] , 1 1 1 b z
n
1 ROC ： | z | b
1 b u[n] , 1 1 bz
n
ROC ： | z | b
当b<1时，其收敛域为：
Im{Z} Re{Z}
Im{Z}
Im{Z} b
Re{Z} 1/b
Re{Z} 1/b
b
b>1 时其收敛域
m
Z { Ai /(1 ai z )}
1
1
Ai ainu[n] n Ai ai u[n 1]
| z || a | | z || a |
1.对于一阶极点 ，可以展开为：
Am A1 A2 X ( z) 1 1 1 a1 z 1 a2 z 1 am z 1
1 x[n] 2

2
X (re jw )(re jw ) n d w
1 n 1 x[n] X ( z ) z dz 2j
Im(z)
积分路径
xa
1 Re(z)
Unit circle
二、部分分式展开法 设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：
Ai X ( z) 1 1 a z i 1 i
图、信号流图、 零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。
10.0 引言

前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点
分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变
而且，讨论展开的思路也是和拉氏变换平行的。当然，由于 连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉 氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可
Im{Z}
Im{Z} Im{Z} Re{Z} 1/b b
Re{Z}
Re{Z} 1/b
b
由以上收敛域，可知只有当b<1时双边指数序列的收敛域 才有公共的收敛域，而当b>1时其收敛域没有重叠部分， 因此不存在z变换。
性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的 ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。
X ( z) Ai (1 ai z ) X ( z ) | z ai （z ai ) | z ai 其中： z
1
对于含有二阶或二阶以上极点的 z变换，其逆变换的求法如 下：
A13 X ( z) A11 A12 3 2 z ( z a1 ) ( z a1 ) ( z a1 )
性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边 序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。 性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是 左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点 的里边。
例：设x[n]是绝对可和的信号，其z变换是有理的， 若已知X(z)在z=1/2有一个极点。 （a)x[n]可能是有限长信号吗？ （b)x[n]可能是左边信号吗？ （c)x[n]可能是右边信号吗？ （d)x[n]可能是双边信号吗？
单位圆
××
Re(z)
1 1 ( ) u[n] ,| z | 1 1 4 1 z 4
1 n 4
Z
2( )
1 n 3
2 1 ,| z | u[n] 1 1 3 1 z 3
Z
因此,x[n]为：
1 n x[n] ( ) n u[n] 2( 1 ) 3 u[ n] 4
例 有一z变换X(z)为
换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，
以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应
通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。
10.1 z 变换定义
一、离散时间信号的z变换
离散时间信号的z变换定义为：
X ( z)
记作：
n
x[n]z
Z

n
x[n] X ( z )
X ( z) A11 ( z a1 ) | z a1 z
3
A12
d X ( z) [( z a1 ) 3 ] | z a1 dz z
1 d2 3 X ( z) A13 [( z a ) ] | z a1 1 2 2 dz z
推广到一般情况：若含有r重根，则
1 d r X ( z) A1k [(z a1 ) ] |z a1 k 1 (k 1)! dz z
X(z)可能有多少不同的收敛域？
10.3 z反变换
由已知z变换求得一个序列的几种方法。 z反变换公式 部分分式展开法
长除法
一、z反变换公式
jw X ( re ) X ( z)
n
x[n](re

jw n
)

所以
n
n jwn n ( x [ n ] r ) e F { x [ n ] r }
k 1
例 有一z变换X(z)为
解：对X(z)进行部分分式分解
1 X ( z) ,| z | 1 1 1 1 3 (1 z )(1 z ) 4 3
Im(z) 单位圆
5 1 3 z 6
1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
××
Re(z)
Im(z)
X 2 ( z)
X 3 ( z)
n


x2 [n]z

X 4 ( z)
n n

x3[n]z n
n


[n 1]z n z
ROC :| z |
n

[n 1]z n z -1 ROC :| z | 0
例 指数函数的z变换
x[n] = anu[n]
其z变换为：
X ( z ) n a u[n]z
n
n
n 0 (az 1 ) n

X(z)要收敛，要求：


( az ) n 0
1 n


( az ) n 0
az
1
1 n
收敛域为：

1 or | z || a |
例 有一z变换X(z)为
X ( z)
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3
Im(z) 单位 圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆
× Im(z)
× Re(z)
单位圆 × × Re(z)
Im(z)
单位圆 × × Re(z)
例：设x[n]的z变换
1 2 1 z 4 X( z ) 1 2 5 1 3 2 (1 z )(1 z z ) 4 4 8
1 n
Im{Z}
ROC
Re{Z}
| z | 0
性质4：如果x[n]是一个右边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么|z|> r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
……… n
Im(z)
N1
Re(z)
性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且|z|=r0的圆位于 ROC内，那么0<|z|< r0 的全部有限z值都一定在这个ROC内。
1 n 4
Z
××
Re(z)
n Z 2( 1 ) u [ n 1] 3
2 1 ,| z | 1 1 3 1 z 3
因此,x[n]为：
1 n n x[n] ( ) u[n] 2( 1 ) 3 u[ n 1] 4
Im(z)
1 x a Re(z) Unit circle
例 x[n] = -anu[-n-1]
X ( z ) a u[n 1]z
n n

n
a z
n n 1 n
1
n
(az )
1 n
X ( z ) (az )
第10章 z变换
掌握Z 变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z 变换。
掌握求解信号Z 变换(包括正变换和反变换)的基本方法。
掌握运用Z 变换分析LTI 系统的方法。 掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性 分析方法。
掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟框
X ( z)
n n n n { 7 ( 1 / 3 ) u [ n ] 6 ( 1 / 2 ) u [ n ]} z n n
7 (1 / 3) z
n 0
6 (1 / 2) n z n
n 0

7z 6z 1 z 3 z 12 z( z 32) ( z 13 )(z 12 )

x[n]r n F 1{ X (re jw )}
x[n] r F { X (re )} n 1 jw jw n x[n] r X ( re ) e dw 2 2 1 jw jw n x[n] X ( re )( re ) dw 2 2
n
1
jw
而z=rejw
Im(z) ………
N1
n
Re(z)
性质6：如果x[n]是双边序列，并且|z|=r0的圆 位于ROC内，那么该ROC一定是由包括|z|= r0 的 圆环所组成。
Im(z) ………
………
n Re(z)
例：
x[n] b ,
|n|