_2第二章z变换

第二章 Z变换

-
第2章 z变换
表 2 1 几种序列的变换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若

X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为

X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4）双边序列：一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和，即

1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，

第二章 z变换

n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm，则有，
n

x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换

2.1
引言

2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系序列的傅立叶变换傅里叶变换的一些对称性质离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n

n
a z
n 0

n n
az
n 0

1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。一般说来，右边序列的z变换的收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。

第2章 Z变换及Z传递函数

第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0

f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0

f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数

F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号

数字信号处理——第2章离散时间傅里叶变换与Z变换

• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即：不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面

）
常见典型序列z变换
序列 Z变换收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。其它序列见P54：表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换

Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n

x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法：留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂级数说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级数。若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂级数；若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正幂级数；中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az

数字信号处理第二章Z变换

意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
系统函数：
§2.4 z反变换
部分分式法：
X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、
D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式
再利用已知的z变换：
结合收敛域写出反变换：
需要注意的问题：
LT主要问题：收敛域、极点、反变换
常用的LT：
S平面与Z平面的映射关系
连续信号xa(nT)抽样后为抽样信号的拉氏变换为
抽样序列x(n)=xa(nT) 的z变换为比较两式得s平面到z平面的映射关系为：
（主要应用于AF到DF转换）
•将s平面用直角坐标表示：
，
横坐标为，纵坐标为模拟角频率；
•将z平面用极坐标表示：
，|a|<1
|a|<|z|<1/|a|
双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的公共收敛区间。
课本P27表2.1
作业2.1(2)(6)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
，
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；
•两平面都是复平面。
(1)r与的关系
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外。
j
0
0
→
r＝0，＝0时，＝–，＝0，即z平面的原点映射

计算机控制系统第2章信号转换与z变换

F ( j )

0
f (t )e
jt
dt
1
F ( j ) F ( j jns )
T n
*
频谱幅值发生变化
s
n=0
2
T
附加频谱
(a) F ( j ) —频谱
主频谱 (b) F * ( j ) —频谱
周期频谱
非周期频谱
图2.5 频谱图
问题：如何选择采样周期 T ?
u(kT )
(t kT ) 2
2
(kT t (k 1)T )
u(kT )
1
u (kT ) u (k 1)T

T
u(kT )
1
u (kT ) 2u k 1 T u k 2 T
2
T
… …

2.3.1 零阶保持器
x1 ( t ) cos
t
8
2 7
x2 ( t ) cos
t
8

两个余弦信号的采样信号值(T=1s)
两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值；
采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠现象：
----连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低,
如s <2max (max ---信号中的最高频率)。
上图a为蒸汽加热冷水系统，其
中
．(b)---连续记录
．(c)---T=2min时采样记录
．(d)---T=0.5min时采样记录
正弦振荡信号的采样
香农（Shannon）采样定理：
“如果一个连续信号不包含高于频率 m ax 的频率分量（连续信

第二章__Z变换

第二章序列的Z 变换与傅里叶变换 2.1 引言信号与系统的分析方法:时域分析；变换域分析信号与系统的分析方法有多种连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t 的函数表示；系统用微分方程描述。

离散时间信号与系统：z 变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。

z 变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。

2.2 Z 变换的定义与收敛域一、z 变换的定义序列x(n)的Z 变换定义：双边Z 变换单边Z 变换因果序列的Z 变换: 单边Z 变换可以看成因果序列情况下的双边Z 变换z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。

z 是一个连续复变量，具有实部和虚部。

变量z 的极坐标形式单位圆:在Z 平面上|z|= 1为半径的圆单位圆上的参数可表示为例2.1 求序列的Z 变换。

解：序列x (n )是因果序列，根据Z 变换的定义分析收敛性：X (z )是无穷项幂级数。

当|z|≤a 时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。

X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为二、z 变换的收敛域收敛域: 对于给定的任意序列x (n )，使其Z 变换收敛的所有z 值的集合组成的区域。

Z 变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即使上式成立的Z 变量取值的域称为收敛域。

根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域收敛半径Rx -可以小到0，Rx +可以大到∞收敛域以原点为中心，Rx -和Rx +为半径的环域()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑∞<=∑∞-∞=-M z n x n n )(110()[()]()(2.2)n n X z x n x n z +∞-==Z =∑j ||e z z ω=j e z ω=()()n x n a u n =10011213()()()1()()n n n nn n n X z x n z a z az az az az +∞+∞+∞---=-∞==---====++++⋅⋅⋅∑∑∑1101()(),||||1n n zX z az z a az z a +∞--====--∑＞不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。

第2章z变换

的z反变换。
解：
X(z)(12z1)11(0.5z1)
z2
(z2)(z0.5)
X(z)
zபைடு நூலகம்
A1 A2
z (z2)(z0.5) z2 z0.5
A1
[( z 2)
X
(z) z
]z2
4 3
A2
[( z
0.5)
X (z)
z
] z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
同样的，当|b|>|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。
故其和为X
(z)
b1z 1 b1z
j Im[z]
z z b
收敛域： z b
Re[ z ] b
*收敛域在模最小的极（左边序列极点）点所在的圆内。
一个结论
• 由上面两个例子来看，Z变换表达式一样，不代表序列相同，还得看他们的收敛域是否一致。
• 这一点类似于差分方程不能唯一确定序列，必须给出边界条件。
大家看一下书48页的例题2-4
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)
的变换称作Z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
z变换公式：
正： X(z) x(n)zn, n
Rx z Rx
反： x(n) 1
n 1 n 2
2.部分分式法
有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。
有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。
部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式
a
axb
的和，使各分式具有 ( x A ) k 或 (x2 AxB)k

第二章--Z变换课件

n
n
n 1
(2-7)
等式第二项是有限长序列的Z变换,收敛域为有限Z平面;第一项是
正幂级数,按阿贝尔定理,必存在收敛半径Rx+,级数在以原点为中心, 以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛域的最大半径,则综合以上两项,左边序列Z变换的收敛域为
0| z|Rx
如果n2≤0,则式（2-7）右端不存在第二项,故收敛域应包括z=0, 即 |z|<Rx+。
这种变换也称为双边Z变换,与此相应的单边Z变换的定义如下:
X(z) x(n)zn n0
这种单边Z变换的求和限是从零到无穷,因此对于因果序列, 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明, 均用双边Ｚ变换对信号进行分析和变换。
2021/3/28
7
第2章 z变换
2.2.2 Z变换的收敛域显然,只有当式（2-1）的幂级数收敛时,Z变换才有意义。
对任意给定序列x(n),使其Z变换收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
按照级数理论,式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件,即要求
2021/3/28
| x(n)zn |M
n
(2-3)
8
第2章 z变换
要满足此不等式,|z|值必须在一定范围之内才行,这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示,即
2021/3/28
25
第2章 z变换
Hale Waihona Puke 例1-9 x(n)=a|n|, a为实数,求其Z变换及收敛域。解这是一个双边序列,其Z变换为
1
X (z) x(n )z nanz n a nz n
n

第2章 Z变换及离散系统分析

在
z=0
处的极、零点不影响幅频,
只影响相频。
45
例：给定系统
1 .1836+.7344z +1.1016z +.7374z +.1836z H(z) = -1 -2 -3 -4 100 1-3.0544z +3.8291z -2.2925z +.55075z
-1 -2 -3 -4
求：频率响应单位抽样响应极－零图
−1 −2
−1
−2
−M −N
上述表达式贯穿全书！
33
使分子多项式 = 0 的的 Zeros (零点零点) 零点使分母多项式 = 0 的极点) 的Poles(极点极点
34
为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为实数，所以，如果系统有复数的极、零点，那么这些复数的极、零点一定共轭出现。即：
z 平面
Re[ z ]
Im[ z ]
r =1
0
Re[ z ]
6
0
4π f s 2π f s −2π f s −4π f s
jΩ
s 平面
0
z 平面
Im[ z ]
r
0
σ
ω
Re[ z ]
7
2.2 Z变换的收敛域
幂级数
条件：除 x ( n ) 外，还取决于
r
的取值
Note:
r
是
z
的模，所以 ROC 具有
14
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
a
b
Re[ z ]
c
b Re[ z ]
0
0
c
j Im[ z ]

第2章 Z变换及Z传递函数

F ( z ) Z f ( t ) Z [ f * ( t )]

f ( kT ) z k
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法将离散时间函数写成展开式的形式

f (t ) f (kT ) (t kT )
k 0
*
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
对上式取拉氏变换，得
F(z) F (s) f (0) f (T)z f (2T)z f (kT)z
Ts f ( kT ) ( t kT ) e d t

k 0
根据广义脉冲函数的性质，可得：

F (s)
*

f ( kT ) e
kTs
k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，设并将F*(s)记为F(z)则
m 0
n 0
Z f (t kT ) f ( nT kT ) z n f ( kT ) f [( k 1)T ] z 1 f [( k 2)T ] z 2 L z k f ( kT ) z k f [( k 1)T ] z ( k 1) f [( k 2)T ] z ( k 2) L

z
k
mk k
f (mT ) z
m
k 1 m z f ( mT ) z f ( mT ) z m m 0 m0 k 1

信号与系统复习资料第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT

Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n

n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1

数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换

17
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在时有值，在时的序列。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数有一个 4 一阶极点。所以在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中，是共轭对称的，轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48

第2章 Z变换及Z传递函数

k 0
aT
k
F ( ze )
aT
第2章 Z变换及Z传递函数
9．微分定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
证明：
d [ F ( z )] Z tf (t ) Tz dz

d [ F ( z )] d k f ( kT ) z dz d z k 0
k i0 k i0
g (iT ) f ( kT iT ) g ( kT iT ) f (iT ) @g ( kT ) * f ( kT )
则
Z g ( kT ) * f ( kT ) G ( z ) F ( z )
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：由于当i >k时
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 L 1 aT 1 1 e z z at ze
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t ( e j t e j t ) 2j 1 j t j t F (z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
1
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t ) e
证明：
at
F (z e )

aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f ( kT )(e z )
1 2 z f (0) f (T ) z f (2T ) z L zk F (z) k

2 z变换与离散时间傅里叶变换

20
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
图2-5 双边序列及收敛域
21
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
2.3 z反变换
一、 z反变换的定义
1. 定义:已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列 x(n)的变换称为z反变换，表示为
x(n) Z 1[ X ( z )]
(2-9)
2. z反变换的一般公式若
c k
(2-18a)
x ( n)
2 j c
X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zm
m
k
(2-18b)
其中： Re s[ X ( z ) z n 1 ]z z 表示函数X(z)zn-1在极点z=zk
（c以内极点）上的留数。 s[ X ( z ) z n 1 ]z z 表示函数 Re
x(n), n n2 x ( n) n n2 0,
n

n2
x ( n) z n
n
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
0
n2
(2-7)
1）第二项为有限长序列的z变换,其收敛域为0<|z|<∞; 2）第一项为z的正幂次级数，由阿贝尔定理可知, 其收敛域为 0≤|z| < Rx+; 两个收敛域的交集即为左边序列的收敛域，即：
jIm[z]
|z|＝Rx＋
c o
|z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
23
第2章 z变换与离散时间傅里叶变换
二．z反变换方法直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求z反变换时，往往可以不必直接计算围线积分。一般求z反变换的常用方法有三种： 1. 围线积分法（留数法）; 2. 部分分式展开法; 3. 幂级数展开法（长除法）.

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第二章 Z变换

第二章 z变换

第2章 Z变换及Z传递函数

数字信号处理——第2章离散时间傅里叶变换与Z变换

数字信号处理第二章Z变换

计算机控制系统第2章信号转换与z变换

第二章__Z变换

第2章z变换

第二章--Z变换课件

第2章 Z变换及离散系统分析

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