当前位置：文档之家 › 第二章z变换

第二章z变换

  • 格式：pptx
  • 大小：1.62 MB
  • 文档页数：7

下载文档原格式

  / 7

合集下载

第二章 z变换

第二章 z变换


n
,
Rx z Rx
n 0,1,2,
1 x ( n) X ( z ) z n1dz , 2j c
围线积分路径
2.2 逆Z变换
一、围线积分法(留数法)
留数定理求逆Z变换：如果函数
F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有
K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm， 则有，
n


x ( n) z n M
使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。
2.2 Z变换的定义与收敛域
二、z变换的收敛域
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0
n2
n1 n n2 其它
其Z变换为
X ( z ) x(n) z n
第二章 Z变换

2.1
引言


2.2
2.3
Z变换的定义与收敛域
Z反变换
2.4
2.5 2.6 2.7 2.8
Z变换的基本性质和定理
序列的z变换与连续信号的相关变换的关系 序列的傅立叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数，系统的频率响应
第二章 Z变换
2.2 Z变换的定义与收敛域
a u ( n) z
n

n
a z
n 0

n n
az
n 0


1 n
1 , 1 1 az
za
z=a为极点 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛 域一定在模最大的有限极点所在圆之
外，对因果序列，包含z=。

_2第二章z变换

_2第二章z变换
| x(n) bnu(n 1 ) z || b |
Im[z] Rx+ 0 Re[z]
0 |z| ,
n1 0
n1 0, Rx | z |
0 |z| 序列实例： x(n)=RＮ(n) Im[z]
ROC
z || a | x(n) anu(n| )
Im[z]
Rx0 0 Re[z]
收敛域图示：
有限长序列的收敛域
右边序列
左边序列
2.5.4
Z 变换的性质和定理
(1) 线性
Z 若x(n) X ( z ) (R x1 < z <R x2 )
y(n) Y ( z)
Z
(R y1 < z <R y2 )
交集
Z 则ax(n) by (n) aX ( z ) bY ( z )
z
|Z|>1
（4）尺度变换性
x(n) ¾¾ ® X ( z)
Z
n Z
Rx < z < Rx
1
2
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
x(n)乘以指数序列等效于z平面尺度伸缩。
z z 则 a x(n) X ， R x1 R x2 a a
n2>0
0 z Rx 2
Rx 2
(2)n1=-∞ n2<0
z Rx 2
Rx 2
左边序列
【例】 求x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及其收敛域。
解 这里x(n)是一个左序列，当n≥0时，x(n)=0，
X ( z)
n
a u(n 1) z
n

第二章z变换

第二章z变换

ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0

如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n

lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。

1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2

n
b u ( n 1)z
n

n
= a z
n n 0


n

n
b
n 0
1
z
n
= a z

第二章Z变换

第二章Z变换

n
n
n1 (2-7)
等式第二项是有限长序列的Z变换，收敛域为有限Z平面；第一项
是正幂级数，按阿贝尔定理，必存在收敛半径Rx+，级数在以原点 为中心，以Rx+为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx+为收敛 域的最大半径，则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为
0 | z | Rx
如果n2≤0，则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z=0， 即|z|<Rx+。
nn1
设x(n)为有界序列，由于X(z)是有限项级数之和，除0与∞两
点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个Z平面均收敛。如果 n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收敛域不包括z=0点； 如果是因果序列，收敛域包括∞点。具体有限长序列的收敛域表
示如下： n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z | n1 0, n2 0时 0 | z |
阿贝尔（N.Abel）定理可推知，存在一个收敛半径Rx-，级数在 以原点为中心，以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此， 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛。所以，如果Rx-是 收敛域的最小半径，则右边序列Z变换的收敛域为
Rx-<|z|<∞ 右边序列及其收敛域如图1-23所示。
第2章 z变换
2j c
c (Rx , Rx )
(2-12)
jIm[z]
c o
第2章 z变换
|z|＝Rx＋ |z|＝Rx－
Re[z]
图2-11 围线积分路径
第2章 z变换
证
1
2j
X (z)zn1dz 1
c
2j
c
mx(m)

第二章(2)序列的Z变换.

第二章(2)序列的Z变换.

Im(z)
Rx
Re(z)
Rx
1
解：X (z) a n zn an zn an zn an zn an zn
n
n
n0
n1
n0
第一部分收敛域为 az 1,
z
|
1 a
| ，X
(
z)的收敛域为：a
z
a －1
第二部分收敛域为 az－1 1,
z
a
X (z)
az 1 az
1
1 az
1
(1
j Im(z)
0
Re( z )
Rx+
例2.5.4 求x(n) anu(n 1)的Z变换并确定其收敛域
解：X (z) an zn an zn＝ (a1z)n
n1
n1
n1
a1z (a1z)n
n0
a1z 1 a1z
1 1 az1
收敛域为： a1z 1, z a
3. 双边序列Z变换及收敛域
2.5.3、逆Z变换
一.定义： 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z 1[X (z)]
z变换公式：

正：X (z) x(n)zn , Rx z Rx n
Ñ 反：x(n) 1
2 j
X (z)zn1dz,
c
c (Rx , Rx )
(2.5.5)
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义
设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双边Z变换 单边Z变换
X (z) x(n)zn n
X (z) x(n)zn n
(2.6.1) (2.6.2)
1.收敛域定义

第二章Z变换

第二章Z变换
收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些 组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩 大。
20
❖ 例：已知x(n)=cos(ω0n)u(n)，求它的z变换。 解：
Z
[cos(
0
n
)u
(
n
)]＝
Z
e
j
0
n
e j0n 2
u(n)
1 2
e j0nu(n)
1 2
e j0nu(n)
因为已知
试利用部分分式法求Z反变换。
X (z)
z2
,
( z 2 )( z 0 .5 )
| z | 2
X (z)
z
z ( z 2 )( z 0 .5 )
X (z)
z
A1 A2
z ( z 2 )( z 0 .5 ) z 2 z 0 .5
A1
(
z
2)
X
(z) z z 2
z
z 0 . 5 z 2
1
２．１ ２．２ ２．３ ２．４
２．５
Ｚ变换的定义与收敛域 Ｚ反变换 Ｚ变换的基本性质和定理 序列的Ｚ变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应
2
２．１ Ｚ变换的定义与收敛域
２．１．１ Ｚ变换的定义
对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为
X(z) x(n)zn n
超前。
证：Z [ x ( n m ) ] x ( n m ) z n z m x ( k ) z k z m X ( z )
n
k
对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是 单边序列在z=0或z=∞处收敛域可能有变化．
例如，Z[δ(n)=1]=1，在z平面处处收敛，但是

2第二章-z变换

2第二章-z变换
n n 0 n
1 1 1 az
z a
教材P .54 有部分序列的z变换及其收敛域 掌握：1，2，4，6，7，8
例题
解：
二、Z反变换
1. 定义 从给定的z变换X(z)中还原序列x(n)
x(n) IZT [ X ( z )]
2 . 求法 围线积分法（留数法） 部分分式展开法
序列乘以指数序列
序列的卷积和
时域
y(n) x(n) h(n)
若
X ( z ) ZT [ x(n)] H ( z ) ZT [h(n)]
Rx < z < Rx Rh < z < Rh
z域 Y ( z ) ZT [ y (n)] H ( z ) X ( z ),





n

n


xa (nT ) (t nT )e st dt
xa (nT )e nsT
抽样序列 x(n) xa (nT ) 的z变换
X ( z)
sT 显然，当 ， 抽样序列的z变换就等于其理 想抽样信号的拉普拉斯变换。
ze
n
x ( n) z n
>> H=freqz(num,den,w);
幅 频 响 应
>> plot(w,abs(H))
>> plot(w,angle(H))
相 频 响 应
例2
已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 0 | | c 1 j H (e ) c <| | 0
解： h(n) IDTFT [ H (e j )] 1
2

第2章--Z变换及Z传递函数

第2章--Z变换及Z传递函数
sin t cost
F(z)
z za
z z eaT
z sin T z2 2z cosT 1
z(z cosT ) z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
i0
则
G(z)
F(z) 1 z 1
7．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
9．微分定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
G1 (z) G2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 (z) G1 (z) G2 (z)
在进行计算时，应引起注意。
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )

第二章Z变换

第二章Z变换

左边序列的n Z 变 换的收敛域n 一 定位于最内n 部 1 极点的内部，
其收敛域为：
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
1
X (z ) x (n )z nx (n )z n x (n )z n
n
n 0
n
双边序列 的收敛域
X(ej)1a1ej
za
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n)anu(n1)
1
X(z) anzn anzn
n
n1
1aa1z1z 11az1
za
例3. x(n)(1)nu(n)2nu(n1)
2
X (z) (1)n zn 1 2n zn
n0 2
n
1
1 1
z 1
1
1 2 z 1
2
ROC: 1 z 2 2
定包括 z 点。
因果序列的收敛域为： Rx z
例1．考虑一系统，其中 H(z)11 1z112 1z1
判断其是否为因果系统？
2
z2
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。
把H(z)表示成两个多项式之比
数形式 的反变X换( z。)
3. 留数法：
由留数定理有：
x (n )1 2j
cX (z)zn 1 d zR e s[X (z)zn 1 ,zi] i
x ( n ) 等 于 X ( z ) Z n 1 在 围 线 积 分 C 内 所 有 极 点 Z i 上 的 留 数 的 总 和

第2章Z变换v3

第2章Z变换v3

a u n z
n 1

n
a z
n 0

n n
az
n 0

1 n

1 az az
当
1 2

az
1 n

z a 时，这是无穷递缩等比级数。
1
a1 1 z q az , S 。 1 1 q 1 az za z a为极点，在圆 z a 外， X z 为解析函数，故收敛。
综上述所， 有
n<0
x n a u n
n
实际上，由ROC可知，本序列一定是因果序列， 所以： 当n<0时，一定有x(n)=0.
电子工程学院
1 , z 4，求z反变换。 例. 已知 X ( z ) 1 4 (4 z )( z ) 4
第二章 序列的Z变换
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
模拟信号傅里叶变换拉普拉斯变换 时域离散信号傅里叶变换Z变换 时域 频域 复频域
电子工程学院
2.5.1 Z变换的定义及收敛域
z为复变量
一.Z变换定义：
序列x(n)的Z变换定义如下：
X z Z x n
z zk
(2.5.7)
Res X z z n 1 , zk 1 d z zk N X z z n 1 N 1! dz N 1 zz
N 1
(2.5.8)
k
电子工程学院
根据留数辅助定理，有：
2 j
k
1
c
X z z n 1dz
j Im[ z ]
a

2Z变换

2Z变换

n 1
dz
• X(z) 可以看作经过算子z由序列x[n]变换 而来，z是一个连续复变量.
• z 是一个能表示成极坐标形式的复变量 :
– z = rejw
Z变换和傅立叶变换之间的关系
• 序列x[n] 的z变换X(z) 为 :
X(z)
n
x [ n ]z


n
{x[ n]}

序列 1. d[n] 2. u[n] 变换 1 z/(z-1) ROC all z |z|>1
3. -u[-n-1]
4. d[n-m] 5. anu[n] 6. -anu[-n-1]
z/(z-1)
z-m z/(z-a) z/(z-a)
|z|<1
all z except 0 if m>0 or ฅ if m<0 |z|>|a| |z|<|a|
单位圆
• 显然，对于r = 1，z变换变为傅立叶变换.
• Z变换是一个复变量的函数，因此便于用复Z平 面来描述和解释。 • 对应于|z| = 1 是半径为1的圆，称为单位圆
• 单位圆上的Z变换对应于傅立叶变换。
复Z平面上的单位圆
Im
Unit Circle
z = ejw
w 1
Re
z-plane
收敛区域
Z反变换
• 观察法 有某些熟悉的或者凭观察就能辨认出的变换对构成。 • 部分分式展开法
X(z)
k 0 N
bk z a
k
M
k

z k
b0 a0
(1 c k z 1 )
M
k 0
(1 d
k 1
k 1 N

第二章(2)序列的Z变换

第二章(2)序列的Z变换

z
n
Im [z ]
1 0
za
C
当 n 0时 , 因 为 z a， 围 线 c内 F ( z ) 有 一 个 单 阶 极 点 z a , 围 线 c 外 有 一 个 n阶 极 点 z
a R e [z ]
x(n) Re s[ X ( z ) z
k 1
1
n 1
, zk ] Re s[ F ( z ), a] ( z a)

n 1
n2
x(n) z
n
j Im(z )
若 n2 0, 级 数 没 有 负 幂 项 ， 其 收 敛 域 为 0 z R x 若 n2 0, 其 收 敛 域 为 0 z R x 总之，其收敛域是半径为的圆内部，是否包括 原点由的具体取值而定
0
Rx+
Re(z )
例 2 . 5 . 4 求 x ( n ) a u ( n 1)的 Z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
X (z)

n

x(n) z
n
收敛的所有Z值之集合，即
为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence)
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。

n

x(n) z
n

（ 2 .6 .3 ）
j Im[ z ]
3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义 设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双 边 Z变 换 X (z) X (z)


n
x (n ) z
n
(2 .6 .1 )

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)
f (n )
F(e
jωC
1 ) F(e j 0 ) 2
1
2
1 a 2a cosωC

1 2( 1 a)
ωC 0.006 rad
1
c f f s 15 Hz 2π
F ( e j )
...
1 2 1 a
0
n
2

c

2

三、FT与DTFT的关系
1 j ˆ a ( j) | T X a ( j 2k ) X (e ) X T k T
z e
数字频率表示z平面的辐角，它和模拟角频率的 关系为
f T 2 fs fs
所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或 是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2
X ( z ) |z e
j
1 2k j X (e ) X a ( j ) T k T
FT
x1 (n) e
jω0 n

DTFT
X 1 (e jω ) 2π
FT
m
(ω ω

0
2mπ )
2） cosω0t π [δ (Ω ω0 ) δ (Ω ω0 )]
x2 (n) cosω0 n
DTFT
π
m
[ (ω ω
1 1 n 1 x ( n) |z|1 X ( z) z dz 2 2j
X (e


j
)e
jwn
dw
• 序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆 上的值
• 利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。
例1、计算门序列的DTFT

第二章2 Z变换的定义

第二章2 Z变换的定义

2. Z 变换的定义及收敛域1. Ｚ变换的定义对于一个序列x(n)，它的Z 变换定义为()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑其中Z 为一个复变量，上式定义的Z 变换称为双边Z 变换或标准Z 变换。

序列的Z 变换实质上是以序列x(n)为加权系数的z 的幂级数之和。

如n 的取值范围0到+∞，则序列的单边Z 变换为()()nn X z x n z∞-=-∞=∑序列的单边Z 变换是以序列x(n)为加权系数的z 的负幂项的级数之和。

2．从抽样吸纳后的拉普拉斯变化引出Z 变换 连续信号x(t)冲激抽样信号可表示为：()()()s s s n x nT x t t nT δ∞=-∞=-∑()()s s nx nT t nT δ=-∑对()s s x nT 取拉普拉斯变换，得()()sts s X s x nT e dt ∞--∞=⎰()()sts s nx nT t nT e dt δ∞--∞=-∑⎰()()s s snT sT s n x nT e X e ∞-=-∞==∑令s sT z e =，并将T 归一化为1，()s x nT 简写为()x n 则同样可得到离散信号的 z 变换：()()nn X z x n z∞-=-∞=∑对比： 拉普拉斯变换 Z 变换 对应离散信号,s j σ=+Ω(2f πΩ=是相对连续系统和连续信号的角频率） 则()s s s s sT j T T j T z e e e e σσ+ΩΩ===⋅， 令,s T r e σ=， 2s s T f f ωπ=Ω=是相对于离散系统和离散信号的圆周频率（rad ）， 则j z re ω=。

将j z re ω=代入()()nn X z x n z∞-=-∞=∑可得：()()()j nn X z x n reω∞-=-∞=∑=[()]nj n n x n re ω∞--=-∞∑上式表明，只要()nx n r -满足绝对可和的收敛条件，即()n n x n r ∞-=-∞<∞∑，则x(n)的Z 变换存在。

数字信号处理,第二章 Z变换讲解

数字信号处理,第二章 Z变换讲解

各个变换的关系：
连续： L[h(t)]
系 统 函 数
x(t)est dt 0
x(t)e jt dt
s=jΩ
X(S)
X(j)
z=esT
=T
X(z)
z=ejω
X(ejω)
模拟：x(t)
频
率 响
t=nT
应s
离散： Z[h(t)]
x(n)z n
n
x(n)e jn
n
数字：x(n)
§2.6 离散系统的系统函数和 系统的频率响应
横坐标为实轴，纵坐标为虚轴； •两平面都是复平面。
z e sT re j e( j)T eT e jT
r eT , T
(1)r与的关系 (r eT )
→
=0,即S平面的虚轴→r=1,即z平面单位圆； <0,即S的左半平面→r<1,即z的单位圆内； >0,即S的右半平面→r>1,即z的单位圆外 。
j
0
0
→
r＝0，＝0时， ＝–，＝0，即z平面的原点映射到
s平面的实轴上负无穷远处。
(2)与的关系（=T）
的取值范围是从-→（负频端无意义，只是
用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显 的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值
关系，所以要把限制在一个周期内。
= T,从–→， 所以在一个周期内：为–/T→/T
z zk
再利用已知的z变换：
Z[ Ak zknu(n)]
Ak
z z zk
或Z[-Ak zknu(-n -1)]
Ak
z z zk
N
结合收敛域写出反变换： x(n) A0 Ak (zk )n
k 1

第二章_Z变换

第二章_Z变换
n →∞ m = −1 n −m
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域

(完整版)数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT文档

(完整版)数字信号处理(程佩青) 第二章 Z变换PPT文档

27
1.围线积分法（留数法）
X(z)zn-1在任意一极点zr处的留数
（1） zr 是X(z)zn-1的单（一阶）极点
R e s X z z n 1 z z r z z r X z z n 1 z z r
（2） zr 是X(z)zn-1的多重（l 阶）极点
R e s X zzn 1 z z r l 1 1 !d d z ll 1 1 z z rlX zzn 1 z z r
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
33
各系数的求法:
(1)Bn可用长除法求得。
(2) A k 1 z k z 1X z |z z k z z k X z z z z k R e s X z z z z k
式中C是X(z)收敛域内的环绕原点的一条反时针方向的闭合
围线。
25
1.围线积分法（留数法）
比较z变换的定义式 X(z) x(n)zn
和（2.5）式
n
Xz Cnzn n
可以发现，x(n)就是罗朗级数的系数，即：
xn21j
Xzzn1dz
C
CRx,Rx
这就是用围线积分的z反变换公式：
26
1.围线积分法（留数法）
{Z：X(z)存在}＝收敛区域。
注意：z变换收敛域的概念很重要，不同的 序列可能有相同的z变换表达式，但是收敛域却 不同。所以应该特别注意，只有当z变换的表达
式与收敛域都相同时，才能判定两个序列相等。
10
2. z变换的收敛域
收敛条件：按照级数理论， X(z) x(n)zn
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
1、围数积分法求解（留数法）
若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K 个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：
j Im[z]
x(n)
1
2j
c
X
( z ) z n1dz
C
Rx
0
Rx
Re[z]
Re s[ X (z)zn1]zzk k
or Re s[ X (z)zn1]zzm m
n0
j Im[z]
后式Roc: Rx z
当R x
Rx时，Roc :
Rx
0
Re[z]
Rx
当R x
R x
时，Roc
:
Rx
z
Rx
例1
[n]ZT 1,0 z
δ [n]zn 1 n
收敛域应是整个z的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = RN (n)zn
n
1）有限长序列
x(n)
x(n) 0
n1 n n x(n)zn
n n1
Roc至少为： 0 z
j Im[z]
Re[z] 0
• 除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。
X (z) x(n1)zn1 x(n1 1)z(n11) L x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 L x(n2 1)z(n21) x(n2 )zn2
j Im[z]
a
b 0
c
Re[z]
j Im[z]
a
b Re[z]
0 c
j Im[z]
a 0
b Re[z] c
j Im[z]
a
b 0
Re[z] c
§2.2 z反变换
z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
x(n) IZT[X (z)]
X (z) ZT [x(n)] x(n)zn
n
• 实质：求X(z)幂级数展开式 • z反变换的求解方法：
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
n
n
N 1
=
zn
1 zN 1 z1
n0
zN 1 z N 1(z 1)
n2 qn qn1 qn2 1
n n1
1 q
n2 时须满足 q 1
j Im[z]
零点：z
e
j 2 r
N
r 1,..., N 1
Re[z]
极点：z 0 （N 1）阶
0
Roc : 0 z
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域
3）左边序列
0
x(n)
x(n)
n n2 n n2
当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx
j Im[z]
Re[z]
0
Rx
n2 0
4）双边序列
n为任意值时皆有值
1
其z变换：X (z) x(n)zn x(n)zn
n
前式Roc: 0 z Rx
n
n
n
n0
= an zn an zn
n 1
n0
Q anzn
az
n 1
1 az
az 1 z 1/ a
Q
an zn
n0
1 1 az1
az1 1 z a
当 a 1时，无公共收敛域，X(z)不存在
当a
1时，X (z)
az 1 az
1
1 az
1
z(1 a2 ) (1 az)(z a)
解：X(z)= x(n)zn = anu(n)zn = an zn
n
n
n0
1
1 az
1
当 az1 1时
j Im[z]
Roc : z a 零点：z 0 极点：z a
a
Re[z]
0
例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域
解：X(z)= x(n)zn = anu(n 1)zn
n
n
= an zn = an zn
n 1
n1
当 a1z 1时 j Im[z]
a 1 z 1 a1z
1 1 az1
Roc : z a
a Re[z]
0
零点：z 0 极点：z a
例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域
1
解：X(z)= x(n)zn = a n zn = anzn anzn
当n1 0时，Roc : Rx z
•因果序列的z变换必在∞处收敛 •在∞处收敛的z变换，
其序列必为因果序列
阿贝尔定理 j Im[z]
Rx
0
Re[z]
n1 0 包括z 处
阿贝尔定理
若幂级数 an xn在x0 0收敛，则在 x x0 内都收敛 n0
若幂级数 an xn在x1发散，则幂级数在 x x1 都发散 n0
• 如果n2≤0 ，则收敛域不包括∞点
n1 0, n2 0时，0 z
如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
n1 0, n2 0时，0 z
如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
n1 0, n2 0时，0 z
2）右边序列
x(n)
x(n)
0
n n1 n n1
当n1 0时，Roc : Rx z
一、ZT的定义
X (z) x(n)z n n
x(n) X (z), z : (1, 2)
z 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域
• 对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。
• 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
x(n)zn M
Re s[F(z)]zzr [(z zr )F(z)]zzr
1、围数积分法求解（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域
Rx
z
R x
,
（R x
0,
R x
）内是解析的，则
在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
而
X (z) Cn zn Rx z Rx
n
i Cn
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 ——变换域分析方法
连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT