2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ）
文科数学
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的表面积公式 24S R π=, 球的体积公式3
34
V R π=
,其中R 表示球的半径
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次
的概率 ()C (1)(0,1,2,)k n k
n n
P k p p k n -=-=L 第Ⅰ卷 （选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题
（1）设全集{
}
*
U 6x N
x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B = ð（ ）
（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式
302
x x -<+的解集为（ ）
（Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 （Ｄ）{}3x x > （3）已知2sin 3
α=
，则cos(2)πα-=( )
(A) 53
- (B) 19
- (C) 19
(D) 53
（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是( )
(A) 1
1(0)x y e x +=-> (B) 1
1(0)x y e
x -=+> (C) 1
1(R )x y e
x +=-∈ (D) 1
1(R )x y e
x -=+∈
(5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =( )
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则( )
（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-
（8）已知三棱锥S A B C -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，
SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( ) （A ）
34
（B ）
54
（C ）
74
（D ）
34
（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标
号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
（10）ABC V 中，点D 在A B 上，CD 平分ACB ∠．若C B a =uur r ，C A b =uur r ，1a =r ，2b =r ，
则C D =uuu r
（ ）
（A ）1233a b +r r （B ）2133a b +r r （C ）3455a b +r r （D ）4355
a b +r r
（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱AB 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点( )
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个 （12）已知椭圆C ：
22
x a
+
2
2b
y =1(0)a b >>的离心率为
2
3，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）
的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =( ) （A ）1 （B ）
2 （C ）
3 （D ）2
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 （13）已知α是第二象限的角，1tan 2
α=，则cos α=___________.
(14) 9
1()x x
+
的展开式中3x 的系数是__________
(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交
于点A,与C 的一个交点为B,若AM M B =uuu r uuu r
，则p =_________.
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，
AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）
△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13
B = ,3cos 5
A D C ∠=
.求AD.
（18）（本小题满分12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且
121
2
112(
)a a a a +=+，3453
4
5
11164(
)a a a a a a ++=++.
(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2
1()n n n
b a a =+
,求数列{}n b 的前n 项和n T .
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1
上的一点，AE=3EB 1.
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45o
,求二面角A 1-AC 1-B 1的大小.
