2无界函数的反常积分

无界函数的反常积分无界函数是指在某一点的邻域内，函数的值没有上下界限的函数。

它在数学领域中具有重要的应用和研究价值。

而反常积分则是无界函数的一个重要概念，它对于解决一些特殊问题以及在物理学、工程学等领域中的应用都具有重要意义。

反常积分是指对于某些无界函数，在某一区间内进行积分运算时，所得到的结果可能是无穷大或者不存在的情况。

这种情况常常出现在函数在积分区间某些点上的奇异性或者发散性导致的。

因此，对于这类函数的积分计算，需要采用一些特殊的方法和技巧来处理。

我们需要了解反常积分的分类。

反常积分可以分为第一类和第二类反常积分。

第一类反常积分是指当积分区间的一个端点是无穷大时，或者函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。

而第二类反常积分则是指当积分区间为有限区间时，函数在积分区间某一点上的极限为无穷大时，所得到的积分结果是无穷大或者不存在的情况。

对于第一类反常积分，常用的处理方法是通过取极限的方式进行计算。

例如，对于无界函数f(x)在区间[a,b]上的积分∫[a,b]f(x)dx，如果在x=a处存在极限lim(x→a)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→a)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→a)∫[x,b]f(t)dt。

同样的，如果在x=b处存在极限lim(x→b)f(x)=L，则可以将其转化为∫[a,b]f(x)dx=lim(x→b)∫[a,x]f(t)dt+lim(x→b)∫[x,b]f(t)dt。

通过这种方式，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。

对于第二类反常积分，常用的处理方法是通过分部积分、换元积分等技巧进行计算。

通过这些技巧，我们可以将无界函数的反常积分转化为有界函数的积分，从而得到积分结果。

同时，对于某些特殊的无界函数，还可以利用级数展开的方法进行计算。

除了以上的处理方法，还有一些特殊的无界函数的反常积分计算方法。

反常二重积分一、无界区域上的二重积分与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义．定义 1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在，且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限图1都存在且取相同的值，则称反常二重积分收敛于，即==否则，称发散．对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式．1．==或==2．D ),(y x f D C D C D ⎰⎰σCDd y x f ),(C C D D ⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(I ⎰⎰σDd y x f ),(⎰⎰σ→CC D DD d y x f ),(limI ⎰⎰σDd y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx Mc b aM ),(lim⎰⎰+∞→dyy x f dx cb a),(⎰⎰+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy baM cM ),(lim⎰⎰+∞→dxy x f dy bac),(⎰⎰+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D==或==3．==或==也可在极坐标系下计算==定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积.定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且()),(,0y x g y x f ≤≤.那么(1)当⎰⎰Ddxdy y x g ),(收敛时,⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散时,⎰⎰Ddxdy y x g ),(发散.推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≤(c 是常数),如果 α>2,⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx N cM aM N ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dyy x f dx ca),(⎰⎰+∞+∞⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy M aN cN M ),(lim⎰⎰+∞→+∞→dxy x f dy ac),(⎰⎰+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ⎰⎰Ddxdyy x f ),(dyy x f dx M MN NN M ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dyy x f dx ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(dxy x f dy N NMMM N ),(lim⎰⎰--+∞→+∞→dxy x f dy ),(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎰⎰Ddxdyy x f ),(rdrr r f d RR )sin ,cos (lim020θθθ⎰⎰π+∞→rdrr r f d )sin ,cos (020θθθ⎰⎰+∞π则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当22y x +足够大时, α)(),(22y x c y x f +≥(c 是常数),如果 α≤2,则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例1 设=，计算解 方法一方法二例2 计算二重积分，其中D 是由曲线在第一象限所围成的区域．分析：区域D 是无界区域，且从下列图形可以看出，D 是型区域，化成累次积分时应先对积分． 解法一：= 图8.26D }0,0|),{(+∞≤≤+∞≤≤y x y x dxdy y x D ⎰⎰++)1)(1(122dy y dx x dxdy y x M M M D 2020221111lim )1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞→M M M yx 0arctan arctan lim +∞→=4)2()(arctan lim 222π=π==+∞→M M dy y dx x dxdy y x D 2020221111)1)(1(1++=++⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=0arctan arctan yx 4)2(22π=π=⎰⎰-Dydxdy xe 2,42x y =29x y =y x }0,23|),{(+∞≤≤≤≤=y yx y y x D ⎰⎰-Dydxdyxe2dxxe dy y yy 223-∞+⎰⎰=dy e y y y ⎰-+∞-2)9141(21解法二：设，则二、无界函数的反常积分设D 是平面R 2中有界可求面积区域， P 是的聚点, ()y x f ,是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界(P 称为奇点或瑕点),. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在 D - Δ上可积. 设{}∆∈-+-=),(),,(|)()(sup 2211221221y x y x y y x x d .如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim存在, 则称()y x f ,在D 上可积, 这个极限也称为()y x f ,在D 上的反常二重积分. 还是记作:()⎰⎰Ddxdy y x f ,, 即()⎰⎰Ddxdy y x f ,=⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim 0. 当()y x f ,在D 上可积时, 称()⎰⎰Ddxdyy x f ,收敛. 如果⎰⎰∆-→D d dxdy y x f ),(lim不存在, 我们还用()⎰⎰Ddxdy y x f ,这个记号,也称为()y x f ,在D 上的无界函数反常二重积分, 但这时我们称这个反常二重积分发散.与无界区域的反常二重积分一样, 可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理.定理 3 设D 是平面R 2中有界区域， P (x 0, y 0)是D 的聚点, ()y x f ,14451445725022=-==+∞--+∞⎰y y e dy ye }0,23|),{(b y y x y y x D b ≤≤≤≤=⎰⎰-Dydxdy xe 2dxxe dy y y y b b 223lim-+∞→⎰⎰=dy e y y y b b ⎰-+∞→-=2)9141(lim 2101445)1(lim 1445lim 725220=--==-+∞→-+∞→⎰b b y b b e dy ye是D (可能除P 以外)上的函数, 在P 的任何邻域内无界,. 设Δ为含有P 的任何小区域, ()y x f ,在D - Δ上可积,那么 (1)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≤(c是常数),如果 α<2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(收敛;(2)当2020)()(y y x x -+-足够小时,α))()((),(2020y y x x cy x f -+-≥(c 是常数),如果 α≥2, 则反常二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(发散.例3 求⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x .解 显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点, 取Δ: )1(,222<≤+ρρy x , 那么⎰⎰⎰⎰≤+≤→≤++=+12212222222)(1lim)(1y x my x mdxdy y x dxdy y x ρρ2,2,ln lim 2)1(21lim 21lim 10201200=≠⎪⎩⎪⎨⎧--==⎰⎰→-→-→m m mdr r d m m ρρρπρρπρπθ 当2<m ,mdxdy y x y x m-=+⎰⎰≤+22)(112222π, 当2≥m , ⎰⎰≤++12222)(1y x mdxdy y x 发散.三、泊松积分在概率论中要用到一种重要的广义积分—泊松积分例4 计算．解 ，令，则计算 1) ⎰⎰≥+++144222)(y x dxdy y x yx ;2) ⎰⎰≤++-1222222y x dxdy y x y x ;22π=-∞+⎰dx e x dxex 2221-∞+∞-π⎰2222122)2(2x dedx ex x -∞+∞--∞+∞-⎰⎰π=π212)2(x dex -∞+∞-⎰π=tx=211122221222)2(2=π⋅π=π=π=π-∞+∞--∞+∞--∞+∞-⎰⎰⎰dt e x dedx et x x3）4)5)设，问取何值时，该广义积分收敛？。

第3章 不定积分、定积分及其应用
第8讲
反常积分
主讲教师 |
引 言
现在需要考虑无穷区间上的积分，或者无界函数的积分，
这样的积分通常称为反常积分或广义积分.
本节将介绍无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分.
本节内容
01 无穷区间上的反常积分
02 无界函数的反常积分
引例
思路
x y O b 1
e x y -=x y
O A
1e x y -=
Ὅ定义3.4
￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿（1）上述三种积分统称为无穷限反常积分,也称὎注
为无穷积分。

Ὅ例1
解因为
而
所以发散，因而发散.
Ὅ例2
解由于
所以反常积分￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿发散.
Ὅ 例3解
计算
a b y
O x
2
11y x =+
὎注
本节内容
01 无穷区间上的反常积分
02 无界函数的反常积分
Ὅ定义3.5
Ὅ定义3.6
὎注
（1）无界函数的反常积分也称为瑕积分.
Ὅ例4解
由于
Ὅ例5
解
学海无涯，祝你成功！。