谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式共32页文档

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一、个体词、谓词、量词的概念


个体常项：具体的客体，用a, b, c表示。
个体变项：抽象或泛指的事物，用x, y, z表示。 例：x高于y。x，y都是个体变项。 个体域（论域）: 个体变项的取值范围。

有限个体域 即个体域是 有限集合
无限个体域 即个体域是 无穷集合
全总个体域 宇宙间一切 事物组成。
“ 1”, 则 L(2,1) 就是命题“ 21” 。此时二元谓
词变成0元谓词。
同理：一元谓词F(x)中的x代以个体“小王”， 则F(小王)就是命题“小王是女孩”。也是0
元谓词。
谓词逻辑包括命题逻辑。
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一、个体词、谓词、量词的概念
例1：用0元谓词将下述命题符号化。 (1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设 p: 墨西哥位于南美洲 符号化为 p, 该命题为真命题。 在一阶逻辑中, 设 a：墨西哥； F(x)：x位于南美洲； 符号化为F(a)
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4.
二、个体变项的自由出现与约束出现
例1：说明以下各式量词的辖域与变元的约 束情况：
（1） x(F(x,y)G(x,z))
A=(F(x,y)G(x,z))为的辖域， x为指导变元, A中x的两次出现均为约 束出现，y与z均为自由出现。
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二、个体变项的自由出现与约束出现
（ 2 ）xy( P( x, y) Q( x, y )) xP( x, y)
（ 2 ）x( F ( x, y) yG( x, y, z ))
x( F ( x, y ) tG( x, t , z ))
或 x( F ( x, w ) yG( x, y, z ))
三、公式的解释
引例：给定公式 A=x(F(x)G(x)) 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A = 成真解释

谓词逻辑基本推理公式
谓词逻辑的基本推理公式包括：
1. 全称量词规则：如果个体域中每一个个体具有性质A，则存在一个个体具有性质A。

即，能找出一个就表示存在。

公式为A ( c ) ⇒∃ x A
( x )A(c)\Rightarrow\exists xA(x)A(c)⇒∃xA(x)。

规则成立的条件是c是个体域中某个确定的个体，代替c的x不在A©中出现过。

2. 存在量词规则：如果个体域中存在个体具有性质A，则至少存在一个个体具有性质A。

公式为∃ x A ( x ) ∀ y A ( y )\exists xA(x)\forall yA(y)∃x A(x)∀yA(y)。

3. 归结推理：将公式中的量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。

4. 代入规则：把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号。

5. 解释（赋值）：谓词公式A的个体域D是非空集合，则每一个常项指定D中一个元素；每一个n元函数指定Dn到D的一个函数；每一个n元谓词指定Dn到{0,1}的一个谓词。

按这个规则做的一组指派，称为A的一个解释或赋值。

以上是谓词逻辑的基本推理公式，通过这些公式可以推导出更复杂的逻辑推理结果。

如 F(x)G(x), xF(x)yG(y)是pq的代换实例 定理 重言式的代换实例都是重言式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
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实例
例 判断下列公式的类型 (1) ∀xF(x)→∃xF(x)；
设I为任意的解释，若∀xF(x)为假，则 ∀xF(x)→∃xF(x)为真. 若∀xF(x)为真，则∃xF(x)也为 真，所以∀xF(x)→∃xF(x)恒为真. 是逻辑有效式. (2) ∀xF(x)→(∀x∃yG(x,y)→∀xF(x))； 重言式p→(q→p) 的代换实例，是逻辑有效式.

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基本概念 —谓词：0元谓词
例 将命题“2是素数且是偶数”用0元谓词 符号化 设F(x)：x是素数； G(x)：x是偶数；a: 2 则F(a)G(a)表示“2是素数且是偶数” F(a)和G(a)都是0元谓词，不仅如此 F(a)G(a)也是0元谓词， F(x)G(x)是一个1 元谓词，表示x既是素数又是偶数这一性质. 以个体常元a代入x，从而消去个体变元，便 得到0元谓词F(a)G(a)
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例 (续 )
(2) 2 是无理数仅当 3是有理数 在命题逻辑中, 设 p： 2 是无理数，q： 3 是有理数. 符号化为 p q 在谓词逻辑中, 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F ( 2 ) G( 3 ) (3) 如果2>3，则3<4 在命题逻辑中, 设 p：2>3，q：3<4. 符号化为 pq 在谓词逻辑中, 设 F(x,y)：x>y，G(x,y)：x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4)
基本概念 ——谓词：元数
谓词的元数: 谓词中包含的个体的个数， 例如 F(x,y,z)含有三个个体，其元数为3 一元谓词: 表示事物的性质或状态，如F(苏) 多元谓词 (n元谓词, n2): 表示事物之间的 关系. 例如 L(x,y)表示x与y有L关系， 若L表示…大于…，则L(x,y)表示x>y， 若 L 表示 …是 … 的妻子，则 L( 圆 , 又 ) 表示 高圆圆是赵又廷的妻子. n 元谓词规定了 n个个体的顺序，不可随意颠 倒 . 例如 L(圆,又)不能写L(又,圆)

命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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好比有2个李勇，一个是正坐在家里看电视的“李勇”，
一个是在马路上散步的“李勇”，
为了避免这种“误会”出现，要对“约束变元”改名。
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 分析x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z))变
元身份 解：尽管x在公式x(F(x)G(y))出现，又在
y(H(x)L(x,y,z))出现，但两个x不是一回事， 只是恰巧二个名字相同而矣，
x是量词的指导变元。 (F(x,y)G(x,z))是量词的辖域 在 (F(x,y)G(x,z))中x是约束出现，出现2次。 在(F(x,y)G(x,z))自由出现的变元y/z，各一次。
谓词公式及解释-个体变元的身份 量词指导变元：xA和xA中的x 量词辖域：xA和xA中的A为量词/辖域 变元的约束出现：指导变元的每次出现(称约束变元)。 变元的自由出现：不是约束出现的变元(称自由变元) 。 例题 x(F(x,y)G(x,z)) 例题 x(F(x)G(y))y(H(x)L(x,y,z)) 解：
与变元约束情况
解：x、y的作用域是(P(x,y)Q(y,z))， x的作用域是P(x,y)。
将与自由变元同名约束变元yr， 将与前一个同名约束变元xs，则原公式
xr(P(x,r)Q(r,z))sP(s,y)
谓词公式及解释-个体变元的身份 例题 x(P(x)xQ(x,z)yR(x,y))Q(x,y)
(4)同一样公式在不同的论域下真值不同，究竟 如何确定一个公式的真值呢？
谓词公式及解释
非逻辑符号:个体常元、函数符号、谓词符号 逻辑符号:个体变元、量词符号、联结词、逗号、 括号。
项的定义：个体常元与变元及其函数式为项。
(1)个体常元和个体变元是项。 (则2)若(t1,(tx2,1…,x,2,t…n)是, x项n)是。n元函数,t1,t2,…tn是n个项， (3)有限次使用(2)得到的表达式是项。 原子公式：

第2章 谓词逻辑本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明.一、重点内容1. 谓词与量词谓词，在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词. 个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。

谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间关系的词. 个体词分个体常项(用a ,b ,c ,…表示)和个体变项(用x ,y ,z ,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F ,G ,P ,…表示.注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题.量词，是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”.在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点：(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变.(2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域.(3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义.谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题. 所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应.在谓词逻辑中，命题符号化必须明确个体域，无特别说明认为是全总个体域。

一般地，使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧.2. 公式与解释谓词公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材). 命题的符号化结果都是谓词公式.例如∀x (F (x )→G (x ))，∃x (F (x )∧G (x ))，∀x ∀y (F (x )∧F (y )∧L (x ,y )→H (x ,y ))等都是谓词公式. 变元与辖域，在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域. 在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元. 也就是说，量词后面的式子是辖域. 量词只对辖域内的同一变元有效.换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变.代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的这个符号.解释(赋值)，谓词公式A 的个体域D 是非空集合，则 (1) 每一个常项指定D 中一个元素； (2) 每一个n 元函数指定D n 到D 的一个函数；(3) 每一个n 元谓词指定D n 到{0,1}的一个谓词；按这个规则做的一组指派，称为A 的一个解释或赋值.在有限个体域下，消除量词的规则为：如D ＝{a 1,a 2,…,a n }，则)(...)()()()(...)()()(2121n n a A a A a A x xA a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃∧∧∧⇔∀谓词公式分类，在任何解释下，谓词公式A 取真值1，公式A 为逻辑有效式(永真式)；在任何解释下谓词公式A 取真值0，公式A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，公式A 称为可满足式.3. 前束范式 一个谓词公式的前束范式仍是谓词公式. 若谓词公式F 等值地转化成B x Q x Q x Q k k ...2211那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，x 1,x 2,…,x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式.每个谓词公式F 都可以变换成与它等值的前束范式. 其步骤如下：① 消去联结词→，↔，⎺∨；② 将联结词⌝移至原子谓词公式之前；③ 利用换名或代入规则使所有约束变元的符号均不同，并且自由变元与约束变元的符号也不同；④将∀x ,∃x 移至整个公式最左边；⑤ 得到公式的前束范式.4.谓词逻辑的推理理论 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中的基本等值公式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用. 在谓词演算推理中，某些前提和结论可能受到量词的限制，为了使用这些推理，引入消去和附加量词的规则，有US 规则(全称量词消去规则)，UG 规则(全称量词附加规则)，ES 规则(存在量词消去规则)，EG 规则(存在量词附加规则)等，以便使谓词演算公式的推理过程可类似于命题演算的推理进行.二、实例例2.1 将下列命题符号化：(1) 有某些实数是有理数；(2) 所有的人都呼吸；(3)每个母亲都爱自己的孩子.注意：一般地，全称量词“∀”后，跟蕴含联结词“→”；存在量词“∃”后，跟合取联结词“∧”.解 (1) 设R (x )：x 是实数，Q (x )：x 是有理数。

定义 1.辖域（作用域）：紧接在量词后面括号内的谓词公式。 辖域（ 辖域 作用域）
例： ∀xP(x) , ∃x(P(x) ∧Q(x)) 。 若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
2.指导变元（作用变元）：紧接在量词后面括号内的X。 指导变元（作用变元） 指导变元 3.约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。 约束变元： 约束变元 4.自由变元：当且仅当不受量词的约束。 自由变元： 自由变元
例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李明”，则可用下 列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。
1. 命题函数
客体在谓词表达式中可以是任意的名词。 例：C—“总是要死的。” j：张三；t：老虎；e：桌子。 则C(j), C(t), C(e)均表达了命题。 在上面的例子中，C：表示“总是要死的”；x：表示变元（客 体变元），则C(x)表示“x总是要死的”，则称C(x)为命题 函数。 定义》 《定义》由一个谓词字母和一个非空的客体变元的集合所组成 的表达式，称为命题函数。
2.区别是命题还是命题函数的方法 （a）若谓词公式中出现自由变元，则该公式为命题函数； （b）若谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例： ∀xP(x,y,z)是二元谓词， ∃y∀xP(x,y,z)是一元谓词， 而谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式是一个命题。
3.代入规则：对公式中的自由变元的更改叫做代入。 代入规则： 代入规则 (a)对公式中出现该自由变元的每一处进行代入， (b)用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不 能相同。
∃x (A(x) ∨B(x)) ⇔ ∃xA(x) ∨ ∃xB(x) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∀xA(x)∧ ∀xB(x) (∃x (A(x) → B(x)) ⇔ ∀xA(x) → ∃xB(x) ∀xA(x) ∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) ∨ B(x)) x(A(x) ∧ B(x)) ⇒ ∃ x（A(x) ∧ B(x)） ∃xA(x) → ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x) → B(x))

数理逻辑中的谓词逻辑与量词数理逻辑是研究推理和思维规律的学科，其中一个重要的分支是谓词逻辑与量词。

谓词逻辑是数理逻辑中的一种形式，它通过谓词和量词来描述真假性以及命题之间的关系。

在本文中，我们将详细探讨数理逻辑中的谓词逻辑与量词。

一、谓词逻辑的基础谓词逻辑中的核心概念是谓词。

谓词是一个用于描述对象性质或关系的符号。

在数理逻辑中，谓词可以用来表示真假性，并与量词结合来形成命题。

谓词逻辑的语言形式包括原子公式和复合公式。

原子公式是谓词逻辑中最基本的命题形式。

它由一个或多个常量、变量和谓词组成，用于描述具体对象或对象之间的关系。

例如，"x > 5"这个原子公式表示某个对象x大于5。

复合公式是由多个原子公式通过逻辑连接词（例如"与"、"或"、"非"）组合而成的。

通过逻辑连接词的运算，可以形成更复杂的命题。

例如，"x > 5 且 y < 10"是一个由两个原子公式通过"且"逻辑连接词连接而成的复合公式。

谓词逻辑中还引入了量词的概念，用来描述一个或一类对象的范围。

量词一般包括全称量词和存在量词，分别表示全体对象和存在某个对象。

通过量词的运用，可以对对象进行分类和概括，并进一步推导出更复杂的命题。

二、量词的应用1. 全称量词全称量词以"对于所有"的形式出现，表示某个属性适用于所有对象。

全称量词可以用来描述普遍性的命题。

例如，"对于所有的整数x，x > 0"表示所有的整数都大于0。

2. 存在量词存在量词以"存在某个"的形式出现，表示至少存在一个对象满足某个属性。

存在量词可以用来描述某种情况的存在性。

例如，"存在一个正整数x，使得x > 10"表示存在一个正整数大于10。

量词可以与谓词逻辑的其他部分进行组合，形成更为复杂的命题。

数理逻辑中的谓词逻辑与量词数理逻辑是研究语言和推理规则的一门学科，其中谓词逻辑和量词是两个重要的概念。

本文将介绍谓词逻辑和量词在数理逻辑中的作用和应用。

一、谓词逻辑的概念与特点谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它研究的是“陈述句”的逻辑结构和推理规则。

在谓词逻辑中，一个句子可以包含谓词和变量，谓词表示一个性质或关系，而变量则是指代具体个体的符号。

通过对谓词和变量进行合适的组合和运算，可以构建出具有复杂逻辑结构和语义含义的句子。

谓词逻辑的一个重要特点是可以通过量化来描述全部或部分个体的性质和关系。

量词是在谓词逻辑中用来指示变量出现范围的符号，分为全称量词和存在量词。

全称量词表示句子中的变量对于所有个体都成立，而存在量词表示句子中的变量对于至少一个个体成立。

通过引入量词，谓词逻辑可以更加准确地描述现实世界中的复杂情况。

二、谓词逻辑的应用1. 描述关系：谓词逻辑可以用来描述个体之间的关系。

例如，可以使用谓词逻辑来描述“父亲”和“儿子”之间的关系，通过谓词和变量的组合，可以表示“对于任意个体x和y，如果y是x的儿子，则x是y的父亲”。

这种描述方式可以适用于任意具体的个体，从而更好地抽象出普适的逻辑规则。

2. 表达约束条件：谓词逻辑可以用来表达约束条件，帮助我们进行推理和判断。

例如，在数学中，可以使用谓词逻辑来描述“大于”和“小于”等关系，通过对变量和谓词进行逻辑运算，可以推导出具体的数学结论。

3. 语义表示：谓词逻辑可以用来表示自然语言中的语义。

自然语言中的句子通常包含大量的信息，而谓词逻辑可以将这些信息进行简化和抽象，以便进行更精确的逻辑推理和语义分析。

三、量词的作用与应用1. 全称量词的应用：全称量词在数理逻辑中广泛应用于描述普遍性的陈述。

例如，“对于任意的x，如果x是偶数，则x能被2整除”。

通过引入全称量词，可以使这种普遍性的陈述具有更严密的逻辑结构。

2. 存在量词的应用：存在量词在数理逻辑中用于描述至少存在一个满足某种性质的个体。

谓词逻辑知识点总结一、语言和推理的形式化语言和推理的形式化是数理逻辑的基础，它主要研究如何用严格的符号化方法来表示和分析自然语言中的语言和推理。

在谓词逻辑中，我们通常将自然语言中的命题分解成基本的谓词和常量，然后用谓词逻辑公式来表示这些命题。

例如，对于命题“人类都是有智慧的”，我们可以用P(x)来表示“x是人类”，用Q(x)表示“x有智慧”，那么这个命题可以表示为∀x(P(x)→Q(x))。

而推理的形式化则主要是研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出符合逻辑规律的结论。

二、谓词演算及其语义谓词逻辑的核心内容就是谓词演算，它是一种用来分析和推导谓词逻辑公式的形式系统。

谓词演算主要包括语法、语义和推导三个方面。

在语法方面，我们主要研究谓词逻辑公式的形式和结构，包括原子公式、复合公式和量词公式等。

在语义方面，我们主要研究谓词逻辑公式的意义和解释，包括谓词的扩展、量词的解释、模型的概念等。

在推导方面，我们主要研究如何用逻辑规则和推导方法来推导谓词逻辑公式的推导系统。

三、逻辑推导逻辑推导是谓词逻辑的核心内容之一，它主要研究如何用逻辑规则和演绎推理方法来推导出新的谓词逻辑公式。

在逻辑推导中，我们主要研究形式系统中的推理规则和推导方法，包括假言推理、析取推理、量词引入和消去等基本推理规则。

通过逻辑推导，我们可以推导出符合逻辑规律的结论，从而解决一些具体的逻辑问题。

四、完全正式系统完全正式系统是谓词逻辑的一个重要概念，它主要指的是一个完全形式化的逻辑系统，包括语法、语义和推导等方面。

在完全正式系统中，我们可以用严格的形式化方法来表示和分析逻辑语言和推理，从而解决一些具体的数理逻辑问题。

完全正式系统的建立对于谓词逻辑的发展具有重要意义，它不仅为逻辑学理论的研究提供了统一的规范框架，同时也为数理逻辑在实际应用中的推广提供了重要的理论基础。

五、争议在谓词逻辑的发展过程中，一些争议性问题也是不可避免的。

比如，有关谓词逻辑的语言和推理的形式化方法，不同的学者有着不同的观点和理论，针对谓词逻辑公式的语法和语义，也存在一些争议性问题。

求：用一阶逻辑表达这个问题，并建立子句集。
解：这里我们首先引入谓词：
P(x, y) 表达x是y旳爸爸
Q(x, y) 表达x是y旳祖父
ANS(x) 表达问题旳解答
3.3 谓词逻辑归结原理
对于第一种条件，“假如x是y 旳爸爸， y又是z 旳爸爸，则x是z 旳祖父”，一阶逻辑体现式如下： A1：(x)(y)(z)(P(x, y)∧P(y, z)→Q(x, z)) S A1：～P(x ,y)∨～P(y, z)∨Q(x, z)
3.3 谓词逻辑归结原理
即： 把全部旳量词都提到前面去，然后消 掉全部量词 (Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)
约束变项换名规则：
(Qx ） M（x） <=> （Qy ） M（y） (Qx ） M（x,z） <=> （Qy ） M（y,z）
3.3 谓词逻辑归结原理
·＝{f(b)/x，y/z}
3.3 谓词逻辑归结原理
合一
合一能够简朴地了解为“寻找相对变量旳置换，使两个谓词 公式一致”。
定义：设有公式集F＝{F1，F2，…，Fn}，若存在一种置换， 可使F1＝F2＝…= Fn，则称是F旳一种合一。同步称F1， F2，... ，Fn是可合一旳。
例： 设有公式集F＝{P(x, y, f(y)), P(a,g(x),z)}，则＝{a/x, g(a)/y, f(g(a))/z}是它旳一种合一。
消去(y)，因为它左边只有(x)，所以使用x旳函数 f(x)替代之，这么得到：
(x)(u)(v) (P(a, x, f(x)) ∨ Q(v, b)∨R(u))
消去(u)，同理使用g(x)替代之，这么得到：
(x) (v) ( P(a, x, f(x)) ∨ Q(v, b) ∨ R(g(x)))

谓词逻辑I 谓词、量词与谓词 公式
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔

1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

例3：P(x,y) ∧ P(y,z) P(x,z) 若P(x,y)表示“x大于y”，且x,y,z取实数 若P(x,y)表示“x为y的儿子”，且x,y,z指人
T F
若P(x,y)表示“x为y的朋友”，且x,y,z指人 T或F 个体域：客体变元的论述范围 全总个体域：把各个个体域综合起来作为论述范围
特 性 谓 词
定义：全称量词： 定义： 存在量词： “所有的”，“任何一个 “有些”，“存在”， ” “凡是”，“一切”表示个体 “至少有一个 ”，表示个体 假设个体域D={a, b,c} 域中全体成员，用符号“” 域中存在的某个特定个 (x) (P(x)) P(a) ∧ P(b) ∧ 表示，称为全称量词。 体，用符号 “P(c) ”表示。 ( x)(P(x)) P(a) ∨ P(b) ∨ P(c) 将下列命题符号化： (1)所有的老虎都吃人。 (2)任何整数或是正的或是负的。 解 (1) 设T(x)：x是老虎。 E(x)：x吃人。 符号化为： (x)(T(x)E(x)) (2) 设I(x)：x是整数。 P(x)：x是正数 N(x)：x是负数 符号化为： (x)(I(x)P(x) N(x))
(3)有些实数是有理数。 (4)有些人不喜欢吃面包。 解 (3) 设R(x)：x是实数。 Q(x)：x是有理数。 符号化为： (x)(R(x) ∧Q(x)) (4) 设M(x)：x是人。 B(x)：x喜欢吃面包。 (x)(M(x) ∧ B(x)) 特性谓词：象“所有的人”、“有些实数”等语句限定 了讨论范围（个体域）；相应的谓词“M(x)”、“R(x)”描 述了个体域内个体的性质，称为特性谓词。 特性谓词的位置：在全称量词的作用域内作条件句的 前件，在存在量词的作用域内作合取项。
• 谓词:用大写字母表示

最外层 优先级递减： ∃, ∀; ¬; ∧,∨, →,↔
2012-2-22
一阶逻辑
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合式公式中的变项
量词辖域: 在∃xA, ∀xA中, A是量词的辖 域. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项. 例如: ∃ ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) ∧∀ → 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变 项. 例如: ∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) 自由出现: 既非指导变项又非约束出现. 例如: ∀y(G(y)→H(x,y))
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一阶逻辑
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字母表
个体常元: 函数符号: 谓词符号: 个体变元: 量词符号: 联结词符号: 括号与逗号:
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a, b, c, …, a1, b1, c1,… f, g, h, …, f1, g1, h1,… F, G, H, …, F1, G1, H1, … x, y, z, …, x1, y1, z1,… ∃, ∀ ¬, ∧, ∨, →, ↔ (, ), ，
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赋值
是否存在一种公式在任何赋值下都 取相同的真值呢？
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一阶逻辑
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一阶逻辑永真式(tautology)
永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有 效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真
(重言式)
永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)
命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为假 (矛盾式)
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合式公式中的变项(举例)
H(x,y)∨∃xF(x)∨∀y(G(y)→H(x,y)) x 与 y 是指导变项 x与y是约束出现 x与 y是自由出现 注：同一变元在同一公式中可能既有约 束出现又有自由出现

基本概念
6、谓词公式 将表示全部的符号“”，表示为部分的“”称为量 词， 将单个谓词公式如W(x)，带量词的谓词如zM(z)， 统称为“谓词公式”。 谓词W(x),M(z)中只有1个个体变元, 则称为1元谓词公式，
常用来刻划对象的性质、属性。
谓词L(x,y)、H(y,z)中有2个个体变元，称为2元谓词。 常用来表示二个对象之间的关系， 如喜欢， 类似如果有n个个体变元则称为n元谓词公式。 个体变元的取值范围称为“讨论域”， 如果没有交待讨论域，表示对个体变元的取值范围， 不做任何限制，泛指宇宙界的万物，称为“全总个体 域”，常用大写字母U表示。
例3 (1)兔子比乌龟跑得快 (2)有的兔子比所有的乌龟跑得快 (3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快 (4)不存在跑得同样快的两只兔子.
解：H(x,y)表示x比y跑得快. L(x,y)表示x与y一样快 R(x)表示x是兔子 T(x)表示x是乌龟
(1) xy(R(x)T(y)H(x,y))
(2) xy(R(x)T(y) H(x,y))
基本概念
1、谓词 “某某要喝水”、“喜欢漂亮衣服”、“喜欢
帅哥”、“结婚生崽”都是所在句子的谓语部分。
命题逻辑中用大写字母表示命题。
谓词逻辑中用大写字母表示谓语部分，如 用W表示“要喝水”， 用L表示“喜欢漂亮衣服”， 用H表示“喜欢帅哥”， 用M表示“结婚生崽”。
这些表示谓语部分的大写字母，称为“谓词”。
利用量词、谓词将自然语言转换为谓词公式
例1：(1)凡人都要呼吸 (2)有的人用左手写字。 解：当个体域为“人类”时
xB(x),其中B(x)表示x人呼吸breath. xWL(x)，其中WL(x)表示x用左边写字。 当个体域为全总个体域(宇宙万物组成) x(H(x)B(x)) H(x)表示个体x是人类 x(H(x) WL(x))，WL(x)表示x用左边写字。 个体域不同，谓词公式不同。 例2 (1)任意x,x2-2x+1=(x-1)2. 有x,使得x*5=3 解：当x的取值范围即个体域为自然数N时 xE(x) E(x)表示x2-2x+1=(x-1)2 xF(x) F(x)表示x*5=3 当x的个体域为实数R时，谓词公式相同但真值不同！

பைடு நூலகம்谓词逻辑I 谓词、量词与谓词公式
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左