高斯(Gauss)公式与 斯托克斯(stokes)公式

x , 2 2 x +y y , 2 2 x +y
D
∑
向量点积法
−x −y 2 I = ∫∫ { y, − x, z } ⋅ , ,1dxdy x2 + y 2 x2 + y 2 ∑
= ∫∫ z dxdy
2 ∑
= − ∫∫ ( x + y )dxdy [ Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ]
O
x 2 + y 2 + z 2 = 4 所围立体的表面 外侧. 外侧.
如何直接计算 被积函数中有抽象函数, 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 高斯公式. 故无法直接计算. 用高斯公式.
分析
x
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
解
1 y 3 y 3 f + y , R= f +z , y z z ∂P 1 y 1 y 2 ∂Q 2 ∂R ′ + 3 y , = 3x , = − 2 f ′ + 3 z 2 = 2 f z ∂z ∂y z ∂x z z 故由高斯公式 故由高斯公式
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫∫ u∆vdxdydz + ∫∫∫ + + dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Ω Ω 移项后,即证. 移项后,即证.
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
计算曲面积分
1987年研究生考题,计算(10分 1987年研究生考题,计算(10分) 年研究生考题 (10
∂2 ∂2 ∂2 称为拉普拉斯 拉普拉斯( )算子. ∆ = 2 + 2 + 2 ,称为拉普拉斯(Laplace)算子. ∂x ∂y ∂z

1
z h
0
1
I I1 I 2

2
h h
4 4

2
h4
2.
Gauss公式举例
注：当 Pdydz Qdzdx Rdxdy 中的非封闭时，

可以补充辅助曲面1，使 1构成闭曲面；然 后对 用Gauss公式；最后从中减去 即可得
1 1


t
0
f ( ) d
2
t
4
若 ( x)3. 与微分方程的联系 )使得二型曲线积分 连续且 ( ) 1, 求 ( x
例9
y I [sin x ( x)] dx ( x )dy, ( x 0)与L无关。 x L
解：因为积分与路径无关
Py Qx
解： f ( x 2 y 2 z 2 )dV

d sin d f ( ) d 4 f ( ) 2 d
2 0 0 0 0
球坐
2

t
t
原极限 Lim
0/0
t 0 2
4
f (t ) f (0) f (t )t f (t ) lim f (0) 2 4 lim lim t 0 t 0 t 0 t 4t 3 t
y P sin x ( x) Q P [sin x ( x)] , Q ( x) , ( x) x y x x
sin x ( x) 1 sin x 由Py Qx ( x) ( x) ( x) — x x x 1 解之得： ( x) (C cos x) 由 ( ) 1 C 1 x 1 ( x) ( 1 cos x) x

,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
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a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
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3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正 确性
∫L zdx + xdy + ydz

第六节高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理，是对向量场的积分定理，用于求解曲面和曲线上向量场的积分。

本文将介绍高斯公式和斯托克斯公式的定义、推导过程和应用。

一、高斯公式（Gauss's theorem）高斯公式又称为高斯散度定理，它是从向量微积分中的散度定理演变而来。

1.定义设Ω是空间中的一块有界闭区域，S是Ω的边界曲面，而n为S上的单位外法向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，高斯公式的数学表达式为：∬S(F·n)dS=∭ΩdivFdV其中，“S”表示对曲面S的积分，“∬”表示对曲面上的每个点都进行积分，“∭”表示对空间Ω中的每个点都进行积分，“div”表示F 的散度。

2.推导过程为了推导高斯公式，我们先考虑最简单的情况，即立方体的情况。

假设Ω是一个立方体，S是它的六个面，而n为各个面的单位外法向量。

我们将立方体按照坐标轴方向切割成一个个小的立方体，每个小立方体的体积为ΔV。

在每个小立方体上应用散度定理，可以得到：∬S(F·n)dS=Σi∆Si(F·ni)其中，Σi表示对立方体的所有小立方体求和，Si表示第i个小立方体的表面积，ni为第i个小立方体的单位外法向量。

我们知道，在Ω中每个小立方体的边长趋于零的极限过程中，散度div F趋于ΔV的比例的极限值就是div F在相应点处的函数值，即div FdV。

因此，当小立方体的数量趋于无穷大时，上式等于∭ΩdivFdV，从而得到了高斯公式的表达式。

3.应用高斯公式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。

例如，根据高斯公式，我们可以计算电荷的总电量和电场的密度分布等。

二、斯托克斯公式（Stokes's theorem）斯托克斯公式是从向量微积分中的环量定理演变而来。

1.定义设Ω是空间中的一块有界曲面，C是Ω的边界曲线，而n为曲面Ω上的单位法向量，t为曲线C上的单位切向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，斯托克斯公式的数学表达式为：∫C(F·t)ds=∬Ω(rotF·n)dS其中，“C”表示对曲线C的积分，“∫”表示对曲线上的每个点都进行积分，“∬”表示对曲面Ω的每个点都进行积分，“rot”表示F的旋度。