第十章 Stokes 公式

斯托克斯公式stokes定律斯托克斯公式（Stokes定律）是描述流体运动的基本定律之一，它被广泛应用于流体力学和电磁学等领域。

斯托克斯公式是以英国物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）的名字命名的，他在19世纪中叶首次提出了这个公式。

斯托克斯公式是由麦克斯韦方程组推导而来的，它描述了流体中的速度场与涡旋场之间的关系。

根据斯托克斯公式，涡旋场的环流与速度场通过曲面的面积分之间存在线性关系。

换句话说，斯托克斯公式给出了速度场在曲面上的环量与曲面边界上的环量之间的关系。

斯托克斯公式的数学表达形式如下：∮C F·ds = ∬S (∇ × F)·dS其中，C是曲面S的边界曲线，F是速度场，ds是边界曲线上的微元弧长，S是曲面S的面积，∇ × F是速度场F的旋度，dS是曲面S上的面积元。

斯托克斯公式的应用非常广泛。

在流体力学中，斯托克斯公式被用来计算旋转流体中涡旋的强度和分布情况。

在电磁学中，斯托克斯公式被用来计算磁场沿闭合回路的环量，从而计算磁场的旋度。

此外，斯托克斯公式还被应用于固体力学、量子力学等领域。

对于流体力学中的应用，斯托克斯公式可以帮助我们理解涡旋的生成和演化过程。

涡旋是流体中的一种特殊流动形式，它具有旋转的性质。

通过斯托克斯公式，我们可以计算涡旋的强度，并进一步研究其对流体运动的影响。

斯托克斯公式的应用还可以帮助我们解决一些工程和科学问题。

例如，在空气动力学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算飞机机翼周围的气流情况，从而优化机翼的设计。

在电磁学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算闭合电路中的电磁感应强度，从而分析电磁场的分布情况。

斯托克斯公式是流体力学和电磁学等领域中非常重要的定律之一。

它描述了速度场与涡旋场之间的关系，可以帮助我们理解和分析涡旋的形成和演化过程。

斯托克斯公式的应用广泛，可以帮助我们解决一些工程和科学问题。

通过学习和应用斯托克斯公式，我们可以深入理解流体力学和电磁学等领域的原理和现象。

stokes定理证明Stokes 定理证明Stokes 定理是数学上一个重要的定理，它建立了在曲面和曲线之间的关系，并在向量分析中具有广泛的应用。

本文将对 Stokes 定理进行证明，旨在通过逐步推导和详细解释来帮助读者更好地理解这一定理的本质和重要性。

一、Stokes 定理的表述Stokes 定理可以用不同的形式表达，但其核心思想始终是相同的。

以下是 Stokes 定理的一种常见表述形式：设 M 是一个紧致的曲面，其边界为曲线 C。

如果函数 F 是一个光滑的向量场，且它的分量具有连续的一阶偏导数，那么有：∮C F·ds = ∬M (∇×F)·dS其中，∮C F·ds 表示曲线 C 上向量场 F 在弧长元素 ds 上的环流积分，∬M (∇×F)·dS 表示曲面 M 上的向量场 (∇×F) 在面积元素 dS 上的通量积分。

二、Stokes 定理的证明为了证明 Stokes 定理，我们将以较为简洁的形式展开证明过程。

首先，假设曲面 M 和曲线 C 是平面上的闭合曲面和闭合曲线。

我们可以将曲面 M 分割成许多小的面积元素，并将曲线 C 分割成许多小的弧长元素。

我们选取一个小的面积元素 dS 和它对应的小的弧长元素ds。

接下来，考虑该小面积元素 dS 上的通量积分。

根据矢量分析的基本定理，我们可以将该积分转换为对该小面积元素 dS 的散度的积分，并乘以它们的面积：∬M (∇×F)·dS = ∬M (∇×F)·n dS其中，n 是面积元素 dS 的单位法向量。

这一步骤的证明过程较为复杂，因涉及到切向量、法向量以及矢量的叉乘运算，出于篇幅限制，在此不再赘述。

然后，我们考虑这个小的弧长元素 ds 上的环流积分。

根据向量分析的基本定理，我们可以将该积分转换为通过该小曲线元素 ds 的曲率矢量与向量场 F 的点积的积分：∮C F·ds = ∮C (F·T)ds其中，T 是弧长元素 ds 的单位切向量。

一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。

Stokes阻力定律1. 引言Stokes阻力定律是描述物体在流体中受到的阻力大小和方向的定律，由英国物理学家George Gabriel Stokes于1851年首次提出。

该定律对于理解流体力学和研究物体在流体中运动具有重要意义。

本文将深入探讨Stokes阻力定律的原理、应用以及其在科学研究和工程领域中的重要性。

2. 原理根据Stokes阻力定律，当一个小球或细长物体在粘性流体中匀速运动时，它所受到的阻力与其速度成正比。

具体而言，Stokes阻力可表示为以下公式：其中，是Stokes阻力，是粘性系数，是物体半径，是物体相对于流体的速度。

3. 应用Stokes阻力定律在科学研究和工程领域有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用。

3.1 球体在流体中的运动当一个小球在粘性流体中以恒定速度运动时，根据Stokes阻力定律，可以计算出其所受到的阻力大小。

这对于研究微小颗粒在溶液中的扩散、浮力效应以及颗粒沉降速度等现象非常重要。

此外，Stokes阻力定律还可应用于纳米颗粒、细菌等微观尺度物体在生物医学和环境科学研究中的运动分析。

3.2 液滴的形变与分离在液滴分离和形变过程中，Stokes阻力定律也发挥着重要作用。

通过对液滴内部流体和外部流体之间的相互作用进行建模，并结合Stokes阻力定律计算液滴所受到的阻力，可以预测液滴形变、分离时间以及分离方式等关键参数。

这对于液滴生成、油水分离、微流控技术等领域具有重要意义。

3.3 球形颗粒的沉降在研究颗粒物质在液体中的沉降速度时，Stokes阻力定律可用于计算颗粒沉降过程中所受到的阻力。

通过测量颗粒的下降速度和应用Stokes阻力定律，可以估计颗粒的大小、密度以及液体的粘性等参数。

这对于分离和筛选颗粒物质、测定悬浮液中固体含量等方面具有重要意义。

4. 科学研究与工程应用Stokes阻力定律不仅在科学研究中有广泛应用，也在工程实践中发挥着重要作用。

以下是一些相关领域的具体应用示例：•生物医学工程：Stokes阻力定律可应用于血液流动模拟、细胞运动分析以及微流控芯片设计等生物医学工程研究。

stokes公式证明
Stokes公式是一个非常重要的数学定理，在向量分析中被广泛应用。

它描述了一个曲面边界上的曲线积分和曲面积分之间的关系。

以下是Stokes公式的证明：
假设我们有一个光滑的曲面S，它的边界是一个简单的光滑曲线C。

在这个曲面上存在一个字段F，它在整个曲面内和曲面边界上都是连续可
微的。

首先，在曲面S上选择一个小的区域dS，然后选择在这个区域内的
一条曲线A，A的两个端点均在dS内。

这样，我们可以对这个小区域进行
积分：
∮A F·ds。

其中，s是A上的弧长参数。

然后，我们可以将这个小区域的积分进
行展开，得到：
∮A F·ds = ∫∫dS (∇×F)·n dS。

其中，n是曲面S上任意一点的法向量（指向曲面外部）。

而∇×F
就是F的旋度。

通过斯托克斯定理，可以将上述积分转换为曲面边界上的
积分，即：
∮A F·ds = ∫C F·dr。

其中，r是曲面边界C上的弧长参数。

同时，我们需要注意到，曲面
S的面积在极限情况下会趋近于0，因此在最后的积分中，只有曲面边界
上的贡献在最终答案中得到保留。

因此，我们可以得到下列Stokes公式：
∫C F·dr = ∫∫S (∇×F)·n dS。

其中，C表示曲面S的边界。

这个公式可以用于计算曲面与曲线之间的积分关系，是向量分析中一个基本且重要的工具。

stokes积分定理摘要：一、引言二、Stokes 积分定理的定义1.流体力学背景2.定理公式表述三、Stokes 积分定理的应用1.流体力学问题求解2.物理现象解释四、Stokes 积分定理的局限性五、结论正文：一、引言Stokes 积分定理，作为流体力学的基本定理之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文将对其进行详细介绍，包括定理的定义、应用及局限性。

二、Stokes 积分定理的定义1.流体力学背景Stokes 积分定理起源于流体力学的研究，用以描述流体运动中流速和压力之间的关系。

流体力学中，流速和压力是基本的物理量，它们之间的关系对于理解流体的运动至关重要。

2.定理公式表述Stokes 积分定理的数学表达式如下：∮∮_S F·dS = _V ·F dV其中，F 表示流体微团的速度矢量，dS 表示流体微团的面积微元，V 表示流体微团的体积微元，表示梯度算子。

三、Stokes 积分定理的应用1.流体力学问题求解Stokes 积分定理在流体力学问题求解中具有重要作用。

通过Stokes 积分定理，可以建立流速和压力之间的关系，从而求解流体力学问题，例如流体流动、涡旋形成等。

2.物理现象解释Stokes 积分定理还可以用于解释流体运动中的各种物理现象。

例如，Stokes 定律揭示了粘性流体中涡旋的生成、传播和衰减机制，对于理解流体的湍流现象具有重要意义。

四、Stokes 积分定理的局限性虽然Stokes 积分定理在流体力学中具有重要作用，但它并不适用于所有流体运动情况。

例如，对于高速流体或无粘性流体，Stokes 积分定理的适用性会受到影响。

因此，对于特定情况下的流体运动问题，需要结合其他理论进行分析。

五、结论Stokes 积分定理作为流体力学的基本定理之一，对于流体运动的理论研究和实际应用具有重要意义。

stokes定律公式以Stokes定律公式为标题的文章Stokes定律是描述细小颗粒在粘性流体中受到阻力的定律。

它是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯于19世纪提出的，成为了流体力学中的重要定律之一。

Stokes定律可以用来计算细小颗粒在流体中的速度和阻力，对于研究微粒运动和沉降速度等现象具有重要意义。

根据Stokes定律，当细小颗粒在粘性流体中运动时，其受到的阻力与其速度成正比。

阻力的大小与颗粒的形状和大小、流体的黏性以及颗粒与流体之间的相对速度有关。

Stokes定律的数学表达式如下：F = 6πηrv其中，F代表颗粒受到的阻力，η代表流体的黏性系数，r代表颗粒的半径，v代表颗粒的速度。

根据Stokes定律，可以得出以下几个重要结论：1. 细小颗粒在粘性流体中的速度与颗粒的半径成反比。

即颗粒越小，其速度越大。

2. 细小颗粒在粘性流体中的速度与流体的黏性成反比。

即流体越黏稠，颗粒的速度越慢。

3. 细小颗粒在粘性流体中的速度与受到的阻力成正比。

即阻力越大，颗粒的速度越小。

4. 细小颗粒在粘性流体中的速度与颗粒与流体之间的相对速度成正比。

即相对速度越大，颗粒的速度越大。

Stokes定律的应用十分广泛。

在实际生活和科学研究中，我们可以利用Stokes定律来计算微小颗粒在流体中的沉降速度，从而研究颗粒的分离、过滤和沉淀等过程。

此外，Stokes定律还可以用来研究微小颗粒在空气中的扩散速度，对于理解空气污染和疾病传播等问题具有重要意义。

然而，需要注意的是，Stokes定律仅适用于低雷诺数的情况，即流体的粘性作用远大于惯性作用的情况。

在高雷诺数的情况下，惯性效应会显著影响颗粒的运动，Stokes定律就不再适用。

此外，Stokes定律也忽略了颗粒与颗粒之间的相互作用和颗粒与容器壁之间的摩擦力，因此在研究颗粒浓度较高或颗粒之间相互作用显著的情况下，需要考虑其他因素来进行精确计算。

Stokes定律是研究微小颗粒在粘性流体中受到阻力的重要定律。

Stokes公式和静电场在物理学中，我们经常会遇到有关于静电场的问题。

静电场是指电荷周围所产生的场，这种场是由电荷产生的，但是在空间的不同位置，其强度与方向都会发生变化。

那么如何计算静电场的强度呢？这就需要用到Stokes公式。

Stokes公式是矢量分析中的一个定理，它是由英国物理学家George Gabriel Stokes在19世纪中叶提出来的。

这个公式与电学相关，可以帮助我们计算静电场的强度。

让我们来看一下Stokes公式的具体形式：对于一个任意形状的曲线（通常指一条封闭曲线）C，且曲线所包围的面积为S。

设曲线C上的某一点的切线方向为t，曲线所围成的面积的法向方向为n。

则，Stokes公式的形式如下：∫C F·ds = ∫∫S (∇×F)·ndS其中，F是向量场，ds表示C上的线元素，dS表示S上的面元素，ndS表示S的法向量。

∇×F是F的旋度，它是一个矢量量，用来表示向量场在某个点上旋转的程度。

当我们计算一个向量场的旋度时，可以用以下公式：∇×F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k 其中，i、j、k是单位矢量，表示坐标系中的三个方向。

理解了Stokes公式之后，我们就可以运用它来计算静电场的强度了。

以均匀带电圆环为例，我们假设这个圆环所带电荷为Q，半径为R。

我们需要计算在圆环被放置在某一坐标轴上的情况下，坐标轴上某一点（离圆环一定距离）的电场强度。

根据球壳定律，我们知道离一个带电物体一定距离的点的电场强度在大小上与物体所带电荷成正比，而在方向上沿着这个点到物体中心的径线。

因此，我们可以通过对均匀带电圆环的每一小段（类比于Stokes公式中的ds）进行积分，来计算该点的电场强度。

具体来说，我们可以将圆环分成无数个小的线段（即小于点到圆心距离的半径），然后对每一小段的电场强度进行积分，最后将它们相加。