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第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】

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第十章第节斯托克斯公式资料讲解

第十章第节斯托克斯公式资料讲解

o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s

斯托克斯公式

斯托克斯公式
∂ ∂y
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c

同济高等数学公式大全

同济高等数学公式大全

270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg (
)
tg 1 tg
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)(n)
C
k n
u
(nk
)
v
(
k
)
k 0
u (n)v nu (n1)v n(n 1) u (n2)v n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )
s0 s ds(1 ຫໍສະໝຸດ y2 )3直线： K 0;
半径为 a的圆： K 1 . a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
a
f
(x)
b
n
a
(
y0
y1
yn1 )
b
梯形法：
a
f
(x)
b
n
a
[1 2
(
y0
yn
)
y1
yn1 ]
b
抛物线法：
a
f
(x)
ba 3n
[(
y0
yn
)
2(
y2
y4
yn2
)
4(
y1
y3

(完整版)同济高等数学公式大全

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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

第十章 Stokes 公式

第十章 Stokes 公式
2 u = u = gradu u u u j + k)( i + j + k) =( i + x y z x y z
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z

10-7斯托克斯公式与旋度

10-7斯托克斯公式与旋度

Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n

右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
机动
目录
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结束
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
上页 下页 返回 结束
说明： 同平面曲线一样，当曲线积分

数学分析 Stokes 公式

数学分析 Stokes 公式

有时也用 curlX 表示旋度. 利用旋度, Stokes 公式可以改写为
rotX · n dσ = X · T ds,
Ω
∂Ω
其中 n 为曲面的单位法向量, T 为曲线的单位切向量, s 为弧长参数.
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂Ω
我们只证明一个特殊情形: 假定 ϕ : D → R3 为定向曲面的 C2 参数表示, 且 ϕ(Ω˜ ) = Ω, Ω˜ 为 D ⊂ R2 中的有界区域. 根据诱导定向的定义, ∂Ω˜ 的定向也是平
关于 Q, R 有完全类似的等式, 将它们代入前式可得 Tu − Sv = Py (yuxv − xuyv ) + Pz (zuxv − xuzv ) + Qx (xuyv − yuxv ) + Qz (zuyv − yuzv ) + Rx (xuzv − zuxv ) + Ry (yuzv − zuyv ),
∂x ∂y
∂Ω
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则

同济大学高等数学公式大全共15页文档

同济大学高等数学公式大全共15页文档

高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式： ·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

斯托克斯公式

斯托克斯公式

z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y

高等数学10.7斯托克斯公式

高等数学10.7斯托克斯公式
x
D xy
小结:
一 . Gauss 公式 :
P Q R x y z d v P d y d z Q d z d x R d x d y



P cos Q cos R cos d S

如果 div v 0 则称 v 为无源场,(管形场).



v 为无源场
P Q R 0 x y z
任意闭曲面 上通量
v dS 0 .

二 . Stokes 公式 :
R Q P R Q P y z d y d z z x d z d x x y d x d y
z x y
1 3
d S


Dx y
2 1 zx
2 zy
dx dy
xy
3dxdy
Dx y
2
3
z 2x 2 y 1
D
的面积为 1

例2. I
y

2
z d x z x d y x y d z
分片光滑的有向曲面, 法向量为 n ___ z 的全部边界, 分段光 滑的有向闭曲线 ___
的侧与的 正向符合右手法则,

n


即 : 右手握住 n , 拇指与n同方向, 与四指同方向.
o x
y
记
则
v P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R( x , y , z) i j k v , , x y z x y z P Q R

stoke公式

stoke公式

stoke公式stoke公式1. 简介stoke公式是一种数学公式，用于计算曲线的弧长。

它由英国数学家Sir George Gabriel Stokes于19世纪提出，并广泛应用于物理学、工程学等领域。

2. 公式推导stoke公式的推导基于微积分的概念。

假设有一条参数方程为x(t)和y(t)的曲线C，其中t为参数。

我们希望计算曲线C在[t1, t2]区间的弧长。

步骤如下：1.将[t1, t2]区间分成n个小区间，每个小区间的长度为Δt。

2.在每个小区间内，计算曲线上相邻两点之间的距离，并将其累加得到总距离。

3.当n趋近于无穷大时，Δt趋近于0，此时总距离趋近于曲线在区间[t1, t2]上的弧长。

根据微积分的极限概念，我们得到stoke公式如下：stoke公式stoke公式其中，s表示曲线C的弧长，x’(t)和y’(t)分别表示曲线C在参数t点处的x轴和y轴的导数。

3. 应用领域stoke公式在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：•物理学中，stoke公式用于描述光线在介质中的传播路径，计算光的折射、反射等现象。

•工程学中，stoke公式用于计算曲线的长度、管道的摩擦阻力、电流的环路积分等。

•地理学中，stoke公式用于计算地球上纬线的长度、地球重力场的梯度等。

4. 总结stoke公式是一种计算曲线弧长的数学工具，通过对曲线上相邻点间距离的累加得到结果。

它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

熟练掌握和灵活运用stoke公式，对于解决实际问题具有重要意义。

以上就是关于stoke公式的相关介绍，希望能对你有所帮助！stoke公式的计算步骤1. 准备工作首先，我们需要确定曲线的参数方程x(t)和y(t)，以及计算的起始点和终止点t1和t2。

2. 划分小区间将参数区间[t1, t2]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δt。

可以通过将参数区间等分或根据需要的精度进行划分。

3. 计算相邻点距离在每个小区间中，计算曲线上相邻两点之间的距离。

10-9-斯托克斯公式

10-9-斯托克斯公式

第16页
= − ∫∫ [ a − x − y
2 2 D
2
x a2 − x 2 − y2 y + y]dxdy
+2 a − x − y
2
2
2
a2 − x 2 − y2
3 3 = − ∫∫ ( x + 3 y )dxdy = − π a . 8 D
使用合投影法, 下侧的“原生”法向量为:
−x −y n= , , −1 2 2 2 2 2 2 a − x − y a − x − y
第17页
例5 计算I =
∫ (y
L
2
− z )dx + ( 2 z − x )dy + ( 3 x − y )dz ,
2
2
2
2
2
其中L是平面x + y + z = 2与柱面 x + y = 1的交线，从z轴 正向看去，L为逆时针方向。(总习题10第6题)
第18页
解
I = ∫ [ y − ( 2 − x − y ) ]dx + [2( 2 − x − y ) 2 − x 2 ]dy
a 2 − x 2 − y 2 与柱面 x 2 + y 2 = ay 的交线。 的交线。
（方向与上半球面的下 侧组成右手系） 侧组成右手系） dydz dxdz dxdy ∂ ∂ ∂ 解：I = ∫∫ = ∫∫ zdydz + 2 zdxdz + ydxdy ∂x ∂y ∂z ∑ ∑ z2 xy yz
o
x
y
Dxy
C
第2页
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz Σ P Q R

第十章第7节斯托克斯公式

第十章第7节斯托克斯公式

2
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
)dzdx
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
Stokes公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
3
二、简单的应用
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
0 Dxy 1 x
y 1
4
由于的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知：
dydz dzdx dxdy 3 d
Dxy
y
Dxy如图
1
zdx
xdy
ydz
3 2
Dxy o
x 1
5
例 2 计算曲线积分
( y2 z 2 )dx (z 2 x 2 )dy ( x 2 y2 )dz
R )dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
1
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
PQR
其中n {cos ,cos ,cos }
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
11
斯托克斯公式的向量形式
rotA ndS A t ds
或 (rotA)n dS Atds
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R


rotA ndS A t ds

斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a


C
[(1

b) a
y

b]dx

[b

(1

b) a
x]dy


D

2(1

b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2

x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2

y2 a2

1
dydz dydz ab （椭圆面积）

D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2

Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z) , R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式


(R y

Q z
)dydz
2a(a b)
解三 投影方法
将
:

x
2 y2 xz ab

a 1
2
投影到 xoy
面得投影曲线
C : x2 y2 a2 （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
I Pdx Qdy Rdz

[ y b(1 x)]dx [b(1 x) x]dy
Q x
dxdy

Q z
dydz


Q(
x,
y,
z
)dy,


R y
dydz

R x
dzdx


R(
x,
y,
z
)dz
,
R Q
P R
Q P


(
y

z
)dydz

( z

)dzdx x

( x

)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.

解二 化为参变量的定积分计算
令

x y

cos t sin t
则 z b(1 x ) b(1 cos t) a
2
I [a sin t b(1 cos t)](a sin t)
0
[b(1 cos t) a cos t]a cos t [a cos t a sin t]bsin t
div(rotA) 0
rot(gradu) 0
---------即旋度场是无源场 ---------即梯度场是无旋场
六、小结
cos cos cos
斯托克斯公式


x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy


x
P

y Q
z
Pdx Qdy Rdz
向.


三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n 分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是 的单位法向量.
刚体在每一点的线速度构成一线
速场，则向量 r OM x, y, z
在点 M 处的线速度场的旋度 等于角速度的 2 倍
L
o
v
M
解
由力学知道点
M
的线速度为

i jk
v r 1 2 3
由此可看出速 度场的旋度与 旋转角速度的来自观察旋度rot v
x
2
即
P
P
P P


dzdx z
y
dxdy




(
y

z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y

P z

fy


P z
dzdx

P y
dxdy



Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式


1
y
, 2
z 2,
2
3
关 系2.
.
五、向量微分算子


i

j

k
---------Hamilton 算子
x y z
u gradu
2u u gradu
(
i

j

k
)

(u
i

u
j

u
k)
x y z x y z
i jk
环流量



CA
ds



x
y
ds z
PQR
2. 旋度的定义:

i jk
称向量


为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR

i jk
旋度
rotA



x y z
PQR

(R

Q
)i

(P

R
)
j

(
Q

P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式


[(
R y

Q ) cos
z

(P z

R)cos
x

(Q x

P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
其中
的单位法向量为
n
y z
z x
x y
At

A
n

P cos

Qcos

Rcos
环流量


rotA

ds

Atds

Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
例转4动，设其一角刚速体度绕为过原点的1 ,某 2个,轴3
( x,y,z)
u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
zM
x
y
u( x, y, z) P( x, y0, z0 )dx Q( x, y, z0 )dy M0
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
四、物理意义---环流量与旋度

(P z

R x
)dzdx

(Q x

P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
n
右手法则

是有向曲面 的

正向边界曲线
证明 如图
设Σ 与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ 取

上侧,有向曲线 C 为Σ 的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以 张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维 单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有 一阶连续偏导数，则空间曲线积分
Pdx Qdy Rdz在G内与路径无关（或沿G内

任一闭曲线的曲线积分为0）的充要条件是 P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z

cos
i

cos
j

cos
k,
的单位切向量为




t cos i cos j cos k
斯托克斯公式的向量形式