2013-2014学年高中数学 2.5平面向量的应用学案 苏教版必修4

专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。

那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
O
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。

高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导1.向量在平面几何中的应用向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题. 案例1 求证平行四边形对角线互相平分，【探究】如图所示，已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AM =x AC ，BM =y BD ，则 AM =x AC =x +x ，AM =AB +BM =AB +y BD =+y （-）=（1-y ）+y .于是我们得到关于基底{、}的AM 的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以⎩⎨⎧=-=.,1y x y x 解得x=21，y=21，故M 是AC 、BD 的中点，即对角线AC 、BD 在交点互相平分. 通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，解决几何元素之间的关系.③把运算结果翻译成几何关系.规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a ⊥b ⇔a ·b =0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=||||b a b a ••. 2.向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y ）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.案例2 求通过点A （-1，2），且平行于向量a =（3，2）的直线方程.【探究】过点A 且平行于向量a 的直线是唯一确定的，把这条直线记为l ，在l 上任取一点P （x,y ），则AP ∥a .如果P 不与A 重合,由向量平行,它们的坐标满足条件223)1(-=--y x . 整理得方程2x-3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l 上,所以这个方程,就是所求的直线方程.规律总结 设直线的倾角为α,斜率为k,向量a =(a 1,a 2)平行于l,则有k=tanα=12a a . 活学巧用【例1】 如图，若D 是△ABC 内一点，且有AB 2-AC 2=DB 2-DC 2.求证:AD ⊥BC.解析:欲证AD ⊥BC,只须证明AD⊥BC 即可.设=a ,AC =b .AD =e ,DB =c .=d,则a =e +c ，b =e +d.∴a 2-b 2=(e +c )2-(e +d)2=c 2+2e ·c -2e ·d -d 2.由已知a 2-b 2=c 2-d 2,∴c 2+2ec -2e d-d 2=c 2-d 2.故有e ·(d -c )=0,∴⊥,即AD ⊥BC.【例2】 已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.解析:本题给出了直角三角形的两直角边长,用坐标法,写出相应点的坐标,再用向量夹角公式求解.以直角边所在直线为x 轴,y 轴建立如图直角坐标系,则A （4，0），B （0，6），设AF ，BE 分别为OB 、OA 边上的中线，则E （2，0），F （0，3）.因=（-4，3），=（2，-6）.所以cos 〈·〉501013||||-=•BE AF . 所以两中线所成钝角的余弦值为501013-. 【例3】 平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，=（-2，m ），=（n ，1），=（5，-1）.且⊥，求实数m,n 的值.解析：因为A 、B 、C 三点共线. 所以=λ. 因为=-=（7，-1-m ）, AB=-=（n+2，1-m ）,所以（7,-1-m ）=λ(n+2,1-m).)2()1().1(1),2(7⎩⎨⎧-=++=m m n λλ 所以m·n -5m+n+9=0. 由OA ·OB =0得m-2n=0， ②由①②得⎩⎨⎧==.3,6n m 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23,3n m【例4】 已知直线l ：Ax+By+c=0,n =（A·B）求证：n⊥l.证明：设（x 0,y 0）为l 的方程的一个解，则Ax 0+By 0+C=0（*）.对l 的方程和（*）式两边作差，整理得A （x-x 0）+B （y-y 0）=0.由向量垂直的条件，得向量n=（A ，B ）与向量（x-x 0,y-y 0）垂直，由于动点（x,y ）的集合就是直线l ，所以n⊥l.【例5】如图所示，是并列的三个大小相同的正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°.解：以O 为坐标原点，OC 、OG 所在的直线为x,y 轴建立坐标系如图，设正方形边长为1，则=（3，1），=（2，1），作向量OH =（3，-1）， 则OE 与OH 的夹角等于∠2+∠3. ∵||=5，|OH |=10.·OH =2×3+1×（-1）=5. ∴cos〈·OH 〉22=. ∵〈·OH 〉∈［0°,180°］， ∴〈·OH 〉=45°,即∠2+∠3=45°.∵∠1=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°.。

苏教版高中高二数学必修4《向量的应用》教案及教学反思一、教学目标1.了解向量的概念，能够准确描述向量的特征和性质。

2.掌握向量的基本运算法则，能够正确地进行加、减、数乘运算。

3.掌握向量的点积和叉积运算，能够熟练地进行计算，并理解其几何意义。

4.熟悉向量的应用，能够解决空间中向量问题。

5.培养学生的空间直观思维和数学思想，提高学生的数学素养和学习能力。

二、教学内容1. 向量的概念（1）向量的定义向量是大小有方向的量，通常用有向线段表示。

（2）向量的特征和性质向量具有大小和方向两个特征，可以进行加、减、数乘等运算。

（3）向量的表示方式向量可以通过起点和终点、坐标表示、列向量等方式表示。

2. 向量的基本运算（1）向量的加减法向量的加减法遵循平行四边形法则。

（2）向量的数乘向量的数乘是将向量的大小乘以一个实数。

3. 向量的点积和叉积运算（1）向量的点积运算向量的点积是将两个向量按位相乘后加起来得到的标量。

（2）向量的叉积运算向量的叉积是将两个向量按照一定的顺序进行叉积运算而得到的向量。

4. 向量的应用（1）向量的共线和平面判定通过向量的数乘和叉积可以判断两个向量是否共线以及三个向量是否在同一平面内。

（2）向量的投影和正交分解向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，在实际问题中经常用到。

（3）空间中向量的运用空间中向量的应用丰富多彩，例如在力学、几何、物理等领域都有广泛的应用。

三、教学方法1. 案例教学法通过具体生活案例介绍向量的概念和特点，从而引导学生理解和掌握向量的基本概念和性质。

2. 案例分析法通过实际问题的分析引导学生掌握向量的应用技巧和解题方法，提高学生的数学解决实际问题能力。

3. 讨论式教学法通过小组讨论的形式，引导学生探讨向量相关问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的自主学习能力。

4. 演示法通过演示和实例解析等方式，让学生更直观地理解和掌握向量的基本运算法则和应用技巧。

四、教学反思在这次教学中，我采用了多种教学方法，例如案例教学法、案例分析法、讨论式教学法等。

2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ． 变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？ （3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥． 题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？ （2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。