(四)高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析

求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。

在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。

本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。

2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。

初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。

3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。

差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。

这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。

时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。

4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。

为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。

数学中的逼近与误差分析方法数学是一门精确的学科，而逼近与误差分析是在数学中常常涉及的重要概念。

无论是求解数学问题还是在实际应用中利用数学进行计算，逼近与误差分析都扮演着至关重要的角色。

本文将介绍数学中的逼近和误差分析方法，并探讨其在实际应用中的意义和应用。

一、逼近方法逼近是指通过寻找一个趋近于所需的值的近似值来求解问题的方法。

在数学中，逼近方法被广泛应用于各个领域，如数值计算、函数逼近等。

逼近方法有很多种，其中常见的有泰勒展开、插值法和最小二乘法等。

1. 泰勒展开泰勒展开是一种将一个函数展开成无穷级数的方法，通过取有限项来逼近原函数的思想。

泰勒展开使得我们可以用一个简单的多项式函数来逼近复杂的函数，从而简化计算。

泰勒展开在数值计算中有广泛的应用，可用于计算函数的近似值和导数的值等。

2. 插值法插值法是一种在给定数据点的情况下，通过建立一个多项式函数来逼近未知函数的方法。

插值法的基本思想是通过数据点构造一个满足这些点要求的多项式函数，从而逼近原函数。

插值法可用于数据的平滑处理、曲线拟合以及信号处理等领域。

3. 最小二乘法最小二乘法是一种通过优化问题，通过对误差的平方和最小化来寻找最佳逼近解的方法。

最小二乘法可以用于任意一种函数逼近问题，例如线性回归分析、数据拟合等。

最小二乘法的基本思想是通过获取一组数据点，拟合一条曲线使得数据点和曲线之间的误差最小。

二、误差分析方法误差分析是对数学计算结果和逼近方法中所引入误差的分析与评估。

在数学计算中，由于各种因素的影响，计算结果通常会与实际值存在一定差距。

误差分析方法能够对这些误差进行量化，并评估其对计算结果的影响。

1. 绝对误差绝对误差是指计算结果与实际值之间的差距。

其计算公式为实际值减去计算结果的绝对值。

绝对误差可以直观地表达计算的精度，它越小表示计算结果越接近实际值。

2. 相对误差相对误差是指计算结果与实际值之间的相对差距。

相对误差的计算公式为绝对误差除以实际值的绝对值。

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程是一类广泛存在于物理学、工程学和生物学等领域的数学模型。

这些方程因其高度复杂性和广泛的适用性，吸引了众多研究者的关注。

求解这类方程，尤其是高精度的数值解法，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将重点讨论非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式，旨在提高数值解的精度和效率。

二、问题描述与数学模型非线性分数阶偏微分方程通常描述了某种物理现象的演化过程。

其一般形式为：Dtu(x,t) + L(u(x,t)) = 0,其中Dtu(x,t)为分数阶导数，u(x,t)为未知函数，L为非线性算子。

此类方程通常难以得到精确解，因此需要借助数值方法进行求解。

三、传统差分格式及其局限性传统的差分方法在求解非线性分数阶偏微分方程时，通常采用低阶的近似格式。

然而，低阶格式在求解过程中往往存在精度不高、稳定性差等问题。

为了克服这些问题，本文提出了一种高阶紧致差分格式。

四、高阶紧致差分格式的构建高阶紧致差分格式的构建主要基于以下步骤：1. 空间离散化：将连续的空间域划分为若干个离散的网格点。

2. 分数阶导数的离散化：利用紧致差分法将分数阶导数转换为差分形式。

3. 构造高阶紧致差分公式：通过对导数进行高阶近似，提高差分公式的精度。

4. 整合非线性项：将非线性算子L与差分格式相结合，形成非线性离散化方程组。

五、高阶紧致差分格式的优点相比传统的低阶差分格式，高阶紧致差分格式具有以下优点：1. 高精度：通过高阶近似，提高了数值解的精度。

2. 稳定性好：紧致差分法在离散化过程中能够保持较好的稳定性。

3. 计算效率高：高阶紧致差分格式可以减少计算量，提高计算效率。

六、数值实验与结果分析为了验证高阶紧致差分格式的有效性，本文进行了数值实验。

通过与非线性分数阶偏微分方程的精确解进行比较，发现高阶紧致差分格式能够显著提高数值解的精度。

同时，该格式在求解过程中的稳定性和计算效率也得到了显著提升。

一阶导数边界处的高阶差分格式在数学和科学领域中，一阶导数边界处的高阶差分格式是一个重要且复杂的概念。

它在数值计算和科学工程中有着广泛的应用。

本文将探讨一阶导数边界处的高阶差分格式，讨论其基本原理、应用场景以及个人理解。

1. 基本原理一阶导数边界处的高阶差分格式是用差分来逼近微分的方法。

在边界处求解一阶导数时，我们需要使用高阶的差分格式来更精确地逼近导数的值。

常见的高阶差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分。

在边界处，特别是当函数在该点不可导或者导数变化剧烈时，高阶差分格式能够提高逼近的准确性。

2. 应用场景一阶导数边界处的高阶差分格式广泛应用于数值计算、科学工程和实际问题的求解中。

在物理学中，当需要计算边界处的导数时，高阶差分格式能够提供更精确的数值结果。

在工程领域中，处理边界条件时，高阶差分格式也能够有效地提高数值计算的准确性。

在金融领域和生物医学领域，一阶导数边界处的高阶差分格式也有着重要的应用价值。

3. 个人理解对于我个人而言，一阶导数边界处的高阶差分格式是一个具有挑战性但又十分重要的概念。

通过学习和应用高阶差分格式，我意识到数值计算中的边界条件处理非常关键，而高阶差分格式能够帮助我们更准确地处理这些边界条件。

在我的实际工作中，我也经常需要使用高阶差分格式来解决复杂的数值计算问题，因此对其原理和应用有着更深入的理解和实际经验。

总结一阶导数边界处的高阶差分格式是数值计算和科学工程中不可或缺的重要概念。

通过本文的探讨，我们对其基本原理和应用场景有了更深入的了解，并且探讨了个人对该概念的理解和应用经验。

在今后的工作和研究中，我将继续深入学习和探索一阶导数边界处的高阶差分格式，以提高自己在数值计算和科学工程领域的能力。

通过以上内容，我希望本文能够对一阶导数边界处的高阶差分格式有一个更全面、深刻和灵活的理解。

一阶导数边界处的高阶差分格式在数学和科学领域中扮演着重要的角色。

它是一种用差分逼近微分的方法，特别在边界处求解一阶导数时，能够提供更精确的数值结果。

求解波动方程初值问题的四阶差分格式波动方程是描述波动现象的重要方程之一，它在物理学、工程学、地球科学等领域都有广泛的应用。

求解波动方程初值问题是一类常见的数值计算问题，其解法有多种，其中四阶差分格式是一种常用的数值解法。

四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其基本思想是将波动方程离散化为差分方程，然后利用差分方程的递推关系求解。

具体来说，四阶差分格式将波动方程在空间和时间上进行四阶差分，从而得到一个高精度的数值解。

四阶差分格式的主要内容包括以下几个方面：1.差分方程的推导差分方程是四阶差分格式的核心，其推导需要根据波动方程的特点进行。

一般来说，差分方程的推导可以采用有限差分法的思想，即将波动方程在空间和时间上进行离散化，然后利用差分近似代替微分，得到一个递推关系式。

2.差分格式的求解差分格式的求解是指利用差分方程递推求解波动方程的数值解。

一般来说，差分格式的求解可以采用迭代法或者直接求解法。

迭代法是指利用差分方程的递推关系式，从初始条件开始逐步迭代求解，直到达到所需的精度为止。

直接求解法是指将差分方程转化为矩阵方程，然后利用矩阵求解方法求解。

3.数值稳定性和精度分析数值稳定性和精度分析是四阶差分格式的重要内容之一，其主要目的是评估差分格式的数值稳定性和精度。

数值稳定性是指差分格式的解是否会因为数值误差而发散或者震荡，而精度分析则是指差分格式的解与真实解之间的误差大小。

4.程序实现和应用程序实现和应用是四阶差分格式的最终目的，其主要内容包括将差分方程转化为程序代码，然后利用计算机进行求解。

应用方面，四阶差分格式可以用于求解各种波动方程初值问题，如声波方程、电磁波方程、弹性波方程等。

总之，四阶差分格式是一种高精度的数值解法，其主要内容包括差分方程的推导、差分格式的求解、数值稳定性和精度分析以及程序实现和应用。

在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的差分格式，并进行数值稳定性和精度分析，以保证数值解的精度和可靠性。

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求解波动方程的2种显式高精度紧致差分格式姜蕴芝;葛永斌【摘要】针对一维波动方程,空间采用四阶Padé逼近,时间采用中心差分离散得到了一种时间二阶、空间四阶精度的显式紧致差分格式,其截断误差为O(τ2+h4).之后采用截断误差余项修正的方法对时间离散进行改进,改进后的格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即格式具有整体四阶精度.然后,通过Fourier方法分析了2种格式的稳定性.最后,通过数值实验验证了本格式的精确性和可靠性.%In this paper,an explicit compact difference scheme is obtained for solving the one dimensional wave equation.The truncation error of the scheme is O(τ2 + h4).It's constructed by applying the fourth-order accurate Padé approximation in space and the second-order accurate central difference in time.Then,the remainder of the truncation error correction method is employed to improve the accuracy of the discretization of time,the truncation error of the improved scheme is O(τ4 + τ2 h2 + h4),which means the scheme has an overall fourth-order accuracy.And then,the stability conditions of the two schemes are obtained by the Fourier method.Finally,the accuracy and the reliability of the present two schemes are verified by numerical experiments.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(040)002【总页数】7页(P177-183)【关键词】波动方程;Padé逼近;紧致格式;显式差分;稳定性【作者】姜蕴芝;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021【正文语种】中文【中图分类】O242.1波动方程是一类重要的双曲型偏微分方程，在数学、物理、化学等领域内有着广泛的应用[1].对这类方程进行数值求解的方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法等.就有限差分法而言，对该类问题研究的理论成果有：文献[2]采用二阶中心差分格式和非均匀网格离散，提出了一种求解一维波动方程在非均匀时间网格上的三层显式差分格式，该格式具有一阶精度；文献[3]利用泰勒级数展开及待定系数法建立了一种求解一维波动方程的三层隐格式，该格式是条件稳定的，并且具有四阶精度；文献[4]将Runge-Kutta方法应用到哈密顿系统中并与辛格式相结合，提出了求解一维波动方程的一类显式辛方法，该方法具有二阶精度，并且是条件稳定的；文献[5]采用三次样条公式推导出精度分别为O(τ2+h2)、O(τ2+h4)、O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的4种差分格式，并采用Fourier方法分析了格式的稳定性；文献[6]对一维二阶波动方程提出了具有二阶精度的精细时程积分法，该方法能够在时间方向上精确计算，空间方向的局部截断误差为O(h2)，并且该方法是无条件稳定的；文献[7]通过加权平均和紧致差分离散的思想提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的隐式紧致差分格式；文献[8]在Crank-Nicolson格式的基础上设计了重叠型区域分解的并行算法，该算法的最优逼近阶为O(τ2+h2)；文献[9]利用三次样条插值，提出了求解一维波动方程的一种三层隐式差分格式，该格式最优能够达到时间二阶，空间四阶精度，并且是无条件稳定的；文献[10]通过四次样条函数与广义梯形算法相结合的方法提出了一维波动方程的一类两层差分格式，其精度为O(τ2+h4)，当选择适当的参数时，其精度可提高到O(τ3+h4)；文献[11]采用四阶紧致差商逼近公式及加权平均思想，提出了2种精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)的交替方向隐式格式，前者是无条件稳定的，后者是条件稳定的；文献[12]提出了一种求解一维波动方程的高精度隐式差分格式，该格式是无条件稳定的，并且具有时间二阶、空间四阶精度.本文将建立2种显式紧致差分格式，为此，考虑如下一维波动方程的初边值问题:其中,u(x,t)是待求未知函数，a为波动系数，f(x,t)为非齐次项，φ(x)、ψ(x)、g0(t)、g1(t)为已知函数，且具有充分的光滑性.设时间步长为τ，空间步长为h，网格节点为(xj,tn)，其中xj=jh，tn=nτ，j=0,1,2,…,N，n>0，用表示u(xj,tn)的近似值.1.1 CTFS格式对初始时间层的离散.利用泰勒展开公式有将(2)式代入(4)式中，进行整理并舍去其截断误差项有计算的值.对空间内部节点采用文献[13]中的四阶紧致差分格式进行逼近，则有对于空间边界节点的处理，由(1)式与(3)式可得时间的推进.对时间方向上的推进，采用中心差分格式有对上式进行整理，并舍去其截断误差项有(10)式即为所构造的显式紧致差分格式，记为CTFS格式.等号右端的项采用(6)～(8)式通过追赶法进行计算，初始时间步由(5)式进行计算.通过差分格式的构造过程不难发现，该格式是显格式，其截断误差为O(τ2+h4).1.2 FTFS格式为了使时间精度与空间精度能够相匹配，使格式整体精度达到四阶，下面对上述差分格式进行改进，进一步提高时间精度，为此，对初始时间层的离散采用文献[7]中的方法，有其中λ=τ/h.对于时间二阶导数项的离散，采用中心差分格式离散后保留其截断误差主项，可得又由(1)式可得将上式代入(12)式中有对(14)式进行整理，并舍去其截断误差项有又由(1)式，对上式进行变形有(15)式即为整体四阶精度的显式紧致差分格式，记为FTFS格式.由格式的构造过程可知，该差分格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4).下面采用Fourier方法分析本文所提2种格式的稳定性.假设源项f精确无误差，令=ηneiωj，其中ξ、η为振幅，ω为相位角，为虚数单位.引理 1[1] 实系数二次方程μ2-bμ-c=0的根按模不大于1的充分必要条件为|b|≤1-c≤2.对于(6)式有对上式进行化简整理有对于CTFS格式(10)，令，将其写为矩阵的形式有令Uj=(uj,vj)T，并将(17)式代入进行整理有从而可得CTFS格式(10)的误差增长矩阵为令λ=τ/h，r=aλ,则得上述误差增长矩阵的特征方程为其中,，c=-1.因此，可得格式(10)稳定的充要条件为即.进而可得稳定性条件为|r|，即|a|.对于FTFS格式(15)，令，将其写为矩阵的形式有令代入上式，并进行整理有将(17)式代入(24)式进行整理，可得FTFS格式的误差增长矩阵为则误差增长矩阵的特征方程为其中，因此，可得该格式稳定的充要条件为上式等价于如下2个不等式:对于不等式(28)易得由于不等式对任意ω的取值都要成立，所以有即|a|.对于不等式(29)，由求根公式易得其等式解为令，则有在y∈[0,2]时，恒有<0，故有Smin=S(y)|y=2=2，此时cos ω=-1.又由于关于对称，故有另一解为1.进而可得第二个不等式的解为，与第一个不等式取交集即得差分格式(15)的稳定性条件为，即|a|].为了验证本文所提2种格式的精确性和可靠性，现考虑如下2个具有精确解的初边值问题.问题 1[7]:其精确解为u(x,t)=sin(πt)sin(πx).问题 2 :其精确解为u(x,t)=te-πtsin(πx).表1～3给出了问题1的计算结果.表1采用本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.由于这2种格式的精度均为时间二阶、空间四阶，因此取τ=2h2，计算了t=0.5时刻取不同h时(τ也相应不同)的L∞和L2范数误差和收敛阶.eL∞和eL2范数及收敛阶的定义如下：由表1的数据可以看出，2种格式空间均达到了四阶精度，而本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表2给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，由于2种格式均具有整体四阶精度，因此取τ=h，计算了t=0.5时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式几乎具有相同的精度.表3验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32,给出了不同时间步steps(不同时间t)、不同网格比λ的计算结果.可以看出，当λ=0.8时CTFS格式是稳定的，而当λ≥1时，CTFS格式是发散的，这与本文的理论分析结果|a|是吻合的.当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这也验证了本文的理论分析结果.而文献[7]中的四阶格式的稳定性条件为因此，当|a|λ大过1之后，计算结果是发散的.表4～6给出了问题2的计算结果.表4采用了本文CTFS格式与文献[7]中的四阶格式进行了计算.取τ=h2，计算了t=1时刻取不同h时的L∞和L2范数误差和收敛阶.同样可以看出，本文的CTFS格式要比文献[7]中的四阶格式更为精确.表5给出了本文FTFS格式和文献[7]中的四阶格式的计算结果，取τ=h，计算了t=1时刻取不同时的L∞和L2范数误差和收敛阶.可以看出，2种格式均达到了四阶精度，但本文FTFS格式比文献[7]中的四阶格式的计算结果更加精确.与问题1齐次问题的结果相比较，说明了本文FTFS格式更加适用于求解非齐次问题.表6验证了本文2种格式的稳定性，取h=1/32，给出了不同时间步、不同网格比λ的计算结果.同样可以看出，当λ=0.8、1.0、1.5、1.6、1.7时，本文FTFS格式是稳定的，这与我们对该格式稳定性的理论分析结果|a|]是吻合的.本文针对一维波动方程提出了2种显式高精度紧致差分格式，2种格式的截断误差分别为O(τ2+h4)和O(τ4+τ2h2+h4)，并通过Fourier分析法分析了2种格式的稳定性，其中前一种CTFS格式的稳定性条件为|a|，后一种FTFS格式的稳定性条件为|a|].然后通过数值实验将本文格式与文献[7]中的格式的计算结果进行对比，可以看出本文格式计算结果更加精确.并且本文格式的精度、稳定性与理论分析相一致，验证了本文格式的精确性与可靠性.此外，文献[14]提出了数值求解二维波动方程的三层全隐式紧致差分格式，其精度分别为O(τ2+h4)和O(τ4+h4)，为了加快迭代收敛速度，采用了多重网格方法进行加速.而本文的显式差分方法可以推广到二维，并且在二维情况下只需进行2次追赶法求解和一次显式递推计算，无需迭代，因此可望本文方法推广到二维后，在保有高精度的情况下会较文献[14]的方法具有更高的求解效率.目前，我们正在进行此方面的研究.另外，文献[15]提出了分数阶波动方程的一种差分方法，发展分数阶波动方程的显式高精度差分方法也是一个有意义的研究方向.致谢宁夏大学自然科学基金项目(ZR1407)和宁夏大学研究生创新项目(GIP2016032)对本文给予了资助,谨致谢意.【相关文献】[1] 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崔进,吴宏伟.一类波动方程初边值问题的高阶差分格式[J].应用数学,2014,27(1):166-174.[13] LELE S pact finite difference schemes with spectral-like resolution[J].J Comput Phys,1992,103(1):16-42.[14] 葛永斌,吴文权,田振夫.二维波动方程的高精度隐格式及其多重网格算法[J].厦门大学学报(自然科学版),2003,42(6):691-696.[15] 余跃玉.一种Caputo型时间分数阶波动方程的差分方法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(4):524-528.2010 MSC：35A35; 65M99。

解高维热传导方程的一族高精度的显式差分
格式
1 热传导方程及其差分格式
热传导方程是传统数学物理中最基础和最重要的方程之一，它可以描述物体温度随时间、空间变化的过程。

该方程最早出现在18格仑偏微分方程当中。

由于它与现实生活息息相关，自20世纪以来，它发展成为热传导理论的基础，以及热传导问题的基本处理方法和工具。

同时也是热科学及工程中最重要的模拟问题之一。

高维热传导方程有分量形式和平均值形式，它关系到很多跨越学科的问题，是普通微分方程解的典型应用。

但是，通常的数值方法很难满足它的解的准确性要求，尤其是分量形式的高维热传导方程，计算它的精度更为重要。

为了解决高维热传导方程的精度问题，高精度的显式差分格式发展出来，它利用了正交网格，并用空间参数指数外推算法求解热传导方程。

首先，把分量形式简化为差分表达式，格式化为矩阵形式，采用插值方程构成差分法，然后把位置和时间进行外推；最后对比解答解，得出传热率的数值。

该差分格式提供了解高维热传导方程的精准而可靠的工具，可以有效提高高维热传导的研究的质量与速度。

综上所述，高维热传导方程解的准确性极其重要，而高精度的显式差分格式则为此提供了有力的工具，极大地提升了对高维热传导方程的研究的可能性。

高精度差分格式WNND的构造及数值实验
赵海洋;刘伟;万国新
【期刊名称】《国防科技大学学报》
【年(卷),期】2002(024)006
【摘要】基于二阶NND格式,通过引入Jiang和Shu的加权思想以及具有TVD 性质的三阶Runge-Kutta方法,构造了一种时间、空间均达到三阶精度的WNND 格式.分别以波动方程、一维Euler方程和三维全Navier-Stokes方程为例,通过对WNND格式的数值结果分析表明,WNND格式引起的耗散和波动较小,并且能够高精度地分辨场间断.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】赵海洋;刘伟;万国新
【作者单位】国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073;国防科技大学航天与材料工程学院,湖南,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】V411.3
【相关文献】
1.辛差分格式的阶条件和高阶格式的构造 [J], 朱文杰
2.高精度有限差分格式的构造与分析 [J], 徐会林;刘明
3.高精度的数值积分对偶格式及其数值实验 [J], 徐伟;郑华盛;陈凌蕙
4.构造定常对流扩散方程高精度紧致差分格式的新方法 [J], 田振夫
5.三阶WNND格式的构造及在复杂流动中的应用 [J], 刘伟;赵海洋;谢昱飞
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解二阶抛物型方程含参数高精度两层差分格式引言在数值计算中，抛物型偏微分方程是一类重要的方程，涉及到热传导、扩散、反应扩散等许多实际问题的数值模拟。

而解二阶抛物型方程含参数的问题则更具有挑战性，建立高精度的差分格式成为研究的重点之一。

本文将详细探讨解二阶抛物型方程含参数的高精度两层差分格式。

二阶抛物型方程含参数先考虑一个边界平滑、参数依赖的二阶抛物型方程：其中，u(x,t)是未知函数，a(x)是参数函数，f(x,t)是外力项。

本文的目标是构建一个高精度的差分格式来求解这个方程。

高精度差分格式的结构由于我们要构建高精度的差分格式，自然而然地思路是采用两层差分格式的结构。

两层差分格式具有更高的精度和更好的稳定性，对于求解复杂的偏微分方程尤为有效。

一维差分格式首先，我们先介绍一维的差分格式。

对于一维问题，我们可以将区域进行离散化，将连续的问题转换为离散的问题。

一维差分格式可以表示为：这个差分格式包含三个部分，分别是时间项、空间项和外力项。

其中，时间项计算了时间导数，空间项使用中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。

多维差分格式对于二维问题，我们可以将其推广为多维差分格式。

多维差分格式的基本思想是利用乘积形式构造更高维的差分格式。

在这里，我们只考虑二维情况：这个差分格式在时间、x方向和y方向都有相应的差分项。

同样，时间项计算了时间导数，空间项使用了中心差分方法计算了空间导数，外力项贡献了外力。

参数依赖的高精度两层差分格式在介绍了一维和多维差分格式后，我们接下来考虑含参数的高精度两层差分格式。

对于含参数的问题，我们需要在空间项中考虑该参数的影响。

高精度的两层差分格式可以表示为：其中，αi,j n是参数依赖的系数。

高精度差分格式的稳定性和收敛性分析在构建高精度差分格式时，我们不仅需要关注其精度，还需要考虑其稳定性和收敛性。

在这一部分，我们将对所构建的高精度差分格式进行稳定性和收敛性的分析。

稳定性稳定性是差分格式是否收敛的重要条件之一。

差分格式收敛性分析相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。

经典显示差分格式：h→，k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。

绝大多数差分格式为无条件相容！稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。

条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。

Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。

算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。

(1)显式差分为例：误差的传播过程图：(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点：a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到：经典显式差分稳定性条件：Richardson显式差分O(Δ)结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论：无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。