二维泊松方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式

二维有限差分矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分会总体介绍本文将要讨论的主题——二维有限差分矩阵。

本文将首先简要概述二维有限差分方法的基本原理和应用领域，然后详细介绍二维有限差分矩阵的构建方法。

通过本文的阐述，读者将了解到二维有限差分矩阵在数值计算、物理仿真、图像处理等领域的广泛应用，并获得一定的实践指导和理论支持。

二维有限差分方法是一种常用的数值计算技术，广泛应用于解决二维偏微分方程及相关问题。

通过将连续问题离散化为离散点之间的差分，可以利用计算机进行高效且准确的计算。

而二维有限差分矩阵则是二维有限差分方法中的关键组成部分，用于描述问题的离散化形式。

本文着重介绍二维有限差分矩阵的构建方法。

首先，将介绍二维有限差分方法的基本原理，包括空间离散化和时间离散化。

然后，将详细介绍如何根据实际问题的边界条件和离散化精度构建二维有限差分矩阵。

通过合理选择差分格式和边界条件，可以得到满足精度要求的二维有限差分矩阵。

需要注意的是，二维有限差分方法和二维有限差分矩阵的适用范围广泛，不仅仅局限于数值计算领域。

它还可以应用于物理仿真领域，如电磁场模拟和流体动力学分析；以及图像处理领域，如边缘检测和图像恢复等。

通过本文的学习，读者将能够掌握二维有限差分方法的基本原理，了解二维有限差分矩阵的构建方法，并在实际应用中灵活运用。

1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，首先对二维有限差分方法做了一个概述，介绍了其在科学计算和工程领域中的重要性和广泛应用。

接着对文章的结构进行了说明，明确了各个部分的内容和安排。

最后，明确了本文的目的，即探讨二维有限差分矩阵的构建方法。

正文部分主要包括两个部分：二维有限差分方法简介和二维有限差分矩阵的构建。

在第2.1节中，我们将对二维有限差分方法进行简要介绍，包括其基本原理和步骤。

我们将详细解释如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，并介绍如何选择合适的差分格式和网格划分方法。

定常对流扩散反应方程非均匀网格上高精度紧致差分格式田芳;田振夫
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2009(026)002
【摘要】本文构造了非均匀网格上求解定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式.我们首先基于非均匀网格上函数的泰勒级数展开,给出了一阶导数和二阶导数的高阶近似表达式;然后将模型方程变形,借助于对流扩散方程高精度紧致格式构造的方法,结合原模型方程,得到定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式;最后给出的数值算例验证了本文格式高精度和高分辨率的优点.
【总页数】7页(P219-225)
【作者】田芳;田振夫
【作者单位】宁夏大学数学计算机学院,银川,750021;复旦大学数学科学学院,上海,200433
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式 [J], 黄雪芳;郭锐;葛永斌
2.一维定常对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致差分格式 [J], 薛文强;兰斌;葛永斌
3.一维非定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式 [J], 杨晓佳;田芳
4.一维定常对流扩散反应方程的高精度紧致差分格式 [J], 祁应楠;武莉莉
5.一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致差分格式 [J], 赵飞;陈建华;葛永斌
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poisson方程三维有限差分格式三维Poisson方程有限差分格式主要应用于求解三维空间中的Poisson方程。

与二维情况类似，我们需要将三维空间划分为网格，然后对网格节点上的函数值进行差分。

以下是一个基本的三维有限差分格式求解过程：1. 网格划分：首先对三维求解区域进行网格划分。

网格划分的方向可以采用均匀网格或非均匀网格，取决于问题的特性。

通常，在边界附近的网格节点密度会较大，以更好地捕捉边界附近的梯度变化。

2. 建立差分方程：根据五点差分格式，我们可以得到三维Poisson方程的差分形式。

在x、y、z方向上，分别对函数u(x, y, z)进行差分，得到如下形式的差分方程：u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z) / (2h) = λ* (u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z)) / (2h) u(x, y+h, z) - u(x, y-h, z) / (2h) = λ* (u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h)) / (2h) u(x, y, z+h) - u(x, y, z-h) / (2h) = λ* (u(x+h, y, z) - u(x-h, y, z)) / (2h)其中，h为网格步长，λ为比例系数，可根据边界条件和初始条件进行调整。

3. 迭代求解：将差分方程组转化为矩阵形式，然后采用迭代方法（如Gauss-Seidel迭代法）求解。

对于每个网格节点，迭代更新u(x, y, z)的值，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

4. 后处理：在求解过程中，可以采用一些后处理方法来提高解的质量，如欠松弛技术、人工粘性层等。

5. 验证与分析：将求解得到的结果与理论解析解或实验数据进行比较，分析数值解的准确性和稳定性。

需要注意的是，在实际应用中，根据问题的具体情况，可能需要对上述求解过程进行相应的调整，如采用非均匀网格、多重网格技术、自适应步长等方法。

二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。

它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。

具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。

偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。

在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。

通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。

然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。

解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。

迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。

通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。

它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。

二维波动方程的高精度交替方向隐式方法二维波动方程是一种常见的偏微分方程，用于描述二维空间中的波动现象。

在数值求解二维波动方程时，高精度交替方向隐式方法是一种常用的数值方法。

这种方法在时间和空间方向上交替进行计算，通过隐式格式来增加算法的稳定性和精度。

本文将详细介绍二维波动方程的高精度交替方向隐式方法。

首先，我们来定义二维波动方程的数学模型。

假设二维波动方程的解为u(x,y,t)，那么数学模型可以表示为：∂²u/∂t²=c²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，c表示波速，x,y表示空间坐标，t表示时间。

根据数学模型，我们可以推导出算法的差分格式。

对时间求二阶导数，我们可以使用中心差分公式，得到：(∂²u/∂t²)_(i,j)≈[u(i,j,t+Δt)-2u(i,j,t)+u(i,j,t-Δt)]/Δt²对空间求二阶导数，我们可以使用中心差分公式，得到：(∂²u/∂x²)_(i,j)≈[u(i+1,j,t)-2u(i,j,t)+u(i-1,j,t)]/Δx²(∂²u/∂y²)_(i,j)≈[u(i,j+1,t)-2u(i,j,t)+u(i,j-1,t)]/Δy²将上述差分格式代入数学模型中，得到：[u(i,j,t+Δt)-2u(i,j,t)+u(i,j,t-Δt)]/Δt²=c²{[u(i+1,j,t)-2u(i,j,t)+u(i-1,j,t)]/Δx²+[u(i,j+1,t)-2u(i,j,t)+u(i,j-1,t)]/Δy²}对于高精度交替方向隐式方法，时间和空间的差分方程交替进行迭代，以提高算法的稳定性和精度。

首先，我们可以使用空间差分方程来迭代时间。

时间t的取值范围为[0,T]，每个时间步长为Δt。

五点差分格式求解poisson方程Poisson方程是数学物理中的一个重要方程，广泛应用于电场、热传导、流体力学等领域。

求解Poisson方程的方法有很多，其中五点差分格式是一种常用的数值求解方法。

五点差分格式是一种离散化的方法，将Poisson方程中的二阶导数用差分近似表示。

具体来说，我们将求解区域划分为网格，每个网格点上的解值用一个未知数表示。

然后，根据Poisson方程的离散形式，我们可以得到一个线性方程组，通过求解这个方程组，即可得到Poisson方程的数值解。

在五点差分格式中，我们使用中心差分来近似二阶导数。

对于一个二维的求解区域，我们可以将其划分为若干个网格点，每个网格点的坐标为(i,j)，其中i表示横向的网格编号，j表示纵向的网格编号。

假设网格的步长为h，则(i,j)点的解值为u(i,j)。

根据中心差分的定义，我们可以得到(i,j)点的二阶导数近似为：(u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/h^2 + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/h^2将上述近似代入Poisson方程中，我们可以得到：(u(i+1,j) + u(i-1,j) + u(i,j+1) + u(i,j-1) - 4u(i,j))/h^2 = f(i,j)其中f(i,j)为Poisson方程中的源项。

根据上述离散形式，我们可以得到每个网格点上的线性方程，将所有的线性方程组合起来，即可得到一个大的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到Poisson方程的数值解。

在实际求解中，我们可以使用迭代法来求解这个线性方程组。

常用的迭代方法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。

这些迭代方法的基本思想是通过不断迭代更新未知数的值，直到收敛为止。

除了迭代法，我们还可以使用直接法来求解线性方程组。

常用的直接法有LU分解法、Cholesky分解法等。

这些直接法的基本思想是通过将线性方程组转化为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，从而求解出未知数的值。

一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。

然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。

本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。

二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。

在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。

我们需要求解方程(1)，找到u的分布。

为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。

假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。

我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。

首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。

我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。

对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。

接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。

我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。

对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。

方程utt-uxx-uxxtt=f(u)的紧致差分格式紧致差分格式是一种在数值计算中比较常用的方法，用于解决求解常微分方程的问题。

本文将讨论如何使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们来看看ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的几何意义。

这个方程的左边表示的是一个变量u的二阶时间导数，其中u的二阶空间导数也参与其中。

右边的f(u)表示的是一个函数，我们可以认为它是外部的一个影响因素。

接下来，我们要使用紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

首先，我们将方程进行分析，可以得出：$$u_{tt}-u_{xx}-u_{xxtt}=f(u)$$可以将上述方程分解为：$$u_{tt}-u_{xx}=g(u)$$$$g(u)=-u_{xxtt}+f(u)$$此时，我们可以使用紧致差分格式来求解上述方程，即：$$\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta x^2}-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Deltax^2}=g(u_{i,j})$$其中，$u_{i,j}$表示的是时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

最后，我们可以使用上述紧致差分格式来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程，其中$u_{i,j}$表示时间和空间上的网格点的u值，$\Delta x$表示的是网格的间距，$g(u_{i,j})$表示的是外部影响因素f(u)在网格点$u_{i,j}$上的值。

使用紧致差分格式，可以很容易地求解出ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程的解。

总的来说，紧致差分格式是一种比较常用的数值计算方法，可以用来求解ut-uxx-uxxtt=f(u)的常微分方程。

一维非定常对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式黄雪芳;郭锐;葛永斌【摘要】A high accuracy compact finite difference scheme with non-uniform grids is pro-posed to solve unsteady convection diffusion equations, which are used to describe boundary layer problems or locally large gradient problems, etc. The new method starts from the dis-cretization of the steady convection diffusion equation. Firstly, the spatial derivatives are discretized by using the Taylor series expansion on non-uniform grids. Then, the second order backward Eulerian difference formula is used to discretize the temporal derivative term. The three-level full implicit compact difference scheme on non-uniform grids for solving the one-dimensional unsteady convection diffusion equation is derived. The new scheme has the second order accuracy in time and the third to fourth order accuracy in space and is unconditionally stable. Finally, some numerical experiments are conducted to demonstrate the high accuracy and the advantages in solving boundary layer problems or locally large gradient problems.%本文在非均匀网格上给出了求解非定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分格式，特别适合边界层和大梯度等问题的求解。

第 30 卷第 1 期2024 年 2 月Vol. 30 No.1February 2024二维扩散方程的Du Fort-Frankel差分格式*黄卓红，唐榕羚（广西民族大学 数学与物理学院，广西 南宁 530006）摘 要：文章对水质污染分析模型的数值求解技术展开研究，深入细致地探索扩散方程的新型差分格式，应用Du Fort -Frankel 差分格式对二维扩散方程进行离散，使用泰勒展开式，提出该类差分格式具有二阶精度，指出该类差分格式与原二维扩散方程是相容的，并验证了该类差分格式的收敛性和绝对稳定性。

关键词：二维扩散方程；Du Fort -Frankel 差分格式；相容；收敛；稳定性中图分类号： O241.6 文献标识码： A 文章编号： 1673-8462（2024）01-0105-040　引言水质污染分析模型的数学表达式往往包含微分方程、积分方程、代数方程、差分方程和微分-差分方程，等等。

［1］水质污染分析模型既是水环境科学研究的内容之一，又是水环境研究的重要工具。

［2］对流和扩散现象大量出现在自然界及工程技术领域。

例如：河流污染、大气污染和核废物污染中污染物质的分布。

人类在不断探索的过程中发现描述污染物在水体运动过程的数学模型通常都是对流-扩散方程，对于复杂的数学模型问题，人们往往只能通过数值模拟方法获得近似的数值解。

为了寻求这类数学模型的数值解，国内外许多学者做了大量的工作。

［3-7］郑永红等人［6］利用SOWMAC 格式求解了二维对流扩散方程，汪守东和沈永明［7］将SOWMAC格式、Crank -Nicloson 格式等应用到三维对流扩散方程中，并指出迎风等多种格式在求解三维对流扩散问题时存在不足。

刘忠波、房克照和孙昭晨［8］使用Crank -Nicolson 和混合4阶Adams -Bashforth -Moulton 两种时间步进格式和两种空间精度格式处理对流项，并利用所建立的差分格式求解经典污染物浓度场的三维对流扩散问题。

二维hammerstein方程数值解的高精度算法二维Hammerstein方程是一种常见的非线性微分方程，由线性动力系统和非线性静态非连续增量函数组成。

它在信号处理、图像处理、控制理论等领域具有广泛的应用。

解决二维Hammerstein方程的数值方法一直是学术界的热点问题之一，因为它具有挑战性和重要性。

在本篇文章中，我们将讨论关于二维Hammerstein方程数值解的高精度算法。

1. 了解二维Hammerstein方程我们需要了解二维Hammerstein方程的基本形式和特点。

该方程可以被表示为：\[ y(n, m) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} K(n, m, x, y)f(x, y)dxdy \]其中，\(y(n, m)\)代表方程的输出，\(f(x, y)\)是方程的输入，而\(K(n, m, x, y)\)是非线性增量函数。

二维Hammerstein方程描述了输入和输出之间的关系，通过非线性增量函数将输入信号映射到输出信号。

2. 数值解的常见方法对于二维Hammerstein方程的数值解，目前存在许多常见方法。

其中最常见的方法是使用离散化的方式来近似方程中的积分。

通过将定义域离散化为多个细小的网格，并使用数值积分方法（如Simpson法则或梯形法则），可以得到方程的数值解。

这些方法相对简单，但在某些情况下可能会导致精度降低。

3. 高精度算法为了提高二维Hammerstein方程数值解的精度，我们可以应用一些高精度算法。

这些算法可以通过减小离散化步长、使用更准确的数值积分方法或采用更高阶的数值差分格式来实现。

一种常见的高精度算法是通过使用多项式插值来近似非线性增量函数。

通过在每个离散点处计算非线性增量函数的值，并使用插值方法来估计其他任意点的函数值，我们可以得到更准确的数值解。

其中，拉格朗日插值和样条插值是常用的插值方法，在二维Hammerstein方程的求解中均有应用。

二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子张衡;郑汉垣【摘要】基于结构分析的思想,讨论大规模病态稀疏线性方程的病态机理和预处理原理,定义该方程组的病态结构、病态因子、去病因子.针对病态结构,设计去病因子,以去病因子为预条件子,并对预条件子的性能进行定量分析,结果表明去病因子是最优预条件子,该预条件子的使用,几乎不增加迭代的计算量,预处理后方程组的主体保持正定对称,条件数接近常数.【期刊名称】《福建师大福清分校学报》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】6页(P1-6)【关键词】病态机理;病态结构;病态因子;去病因子;预处理【作者】张衡;郑汉垣【作者单位】福建师范大学福清分校无损检测技术福建省高校重点实验室,福建福清350300;福建师范大学福清分校电子与信息工程学院,福建福清350300;龙岩学院传播与设计学院,福建龙岩364012【正文语种】中文偏微分方程大规模数值求解问题，通常转化为大规模病态（高条件数）稀疏线性方程组的求解 [1].该方程组的条件数经常随着问题规模的增加而增加[2]，成为影响求解效率和精度的瓶颈因素.因此，在迭代求解之前，使用预处理方法来减少方程组的病态，成为提高求解效率和精度的必要措施.所谓“预处理技术”是指在求解方程组时，构造简单的可逆矩阵 M 1 , M 2，使得Cond( ) < <Cond(A )（Cond(A)是指矩阵A的条件数），, 容易计算，从而方程组（1）化成等价易解的方程组其中x ′ =M2 x，矩阵 M 1 M 2称为预条件子 [3-4]．如果 C ond( 1)与A的阶数无关，则称M1 M 2为最优预条件子[5]205-209.病态方程组的成功求解，常常以适当的预条件子作为前提.由于缺乏对病态机理和预处理原理的研究，目前关于预处理问题的理论仍然不完善.一是缺乏一般的预处理方法，没有通用的预条件子，只能针对具体问题，根据预条件子的基本要求，设计具体的预条件子[6-8]；二是对预处理的效果（条件数下降的程度，预处理后的条件数，对计算量的影响等）缺少科学的定量分析，多用实验结果说明[9-15].目前关于病态机理和预处理原理的研究鲜见有成果发表.本文讨论病态机理和预处理原理.定义方程组的病态结构、病态因子、去病因子，讨论他们的性质和作用. 使用有限差分方法，大规模求解二维泊松方程边值问题时，基于非均匀网格形成的有限差分方程，是稀疏病态方程组.基于结构分析的思想[16-19]，针对该方程，研究病态结构、病态因子、去病因子.将病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体问题和方法引起的继发性病态，更准确地说明了不同的因素对病态的影响；以去病因子为预条件子，对预处理的效果（条件数下降的程度，对计算量的影响）定量分析，结果说明去病因子是最优预条件子[5]205-209；该预条件子的使用，几乎不增加求解的计算量，预处理后方程组的主体保持正定对称，条件数接近常数（与问题规模无关）.1 矩阵的病态结构与去病因子1.1 矩阵的病态结构定义1 可逆矩阵的如下结构称为病态结构：其中是整数，，Y1C Y2 ,Y1Y2 均可逆，Cond(C )很小，C o nd(Y 1C Y2 )和 C ond(Y 1Y2)很大为A的病态主体，分别称 Y1 , Y2 为左、右病态因子.显然，在定义1中，C o nd(A) ≈Cond(Y 1C Y2)1.2 去病因子如果A有(3)式的病态结构，为减少或者消除病态，可针对病态因子，设计预条件子M1 , M 2，使得) < <Cond(Y 1C Y2 )，从而减少或者消除病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.因为 1 2,Y Y 不是方阵，所以即使找到病态因子，也难以用逆矩阵的方法设计预条件子.特别地，有定义2 如果可逆矩阵 1 2,M M 满足：，或者，则称这样的 1 2,M M 为 1 2,Y Y 的去病因子.定义2中可认为去病因子 1 2,M M 消除了病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.通常考虑寻找满足=I的可逆矩阵 1 2,M M.特别地，对于正定对称矩阵的情形，有命题 1：设C分别是阶正定对称矩阵，则有2)如果有α阶矩阵M满足则有证明：1)利用Rayleigh-Ritz定理[20]所以，即(4)成立.2)根据条件有 M -1 YYTT M-TT =，I是α α阶单位矩阵，利用结论1)有Cond(M -1 YCYTT M-TT )≤≤Cond(C ) Cond(M -1 YYTT M -TT )=Cond(C)，即(6)成立.根据命题1，如果 Y , 是病态因子，则满足(5)式的矩阵 M , 可以消除 Y , 的作用，因此有定义3 称满足(5)式的矩阵M为属于Y的去病因子.1.3 一个特别的病态因子及其去病因子阶正弦变换矩阵，有命题2：Z Z TT =HHTT命题3：3)对于任意 m ( n + 1 )+ n ( m + 1 )阶正定对称矩阵P，有证明：1)根据命题2 ，Z Z TT 的特征值为，1 ≤ i≤ n，1 ≤ j≤ m.所以即(7)成立.2)记，则容易验证：1 + 2min(x, y) ≥ g ( x, y) ≥ m in(x, y)，所以3)根据(4)可得.证毕.根据命题3和定义1，Z , Z T 是 Z PZT或者 Z Z T 的病态因子；根据命题2和定义3，矩阵H是属于Z的去病因子.2 二维泊松方程边值问题非均匀网格的有限差分方程使用有限差分方法，求解二维泊松方程边值问题[4]100-101其中f =f( x, y) ,(x, y) ∈ D = [ a, b] × [ c, d ] ⊂R2对D做非均匀网格剖分[5]59：在(xi, y j )，使用δ x x u i, j , δ y y u i, j , fi, j 分别代替u x x , u y y,f，得到非均匀差分格式其中0≤≤i≤n+1，0≤≤j≤≤ m +1.记则有命题4：问题(9)有如下的有限差分网格方程证明：容易验证根据上述记号的定义，有根据差分格式(10)，有 - δxx u -δyyu=f，所以(11)式成立.证毕.3 有限差分方程的病态结构与最优预条件子及其预处理效果显然，当 h i , x , h j , y都很小时，根据 P , Q, Z的定义，命题4的(11)式中，ZPZ T >>Q，在系数矩阵A中，Z P Z T是A的大范数部分，即主要部分，Co nd(A) ≈ Cond(Z PZ T )；根据定义1和命题3，有限差分方程(11)的系数A矩阵具有病态结构，Z P Z T是A的病态主体，Z, Z T是病态因子；根据命题2，矩阵H是属于Z的去病因子.根据命题3，A的病态大部分是由病态因子Z表达的，少部分是P表达的，Q对A的病态影响很小.病态因子Z表达的病态来自微分算子，是本质的，离散精度越高，A的阶数越大，Z表达的病态越严重；P表达的病态来自网格大小，几乎不受A的阶数影响，是非本质的，可以随着应用问题的不同而不同，在应用中可以调整. 定义4 称病态因子Z表达的病态为原生病态，P表达的病态为继发病态使用H作为预条件子，则方程(11)化成容易验证：Cond()P 几乎不受 ,m n的影响.根据命题1的结论2),有因此，H H T 是最优预条件子[5]205-209.H, H - 1都是离散傅里叶变换矩阵的直积与对角矩阵的积，有简单、确定的结构，因此预条件子的构造和预处理计算不需要增加大量成本，其中预处理需要的计算是H , H -1与向量的乘积，每次需要的计算操作数是O( m n l og2(n m )) ，即有限次离散快速傅里叶变换的计算量，所以每个迭代步的计算量没有显著增加.预处理后，方程(12)的系数矩阵的主体仍然是正定对称矩阵，所以仍然可以使用经典Krylov子空间方法—共轭梯度法求解，即为预处理共轭梯度法[4]139-151.4 结论1）二维泊松方程边值问题的有限差分网格方程，是稀疏病态方程组，它的结构中，隐藏着包含病态因子的病态结构，这是病态产生的根本原因.2）有限差分方程组的病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体方法引起的继发性病态，原发性病态是主要的、本质的.3）针对病态因子，可找到去病因子，将去病因子作为预条件子，可消除病态因子的致病作用，即消除原发性病态.预处理后，系数矩阵主体（大范数部分）的条件数降为接近常数，几乎不受方程阶数的影响，因此，去病因子是最优预条件子[5]205-209.4）将去病因子作为预条件子，预处理过程基本不增加计算操作数，并且预处理后矩阵主体保持正定对称.5）与经典的不完全LU分解法比较，本文的预条件子针对病态因子设计，有明显的针对性和标准，得到的预条件子与具体的问题的继发性病态没有关系，有一定的通用性.【相关文献】[1] JIA Z X. 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