直线与抛物线的交点问题-学生版

第 三 章 圆锥曲线的方程
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.

课堂小结：
1、本节复习课主要复习直线与抛物线交点的问题，
2、在解题过程中，计算要求比较高，应夯实基础提高应用
3、充分利用“图象”这个载体随时随地渗透数形结合的数学思想
1、（2013门头沟一模23）已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当 时，关于x的二次函数 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线 ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线 与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．
2、（2013丰台一模23）二次函数 的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)．
（4）求二次函数的解析式；
11、（2014东城一模23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0（m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
并求直线l的解析式
方法总结：
例4：已知：抛物线
（1）当c=-3时，求出抛物线与x轴的交点坐标
（2）当-2<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围
方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析

当 Δ<0 且 k≠0，即 k>12时，方程（*）没有实数解，从而 直线 l 与抛物线没有公共点．
综上可得：当 k＝0 或 k＝12时，直线 l 与抛物线只有一个 公共点；当 k<12且 k≠0 时，直线 l 与抛物线有两个公共点；当 k>12时，直线 l 与抛物线没有公共点．
[一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝ 2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方 程：ax2＋bx＋c＝0．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点
的横坐标为2, 则k＝
()
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：由yy＝2＝k8xx－，2， 得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2>0，得k>－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4kk＋2 8＝4，
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：设直线方程为 y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立，得
y2＝8x， y＝kx＋2，
消去 x 得到关于 y 的方程 ky2－8y＋16k＝0.
当 k＝0 时，上述方程有解，所以直线与抛物线有公共点；
当 k≠0 时，应有 Δ≥0，即 64－64k2≥0，解得－1≤k≤1 且 k≠0.
4 3
.两直线间的距离
为15|－8－(－43)|＝43.
法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为15|4m－3m2－8|＝35|(m－23)2＋290|. 当m＝23时，取得最小值43.
答案：A

专题：直线与抛物线的交点问题1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________；2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______；3、假设关于x 的函数12y 2-+=x kx与x 轴仅有一个公共点，那么实数k 的值为__________．例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。

例2：抛物线13212-+=x x y 和直线k x y -= 〔1〕当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？〔2〕当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？〔3〕当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？练习：抛物线22+-=x x y 与直线b x y +=-2只有一个交点，求直线与抛物线的交点坐标。

例3：二次函数y=x 2+bx+c 的图象如下图，其顶点坐标为M 〔1，﹣4〕． 〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象答复：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．练习1:关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．〔1〕求k 的值；〔2〕当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线y=x+b 〔b ＜k 〕与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．练习2:抛物线322--=x x y 在自变量0>x 的局部图像为G ，直线l 的解析式为()52-+=x k y ，当直线l 与图像G 有两个交点时，求K 的取值范围。