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高中数学数列与数列极限的性质及定理总结数列是高中数学中的重要概念之一，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
数列的研究对于理解数学的发展和应用具有重要意义。
本文将总结数列的性质及定理，并通过具体题目的分析，说明其考点和解题技巧，以帮助高中学生和家长更好地理解和应用数列。
一、数列的性质1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。
有界数列是指其所有项都在某个范围内，无界数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是无界的，而数列{(-1)^n}是有界的，其项的取值范围在-1和1之间。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。
单调递增数列是指其后一项大于或等于前一项，单调递减数列则相反。
例如，数列{1, 2, 3, ...}是单调递增的，而数列{3, 2, 1, ...}是单调递减的。
3. 有界单调性：数列既有界又单调，即既满足有界性，又满足单调性。
例如，数列{(-1)^n/n}既是有界的，其项的取值范围在-1和1之间，又是单调递减的。
二、数列极限的性质及定理1. 数列极限的定义：数列{a_n}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项a_n趋向于某个常数L。
用数学符号表示为lim(a_n) = L。
例如，数列{1/n}的极限是0，即lim(1/n) = 0。
2. 数列极限的唯一性：如果数列{a_n}的极限存在，那么它是唯一的。
即数列的极限不依赖于数列的前几项，只与数列的性质有关。
例如，数列{(-1)^n/n}的极限是0，无论数列的前几项是多少。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限的重要定理之一，它用于求解一些复杂的极限问题。
夹逼定理的核心思想是通过夹逼数列来确定数列的极限。
例如，对于数列{1/n^2}，我们可以通过夹逼定理得出其极限为0。
4. 递推数列的极限：递推数列是指通过前一项或前几项来确定后一项的数列。
递推数列的极限可以通过求解递推关系式来确定。
例如，对于数列{a_n = a_(n-1) +1/n}，我们可以通过求解递推关系式得出其极限为无穷大。
高中数学数列与数列极限的收敛与发散情况分析数列与数列极限是高中数学中的重要概念，对于理解数学的发展规律以及解决实际问题具有重要意义。
本文将从数列的定义出发，分析数列的收敛与发散情况，并通过具体题目举例，说明不同类型题目的考点和解题技巧。
一、数列的定义与基本性质数列是按照一定规律排列的一组数，可以表示为{an}或者{a1, a2, a3, ...}。
其中，an表示数列中的第n个数，a1, a2, a3, ...表示数列中的前n个数。
数列的收敛与发散是指数列中的数是否趋于某个确定的值，即数列是否有极限。
如果数列{an}的极限存在，那么我们称数列收敛，否则称数列发散。
根据数列的定义和基本性质，我们可以通过以下几个方面来判断数列的收敛与发散情况。
二、数列的收敛与发散判定方法1. 数列的递推关系对于一些常见的数列，我们可以通过观察数列的递推关系来判断其收敛与发散情况。
例如，等差数列和等比数列是高中数学中常见的数列类型。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当公差d为0时，数列为常数数列，显然收敛于a1；当公差d不为0时，数列无极限，发散。
对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当公比|r| < 1时，数列收敛于0；当|r| > 1时，数列发散；当|r| = 1时，数列可能收敛也可能发散，需要进一步判断。
2. 数列的极限定义根据数列的极限定义，我们可以通过数列的递推关系和初值来判断其收敛与发散情况。
例如，对于数列an = 1/n，我们可以通过计算数列的前几项来猜测其极限为0。
然后，我们可以使用数学归纳法证明该数列的极限确实为0。
3. 数列的单调性与有界性对于某些特殊的数列，我们可以通过数列的单调性和有界性来判断其收敛与发散情况。
例如，对于数列an = (-1)^n/n，我们可以通过观察数列的符号变化和数列的绝对值来判断其收敛与发散情况。
高考高等数学备考指南数列极限计算在高考高等数学中，数列极限计算是一个重要且具有一定难度的考点。
掌握好数列极限的计算方法，对于在高考中取得优异的数学成绩至关重要。
本文将为大家详细介绍数列极限计算的相关知识和备考策略。
一、数列极限的基本概念首先，我们需要明确数列极限的定义。
对于数列{aₙ}，如果当 n 无限增大时，aₙ 无限趋近于一个常数 A，那么我们就说数列{aₙ}的极限是 A，记作lim(n→∞） aₙ ＝ A。
理解数列极限的概念是进行计算的基础。
要注意，数列极限反映的是数列的变化趋势，而不是数列的某一项的值。
二、常见数列极限的类型1、常数数列如果数列{aₙ}的每一项都等于常数 C，那么lim(n→∞） aₙ ＝ C。
2、等差数列对于等差数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，当 d ＝ 0 时，数列是常数列，极限为 a₁；当d ≠ 0 时，数列的极限不存在。
3、等比数列对于等比数列{aₙ}，其通项公式为 aₙ ＝ a₁qⁿ⁻¹。
当|q| ＜ 1 时，lim(n→∞） aₙ ＝ 0；当 q ＝ 1 时，数列是常数列，极限为 a₁；当|q| ＞ 1 时，数列的极限不存在。
三、数列极限的计算方法1、利用定义计算直接根据数列极限的定义，通过分析数列的变化趋势来确定极限。
但这种方法往往比较复杂，在实际解题中不常用。
2、利用四则运算法则如果lim(n→∞） aₙ ＝ A，lim(n→∞） bₙ ＝ B，那么：（1）lim(n→∞）（aₙ ± bₙ) ＝ A ± B（2）lim(n→∞）（aₙ × bₙ) ＝ A × B（3）lim(n→∞）（aₙ ／ bₙ) ＝ A ／ B （B ≠ 0）在使用四则运算法则时，要注意先判断极限是否存在。
3、利用重要极限（1）lim(n→∞）（1 ＋1/n)ⁿ ＝ e（2）lim(n→∞）（1 ＋x/n)ⁿ ＝eˣ （x 为常数）这些重要极限在解题中经常会用到，需要牢记。
高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。
本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。
以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。
数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。
数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。
收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。
在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。
2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。
发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。
函数极限也分为收敛和发散两种情况。
1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。
同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。
左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。
2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。
无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。
通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。
三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。
当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。
这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。
综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。
通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。
高中数学中的数列与数列极限递推关系与极限计算技巧数列是高中数学中的重要概念之一，它不仅在数学中有着广泛的应用，也在实际生活中发挥着重要的作用。
数列极限是数列理论中的关键概念，对于数列的研究和计算有着重要的指导意义。
本文将介绍数列的基本概念、数列的递推关系以及数列极限的计算技巧。
1. 数列的基本概念数列是按照一定规律排列的一列数，通常用字母表示。
数列中的每一个数叫做数列的项，用an表示第n项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的通项公式是指可以通过一个数学公式来表示数列的任意一项的公式。
2. 数列的递推关系数列的递推关系是指数列中的每一项与前一项之间的关系。
递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。
常见的数列递推关系有等差数列和等比数列。
等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
数列的递推关系对于分析数列的性质和求解数列中的某一项具有重要的意义。
3. 数列极限的概念数列极限是数列理论中的关键概念之一。
当数列的项随着自变量的增大趋向于某一固定值时，称该固定值为数列的极限。
数列的极限有正无穷大、负无穷大和有限值三种情况。
数列极限的计算需要根据数列的特点和极限的定义来进行，常用的方法有夹逼定理、数列极限与函数极限的关系等。
4. 数列极限的计算技巧在计算数列的极限时，我们可以运用一些技巧来简化计算过程和加快计算速度。
（1）运用数列的性质：例如利用等差数列或等比数列的性质来进行计算，简化计算步骤。
（2）利用数列极限的性质：例如利用数列极限与函数极限的关系，将数列的极限转化为函数的极限进行计算。
（3）运用数列的递推关系：利用数列的递推关系，通过对数列进行递推和简化，找到数列极限的计算方法。
通过合理运用这些技巧，我们可以更加高效地计算数列的极限，减少出错的可能性。
总结：数列在高中数学中占据着重要的地位，数列的递推关系和极限计算是数列理论的重要内容。
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高中数学中的数列极限知识点总结数列是高中数学中的重要概念，而数列的极限是数学分析的核心内容之一。
我们在学习数列时，需要理解和掌握数列极限的相关概念和性质，以提升数学思维和解题能力。
本文将对高中数学中的数列极限知识点进行总结，并提供一些例题进行讲解。
1. 数列与数列极限的基本概念数列是由一列数按照一定规律排列而成的，可以用数学公式表示为 {an}，其中n表示序号，an表示第n项。
对于数列来说，我们常常关注的是数列的极限。
数列极限是指数列在无限项情况下逐渐接近的数值，可以用极限符号lim表示。
当数列的极限存在时，我们可以通过计算极限值来求解相关问题。
2. 数列极限的性质数列极限具有以下性质：(1) 唯一性：数列的极限值唯一，即一个数列只有唯一一个极限值。
(2) 有界性：如果数列有极限，那么它一定是有界的，即数列的项在某一范围内。
(3) 保号性：如果数列的极限值大于0（或小于0），那么数列的部分项也大于0（或小于0），反之亦然。
(4) 夹逼性：如果数列的每一项都被两个趋于相同极限的数列夹逼，那么它们的极限也相同。
3. 数列极限的计算方法在实际运用中，我们常常需要计算数列的极限。
对于一些简单的数列，我们可以通过常用的计算方法求解。
(1) 常数数列的极限等于该数列的常数项。
例如：数列 {an} = {2, 2, 2, ...} 的极限等于2。
(2) 等差数列的极限等于首项（a1）。
例如：数列 {an} = {1, 3, 5, ...} 的极限等于1。
(3) 等比数列的极限在一定条件下存在，存在时等于首项乘以公比（ |r| < 1）。
例如：数列 {an} = {2, 1, 0.5, ...} 的极限等于0。
4. 数列极限的收敛与发散数列极限可以分为收敛和发散两种情况。
(1) 收敛：如果数列的极限存在，我们称数列是收敛的。
(2) 发散：如果数列的极限不存在，我们称数列是发散的。
例如：数列 {an} = {1, -1, 1, -1, ...} 是发散的，因为其极限不存在。
专题三数列与极限【考点聚焦】考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列；考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题；考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n 项和的极限；考点4：数学归纳法【自我检测】1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。
3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。
4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4）分组转化法；（5）裂项相消法.【重点•难点•热点】问题1：等差、等比数列的综合问题“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值解法一 设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 , ),1(9114121a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n －1)）=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5, 故{lg a n }的前5项和最大解法二 接前，31,1081==q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg31为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0，∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5 5由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大点评 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。
注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.例2：已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1) 求f (x )的反函数f-－1(x )； (2) 设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由思路分析 (2)问由式子41121+=+nn a a 得22111nn a a -+=4,构造等差数列{21na },从而求得a n ,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想解 (1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =f －-1(x )=－214y+ (x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m 成立点评 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 着重考查学生的逻辑分析能力 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{21na }为桥梁求a n ,不易突破演变2：设xx f +=12)(1，定义2)0(1)0()],([)(11+-==+n n n n n f f a x f f x f ，其中n ∈N*.（1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）若,23223212n nna a a a T ++++= ,144422+++=n n nn Q n ，其中n ∈N*，试比较9nT 2与n Q 大小，并说明理由.点拨与提示：（1）找出数列｛a n ｝的递推关第，进而判断数列的类型；（2）根据特征，找出求和的匹配方法。
问题3：数列与解析几何。
数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解. 例3．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x .⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+n D n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ . 解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y把)1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y 。
32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n nn n k k k k k k 13221111-+++∴ )]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n 点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。
（1）、（2）两问运用几何知识算出n k .演变3．已知抛物线24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为14的直线交抛物线于点3P ，，如此继续，一般地，过点n P 作斜率为12n 的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ．（Ⅰ）令2121n n n b x x +-=-，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，试比较314n S +与1310n +的大小．点拨与提示：（1）由抛物线的方程和斜率公式得到221121111422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=⇒+=-，从而求出{}n b 的通项公式；（2）用数学归纳法证明.问题4、数列与不等式数列与不等式相联系的综合题也是常考题型，要注意把数列的逆推性与不等式问题的思考方法结合起来，联系分析，寻求解题思路. 例4：已知数列｛a n ｝满足251=a ，n n n a a a 221+=+（1）求证：2＜a n <3；（2）求证：)2(4121-<-+n n a a ；（3）limn →∞ n a . 思路分析：（1）从nn n a a a 221+=+递推式看，应该从数列归纳法入手；（2）可用证不等式的放缩法来求解. （1）①当n=1时，251=a ，2＜a 1 <3； ②设n=k 时，2＜a k <3，那么n=k+1时，02)2(221>-=-+kk k a a a 即a k+1>2，又2＜a k <3，所以0＜a k －2＜1,0＜(a k －2)2＜1，而2a k ＞4， 故a k+1-2<1，即a k+1<3， 由①②知2＜a n <3（2）由（1）知0＜a n －2＜1，2a n ＞4，∴)2(41222)2(221-<-<-=-+n n n n n n a a a a a a （3）∵0221<-=-+n n n n a a a a ，∴lim n →∞ n a ＝x, )22(lim lim 1n n n n n a a a +=∞→+∞→ 则x=x x 22+，又x>0，∴ x=2，即limn →∞ n a ＝2n n n n a a lim lim 1∞→+∞→=. 点评：解决数列中的不等式问题，通常考虑用不等式的有关证明方法。
（3）中应该注意到，若数列｛a n ｝的极限存在，则n n n n a a lim lim1∞→+∞→=演变4：已知函数)1(13)(-≠++=x x x x f ．设数列}{n a 满足11=a ，)(1n n a f a =+，数列}{n b 满足|3|-=n n a b ，++=21b b S n …)(*N n b n ∈+，(Ⅰ)用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ；(Ⅱ)证明 332-<n S ．考查运用数学归纳法解决有关问题的能力.专题小结1、“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果2、归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义．3、解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．4、数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．【临阵磨枪】一．选择题1．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．642．已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(）= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 3．已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 4 等比数列{a n }的首项a 1=－1，前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( )32 B. 32A.-C 2D －25．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．646．limn →∞2123nn ++++＝( )(A) 2 (B) 4 (C)21(D)0 7．已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1x A ．23B ．3C ．4D ．58．用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵.对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=⨯-⨯+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ ）A ．—3600B ．1800C ．—1080D ．—720二、填空题9 已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________10 等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________11．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 12 设z n =(21i -)n ，(n ∈N *)，记S n =｜z 2－z 1｜+｜z 3－z 2｜+…+｜z n +1－z n ｜，则lim ∞→n S n =_________三、解答题：12312312312312312313 已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a14 已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn T ∞→lim15（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑ 16 设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式 3tS n －(2t +3)S n －1=3t (t ＞0,n =2,3,4…)(1)求证 数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1=1,b n =f (11-n b )(n =2,3,4…)，求数列{b n }的通项b n ；(3)求和 b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +117．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n . 18．设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，nx 由以下方法得到：x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y＝x 2＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列． 参考答案：1．A 提示：由7916a a +=，得a 8=8，∴817844d -==-，∴a 12=1+8×74=15.2．C 提示：由题意得：d 2log log log 2222242++=,求得d=1，则n n a n =-+=-1)1(1)1(log 2，12,21-==-∴nn n n a a 即，又由n n n n n a a 21221111=-=-++所以n n n a a a a a a 212121*********+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-+=n n 211211)211(21-=--⋅所以.1)211(lim )111(lim 12312=-=-+⋅⋅⋅+-+-∞→+∞→n n n n n a a a a a a3．B 提示：由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知：数列{a n }是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=－.3故选B. 4 B 提示3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知：S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =21 ∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案 B5．A 提示：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)6．C 提示：2221(1)11212lim lim lim 22n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++⋅⋅⋅+===,选(C) 7．B 提示1：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．提示2：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ， 令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x x x n x n x ，∴31=x ，故选B .8．C 提示：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021-=⨯-⨯+⨯-⨯+-=+++b b b9 (－∞,8) 提示 解出a 、b ,解对数不等式即可 答案 (－∞,8)10 a 11=29 提示 利用S 奇/S 偶=nn 1+得解 答案 第11项a 11=29 11．－2 提示：由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n )=(1-q n+1)+(1-q n+2),即q 2+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2.12．1+22提示：,)22(|)21()21(|||111+++=---=-=n n n n n n i i z z c 设 22)22(1221])22(1[2121--=--=+++=∴nn n n c c c S ，221222221lim +=+=-=∴∞→n n S 13 解 ∵10S n =a n 2+5a n +6, ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6,解之得a 1=2或a 1=3.又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2),②由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1),即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 , ∴a n －a n －1=5 (n ≥2).当a 1=3时,a 3=13,a 15=73. a 1, a 3,a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时, a 3=12, a 15=72, 有 a 32=a 1a 15 , ∴a 1=2, ∴a n =5n －3.14 解 (1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a d a a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n + ② 由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1 ∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C nn (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C nn ) =32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 15 解 （I ）21114122333a S a ==-⨯+，解得：12a = ()2111144122333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++⇒+=+所以数列{}2n n a +是公比为4的等比数列所以：()111224n n n a a -+=+⨯得：42n nn a =- （其中n 为正整数）（II ）()()()1114124122242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪----⎝⎭所以： 1113113221212ni n i T +=⎛⎫=⨯-< ⎪--⎝⎭∑ 16 解 (1)由S 1=a 1=1,S 2=1+a 2，得3t (1+a 2)－(2t +3)=3t ∴a 2=tt a a t t 332,33212+=+ 又3tS n －(2t +3)S n －1=3t ，① 3tS n －1－(2t +3)S n －2=3t②①－②得3ta n －(2t +3)a n －1=0 ∴tt a a n n 3321+=-,n =2,3,4…, 所以{a n }是一个首项为1公比为tt 332+的等比数列； (2)由f (t )=tt 332+=t 132+,得b n =f (11-n b )=32+b n －1可见{b n }是一个首项为1，公差为32的等差数列 于是b n =1+32(n －1)=312+n ; (3)由b n =312+n ,可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和35，公差均为34的等差数列，于是b 2n =314+n ,∴b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－b 4b 5+…+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 =b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+…+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=－34 (b 2+b 4+…+b 2n )=－34·21n (35+314+n )=－94 (2n 2+3n )17．【解】（1）用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令, 又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nn n n n b a b 即.18．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),C 1：y=x 2-7x+b 1.设点P(x,y)是C 1上任意一点,则|A 1222221(1)(1)(7).x y x x x b -+=-+-+令f(x)=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2,则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+-由题意得,2()0f x '=,即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又P 2(x 2,0)在C 1上,∴2=x 22-7x 2+b 1解得x 2=3,b 1=14.故C 1方程为y=x 2-7x+14.(Ⅱ)设P(x,y)是C 1上任意一点,则|A n =令g(x)=(x-x n )2+(x 2+a n x+bn)2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++,由题意得,1()0n g x +'=,即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0,又∵2112n n n n n x a x b ++=++,∴(x n+1-x n )+2n (2x n+1+a n )=0(n ≥1),即(1+2n+1)x n+1-x n +2na n =0, (*) 下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ① 当n=1时,x 1=1,等式成立.② 假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)x k+1-x k +2ka k =0, (*)又a k =-2-4k-112k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-==++. 即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n ∈N +成立,∴{x n }是等差数列.【挑战自我】已知f(x)=(x-1)2，g(x)=4(x-1)，数列｛a n ｝满足a 1=2，(a n+1-a n )g(a n )+f(a n )=0。
