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13.2 数列的极限●知识梳理1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a|无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C=C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n=0（|q|＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，当∞→n lim a n =a, ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b;∞→n lim （a n ·b n ）=a ·b; ∞→n limn n b a =ba（b ≠0）. 特别提示（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n=0 ③∞→n lim n n nn 3232+-=－1 ④∞→n lim C=C （C 为常数） A.2 B.3C.4D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于 A.0 B.1C.2D.3解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］ =∞→n lim 22+n n=2. 答案:C 3.下列四个A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝AB.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n解析:排除法，取a n ＝（－１）n，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C4.（2005年春季上海,2） ∞→n limnn ++++ 212=__________.解析:原式=∞→n lim 2)1(2++n n n =∞→n lim 221212nn n ++=0.答案:05.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n nn =____________.解析:原式=∞→n lim23221nn -+=21. 答案:21【例1】 求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （n n +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n+…+22n n ）.剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim 757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52. （2）∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21. （3）原式=∞→n lim 22642n n ++++ =∞→n lim 2)1(n n n +=∞→n lim （1+n1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n2+n+7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：①∞→n lim （n n +2－n ）= ∞→n lim n n +2－∞→n lim n=∞－∞=0;②原式=∞→n limn n +2－∞→n lim n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim22n +∞→n lim 24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lga n ＝lga n －1＋lgc ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；（2）求∞→n lim 1122+-+-n n nn a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c c c c nn 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n cc 323211+---. ①当c=2时，原式＝－41; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c cc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 11)2(32)2(31--⋅+-n n c c c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l:x －ny=0（n ∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线ϕ:y=（x－1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim 22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim 22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d,则d 2=1)1(22+-n n .又r=1,∴|AB|2=4（1－d 2）=218nn+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n+1）x+n=0, ∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－n x 2）2=414n n +, ∴|CD|2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=41n（4n+1）（n 2+1）.∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225)1)(14(8++n n n =∞→n lim 2)11)(14(8nn ++=2. 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N*,a n 与a n+1恰为方程x 2－b n x+c n=0的两根,其中0＜|c|＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N*,a n ·a n+1=c n恒成立. ∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =n n a a 2+=n n cc 1+=c.又a 1·a 2=a 2=c.∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N*,a n +a n+1=b n 恒成立.∴n n b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c.又b 1=a 1+a 2=1+c,b 2=a 2+a 3=2c,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3. 解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练 夯实基础1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn can ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim acn c an ++22的值是A.2B.3C.21D.6解析:由∞→n lim c bn can ++=2,得a=2b.由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b=3c,∴c=31b. ∴ca=6. ∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22nac n c a ++=ca =6. 答案:D2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n=1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411 B.2417 C.2419 D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n nn n n n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n n n∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419 答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim 2)1(+n a n=__________________.解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n. ∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n =∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q=－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n－1）=38,则a 1=_________________. 解析:∵q=－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n+1=156+n ,n ∈N*,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.52 B.72 C.41 D.254解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n56]+a n .∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n+1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n+1=0.∴∞→n lim a n =0.答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N*）. （1）求{b n }的通项公式；（2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值.解:（1）n=1时，由（n －1）a n+1=（n+1）（a n －1）,得a 1=1.n=2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n.①当n=1时，a 1=2×12－1=1成立.②假设当n=k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n=k+1时，由（k －1）a k+1=（k+1）（a k －1）,得a k+1=11-+k k （a k －1） =11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k+1）（k －1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）. ∴当n=k+1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.（2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim ［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］ =41∞→n lim ［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 培养能力7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n lim n n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+n n b a 1）的值. 解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.又∞→n lim n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n+1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2.∴n n b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q,其中p ＞q 且p≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S . 解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a qq b p p a S S n n n n n n --+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜pq ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得.1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111q p q pb p p a qpq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim 1-n n S S=p. 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1-n n S S =qb p a qbp a -+--+-11111111=1.探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n .解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.∴a n －32=－21（a n －1－32）.∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32. ●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C=C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p=0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k ++=ca（k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n=0（|q|＜1）.●教师下载中心 教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有∞→n lim （q a +11－q n）=21,求首项a 1的取值范围.解: ∞→n lim （q a +11－q n）=21, ∴∞→n lim q n一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.当q=1时，21a －1=21,∴a 1=3.当0＜|q|＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q.∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21.综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.。
高考数学数列与极限专项训练（02）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列{}n a 中，122a a +=,3450a a +=，则公比q 的值为 （ ）A ．25B ．5C ．－5D ．±52．已知等差数列{}n a 中，6385a a a =+=，则9a 的值是（ ）A ．5B ． 15C ．20D ．253．给定正数,,,,p q a b c ,其中p q ≠,若,,p a q 成等比数列,,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+= （ ） A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根4．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（ ） A ．6SB ．11SC ．12SD ．13S5．设数列{}n a 为等差数列，且2447685622004,a a a a a a a ++=则等于 （ ）A ．501B ．±501 CD6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1m >，且211210,38m m m m a a a S -+-+-==，则m 等于（ ）A ．38B ．20C ．10D ．97．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（ ）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为 （ ） A ．7(1)a p + B ．8(1)a p +C ．7[(1)(1)]a p p p+-+D ．()()811ap p p +-+⎡⎤⎣⎦9．已知()1f x bx =+为x 的一次函数，b 为不等于1的常量，且()g n =1(0)[(1)],(1)n f g n n =-≥⎧⎨⎩, 设()()()1n a g n g n n N +=--∈，则数列{}n a 为（ ）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列10．已知log 2log 20a b >>,则lim n nn nn a b a b →∞+-的值为（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在第1个第2个12345768a a a a a a a a11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.46 1.15=1.61） （ ）A ．10%B ．16.4%C ．16.8%D ．20%12．已知323()(3)2,(3)2,lim 3x x f x f f x →-'==--则的值为（ ）A ．－4B ．8C ．0D ．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为 . 14．设数列{}n a 满足1236,4,3a a a ===,且数列1{}()n n a a n N *+-∈是等差数列，求数列{}n a 的通项公式 . 15．设()442xx f x =+，利用课本中推导等差数列前n 项和方法，求121111f f ++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭…1011f +⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块. （理）已知132n na ⎛⎫⎪⎝⎭=⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状； 记(,)A m n 表示第m 行，第n 列的项，则(10,8)A = .三、解答题（本大题共6小题，共74分。
数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1)1232k k T k +=++++=，若T ＝105，则K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n（II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S23tan(1)tan tan(3)tan3(1)tan1tan1n k k k n n +=+-+-=-=-∑安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2g ,则a a a 1210++=L （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15（7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+==+= ，故a a a 1210++=3⨯5=15L .故选A. 北京理11.在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则公比q =________；12||||||n a a a +++= ________.【解析】112a =，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- 。
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
高三数学数列极限试题答案及解析1.已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则= ．【答案】【解析】由题意得：，因此【考点】数列极限2.．【答案】【解析】．【考点】数列的极限．3.计算：．【答案】1【解析】这是“”型极限问题，求极限的方法是转化，分子分母同时除以化为一般的极限问题，．【考点】“”型极限.4.已知点列在直线上，P1为直线轴的交点，等差数列的公差为1 。
（1）求、的通项公式；；（2）若，试证数列为等比数列，并求的通项公式。
（3）．【答案】（1）（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）1【解析】（1）在直线∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1），又数列的公差为1（2）是以2为公比，4为首项的等比数列．（3）【考点】本题考查了数列的通项及前n项和点评：等差数列的通项公式及应用是数列的重点内容，数列的大题对逻辑推理能力有较高的要求，在数列中突出考查学生的理性思维，这是近几年新课标高考对数列考查的一个亮点，也是一种趋势．随着新课标实施的深入，高考关注的重点为等差、等比数列的通项公式，错位相减法、裂项相消法等求数列的前n项的和等等5.设,,则等于( ).A．B．C．或D．不存在【答案】B【解析】即.6.… =_______________【答案】【解析】,所以.7.数列中，则数列的极限值（）A．等于B．等于C．等于或D．不存在【答案】B【解析】解：因为数列中，，可知数列有规律，那么利用极限概念可知其项的值趋近于1，选B.8.计算．【答案】【解析】略9.数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查数列求和技巧及无穷等比数列各项和知识。
由an+an+1=（a1+a2+…+an） =10.数列的通项公式为，则A．1B．C．1或D．不存在【答案】B【解析】由数列的极限的定义可知，数列的极限与该数列的前有限项的值无关，所以故选择B11.设正数满足，则【答案】【解析】略12.。
高考数学数列的极限与收敛性选择题1. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，则数列的前n 项和Sn的通项公式为（）A. S_n = n^2 + 1B. S_n = 3n + 1C. S_n = 2n^2 + 3n + 1D. S_n = 2n^2 - 3n + 12. 数列{an}的通项公式为an=3n^2-2n+1，求数列的前n项和Sn。
3. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
4. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n 项和Sn。
5. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
6. 已知数列{an}是等比数列，且a1=2，公比q=3，求数列的前n 项和Sn。
7. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n/n，求数列的前n项和Sn。
8. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=1，求数列的前n 项和Sn。
9. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
10. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
11. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
12. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，求数列的前n项和Sn。
13. 已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n，求数列的前n项和Sn。
14. 已知数列{an}是等比数列，且a1=3，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
15. 已知数列{an}的通项公式为an=2^n，求数列的前n项和Sn。
16. 已知数列{an}是等差数列，且a1=1，公差d=2，求数列的前n项和Sn。
17. 已知数列{an}的通项公式为an=n^3，求数列的前n项和Sn。
18. 已知数列{an}是等比数列，且a1=4，公比q=2，求数列的前n项和Sn。
19. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2，求数列的前n项和Sn。
高中数列极限练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数列极限1.极限概念：一般地，当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数A （即n a A -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以A 为极限，或者说A 是数列{}n a 的极限。
（由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限）。
记法：lim n n a A →+∞=；读作：“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”； 注意：（1）}{n a 是无穷数列；（2）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的； （3）不是所有数列都存在极限；如：21,n a n n N *=-∈；2.极限第二定义：对于无穷数列{}n a ，若存在一个常数A ，对于任意小的正数ε，总存在自然数m N *∈，使得当n m >时，n a A ε-<恒成立，则称A 是数列{}n a 的极限。
说明：lim n n a A →+∞=的几何意义：从几何上看，数列{}n a 的极限为A ，是指以A 为中心的区间(,)A A εε-+，必然从某项1m a +起，后面的所有项都落在区间(,)A A εε-+之中。
换句话说，数列{}n a 至多有m 项123,,,...,m a a a a 落在区间(,)A A εε-+之外。
例1.求下列无穷数列极限：（1）数列 ,21,,161,81,41,21n ；（2）数列 ,1,,43,32,21+n n； （3）数列 ,)1(,,31,21,1nn---； 例2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1111,,,...,,...23n；（2）2,2,2,...,2,...----； （3）0.1,0.1,0.1,...,(0.1),...n ---； （4）11,2,4,8,16,...,2,...n -； （5）1,1,1,...,(1),...n ---；（6）3,........20102,.......20102010n n a n N n n n *≤⎧⎪=∈⎨>⎪-⎩解：（1）10limn n →∞=；（2）(2)2lim n →∞-=-； （3）(0.1)0lim n n →∞-=n )1.0(-＝0；（4）不存在；（5）数列{(1)}n -无极限；（6）lim 2n n a →+∞=；归纳：（1）0,lim n aa n→∞=为常数；（2）(1,1)0,lim n n q q →∞∈-=；1,lim n n q q →∞=-不存在；,1lim n n q q →∞==（3）,0lim n an b ac cn dc →∞+=≠+；2,0,lim n an b a c cnd →∞+≠+不存在；2,0,0limn an ba c cn d→∞+≠=+； 3.极限的运算法则：(i)设lim ,lim ,,,,n n n n a A b B m n N k C *→+∞→+∞==∈为常数。
数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．2024年高考数学专项突破数列大题压轴练（解析版）(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b-+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S为数列{}n a的前n项和，n T为S T+=．数列{}n S的前n项和，已知2n n(1)求证：数列{}n S是等比数列；(2)求数列{}n na的前n项和n A．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，24a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*sin 3()cos cos n n c N b b =∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+-．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2){}n a 为等比数列，理由见解析10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，则1112n n n a a q --==，（2）由第一问可知，不论条件为①还是②，都有数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330bb +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3nn b =(2)660【分析】（1）将14n n n S S a +=++移项作差可得{}n a 是等差数列，结合25a =可求出数列{}n a 的通项公式，将1,b q 代入等式计算，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）由2077a =可判断前20项中最多含有123,,b b b 三项，排除23b a =可确定前20项中14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT【答案】(1)1*(2)3n n a n -=⋅∈N ，()*)1(n b n n n =+∈N (2)()*)121(3n n T n n =+-∈N 【分析】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式作差即可得数列{}n a 的递推关系，即可求通项，最后验证1a 是否符合即可；数列{}n b 利用累乘法即可求，最后验证1b 是否符合即可；（2）由题，由等差数列的性质得()11n n n a a n c +-=+，即可求出n c 的通项公式，最后利用错位相减法求n T 即可【详解】（1）由132n n S S +=+可得12)3(2n n S S n -=+≥，两式相减可得13(2)n n a a n +=≥，故数列{}n a 从第3项开始是以首项为2a ，公比3q =的等比数列.又由已知132n n S S +=+，令1n =，得213+2S S =，即12132a a a +=+，得21226a a =+=，故123)2(n n a n -=⋅≥；又12a =也满足上式，则数列{}n a 的通项公式为1*(2)3n n a n -=⋅∈N ；16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}1,n n n a b b a a +=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC--=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：22211154b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则222121111111114223nb b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．⎫⎪⎪⎪28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n nb e+=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。
数列一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在数列2，5，22，11，…中，如果52是这个数列中的一项，那么它的项数是（ ）．A ．6B ．7C ．10D ．11（2）数列0，2，0，2，…的通项为n a ，下列公式不能作为已知数列的通项公式的是（ ）．A ．nn a )1(1-+= B ．2π)1(sin 22-=n a nC ．π)1cos(1+-=n a nD ．1)1(1--+=n n a（3）已知数列{n a }中，11=a ，32=a ，且*)()1(1221N ∈-=--++n a a a n n n n ，那么4a 等于（ ）．A ．365B ．21C ．17D ．10（4）n S 是数列}{n a 的前n 项和，且),3,2,1(log 3 ==n n S n ，那么数列}{n a （ ）． A ．是公比为3的等比数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公比为31的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列（5）等差数列}{n a 中，81073=-+a a a ，4411=-a a ，那么它的前13项和为（ ）． A ．168 B ．156 C ．78 D ．152（6）等比数列}{n a 中，0>n a ，且362867564=+++a a a a a a ，则75a a +等于（ ）． A ．6 B ．12 C ．18 D ．24 （7）数列}{n a 中，n n a n ++=11，若其前n 项和9=n S ，则n 等于（ ）．A ．9B ．10C ．99D ．100（8）若a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 成等差数列，n 是b ，c 的等差中项，则n cm a +的值为（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （9）数列}{n a 中，已知n a n 211-=，记||||||||321n n a a a a S ++++= ，那么等于（ ）．A ．25B ．50C ．100D ．150（10）等比数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且14=S ，38=S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）．A ．14B ．16C ．18D ．20 （11）在50到350之间的所有个位数字是1的整数的和为（ ）． A ．5 880 B ．5 539 C ．5 208 D ．4 877（12）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）．二、填空题：（13）n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且05=S ，729=S ，则++++13121110a a a a20a + ＝__________．（14）在10到2000之间形如*)(2N ∈n n 的各数的和为__________．（15）数列}{n a 中，1)97(+⋅=n n n a ，则此数列的最大项为__________．（16）已知数列}{n a 满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，那么数列}{n a 的前n 项和的公式为n S ＝__________．三、解答题：（17）在4与64之间插入三个正数a 、b 、c ，使4，a ，b 与b ，c ，64都成等比数列，且使a ，b ，c 成等差数列，求a 、b 、c 的值．（18）已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为n S ，5502=k S ． （Ⅰ）求a 和k 的值；（Ⅱ）求数列}1{n S 的前n 项和n T ．（19）数列}{n a 为正项的等比数列，它的前n 项和为80，前2n 项和为6 560，且在前n 项中数值最大的项为54．求这等比数列的首项1a 与公比q ．（20）已知α 、β 、γ 都是锐角，2tan 2tan3γα=，且2tan β ＝tan γ ，求证：α ，β ，γ 成等差数列．（21）在等比数列}{n a 中，1531=+a a ，前4项和为45．设3log )5(122+-=n n a n C ，试问数列}{n C 中有没有最小值？若有，求出这最小项，并指明项数；若没有，说明理由． （22）假设A 型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（Ⅰ）已知与A 型进口车性能相近的B 型国产车，2001年每辆价格为46万元．若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？（Ⅱ）某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买一辆按（Ⅰ）中所述降价后的B 型汽车？参考答案一、选择题：（1）B （2）D （3）A （4）D （5）B （6）A （7）C （8）C （9）B （10）B （11）A （12）B 提示：（1）给出数列的一个通项公式是13-=n a n ．令5213=-n ，得n ＝7．（3）在已知递推公式中令n ＝1，可得83=a ．再令n ＝2得3654=a ．（4）nn S 3=故31=a ，当n ≥2时，132-⋅=n n a ．（5）由已知可求得74=d ，7601=a ．（6）由已知可得36)1(22821=+q q a ．故6)1(241=+q q a ，而)1(24175q q a a a -=+． （7）n n a n -+=1，故11-+=n S n ．（8）由已知有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==.2,2,2c b n b a m ac b 消b 得（2m －a ）（2n －c ）＝ac ．（9）由2110211≤⇔≥-n n ．故当n ＝1，2，3，4，5时0>n a ，n ≥6时0<n a ．（10）由11)1(41=--q q a 、31)1(81=--q q a 可得31148=--q q ．故24=q ，11-=q a ．因此)1)(1)(1()1)(1(216216120191817q q q q q q q a a a a a ++-=++=+++ ＝16)1()()1)(1()(4442244=-=+-q q q q q ． （11）这些数可组成51为首项，341为末项的等差数列，且共有30个数．（12）n 层的正三角钢管垛总共用钢管数为2)1(+n n ，这里求使1002)1(≤+n n ，*N n ∈，且n 尽量大，经估算知n ＝19．二、填空题：（13）528 （14）2032 （15）54)97(4=a （16）)3(232n n +．提示：（13）n n S n 1022-=．所求为920S S -． （14）这些数组成以42为首项，2为公比，共7项的等比数列．（15）927)97(11n a a n n n -⋅=-++，故n ＝1，2，3时，n n a a >+1；n ≥4时，n n a a <+1． （16）由)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，则1321)1(32--++++n a n a a a ＝ （n －1）n （n ＋1）（n ≥2）．两式相减得()233≥+=n n a n ，且61=a ．于是)(33*Ν∈+=n n a n ． 三、解答题：（17）设a ＝b －d 、c ＝b ＋d ．则⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.64)(,4)(22b d b b d b 解得d ＝15． 代入可得0225342=+-b b ，故b ＝25，b ＝9（舍去）．于是a =10，b =25，c =40． （18）（1）依题意有3a ＋a ＝8，故a ＝2．于是等差数列前三项为2，4，6，其首项为2，公差为2．又由5502=k S ，得550222)1(2=⋅-+k k k ．解得k ＝50．（2）由（1）)1(22)1(2+=⋅-+=n n n n n S n ．111)1(11+-=+=n n n n S n ．1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=n nn n n T n ．（19）若q ＝1，则有n n S S 22=与题意不符，故q ≠1．于是依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--.56061)1(,801)1(211qq a q q a nn 两式相除，并化简可得081822=+-n n q q ．故81=n q 或1=n q （舍去）．由81=nq ，故q ＞1，所以数列}{n a 前n 项中，n a 最大，即54=n a ． 由5411==-n n q a a ，得q q a n 541=，即q a 54811=． 再把81=nq 代入801)1(1=--q q a n 中可得11-=q a ．由此解得21=a ，q ＝3．（20）βγγγγγγγαγαγαtan tan 212tan 12tan2tan 12tan2tan 2tan2tan12tan2tan 2tan243==-=-+=-+=+．且α 、β 、γ 均为锐角，故2π20<+<γα，2π0<<β，于是βγα=+2，即α ，β ，γ 成等差数列．（21）设等比数列}{n a 的公比为q ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+.45)1(,15)1(32121q q q a q a 解得⎩⎨⎧==.2,31q a ∴ 123-⋅=n n a ，nn a 21223⋅=+，225)25(21022log )5(22222--=-=-=n n n n C n n ．又*Ν∈n ，于是当n ＝2或3时，n C 最小，为－12．（22）（Ⅰ）因为2006年关税税款为2001年的41，故所减少的关税税款为244332=⨯（万元）．所以2006年A 型车价格64－24＝40（万元）．因为5年后B 型车价格应不高于A 型车价格的90%，故B 型车价格≤40×90%＝36（万元）．又2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所以平均每年至少降价2万元．（Ⅱ）依题意，2001年存入33万元，5年到期时连本带息可得5)811(33%.+⨯（万元）．而5)811(33%.+⨯＞33（1＋5×0.018＋10×0.000324）＝36.07692（万元）．因此，能买一辆依（Ⅰ）中所述5年后降价为36万元以下的B型车．数列的极限【教学目标】⒈认知目标①使学生加深对数列极限概念的理解.②掌握数列极限的四则运算法则及运用条件.③掌握求数列极限的一些常用方法.⒉能力目标①培养学生观察抽象能力与严谨推理的能力.②培养学生分析问题解决问题的能力.⒊情感目标①激发学生勇于克服困难勤于探索的精神.②培养学生严谨的学习态度，通过对问题转化培养辩证唯物主义观点. 【教学重点】运用数列的四则运算法则求数列的极限.【教学难点】求含参数的式子的极限时，要注意对参数值的分类讨论.【教学课型】复习课【教学过程】（一）数列极限概念的理解.学生课前练习：⑴已知Aann=∞→lim,则在区间()εε+-AA,外（ε为任意小的正常数）这数列{}n a的项数为（填“有限项”或“无穷项”）⑵下列命题正确的是（）①数列(){}31n-没有极限②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-nn21的极限为0③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A ①② B ②③④ C ①②③ D ①②③④ ⑶()BA b aB b A a n n n n n n n +=+==∞→∞→∞→lim lim ,lim 是的（ ）A 充分必要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分又不必要条件⑷ 212lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→n n r r ，则r 的取值范围是（ ） A －2121<<r B 21->r C 21>r D 1-<r （5）1312lim 22--+∞→n n n n 的值为（ ） A －21 B －32 C 21 D 32知识归纳：1) 数列{}n a 的极限定义：任给0>ε，存在N ＞0，当n>N 时，ε<-A a n 恒成立.记作Aa n n =∞→lim . 注意：①N 与ε有关.②Aa n n =∞→lim 的几何意义是当n>N 时，n a 对应的点全部落在区间()εε+-A A ,之内.2) 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，Bb n n =∞→lim .则① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .③ ()0,0lim≠≠=∞→B b B Ab a n n n n .注意：和与积必须是有限的。
第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法课题：数列的极限、数学归纳法一知识要点（一） 数列的极限1定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|A a n n =∞→lim lim nn a →∞lim nn b →∞lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞±=±lim()lim lim n n n nn n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n b b a b aS=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在数分别是0n =112322+++n n n nnn b ∞→lim122limnn na a a nb →∞+++na +222221lim()111n n n n n →∞-++++++)2(lim 2n n n n -+∞→nnn a a a a a a 24221lim ++++++∞→ 1)11(lim 2=--++∞→b an n n n lim()n n n A S n →∞-1(1,2,)n n S n S +=nn T ∞→lim n )31(1A 2A||||lim11n n n n n A A A A -+∞→)1,(,12131211>∈<-++++n N n n n 12)1(+n n n 131211++++ n 2131211++++ 22+n na a a a ,,,,321 nb b b b ,,,,321 nn n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,2)(1n a a n +b b b b 112101145=+++=，…a b n a n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪log 11131log a n b +nn S ∞→lim )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n nn n a 1S lim =∞→122321222)2221(lim -∞→+++++++n nn n n n C C C nn n S S 1lim+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n nn n S nalim ∞→nn n1i 1i i nS lim 则,a a 1∞→=+∑=nn a ∞→lim 9423lim=+-∞→nn n a a nn a ∞→lim 11)2(3)2(3lim+-∞→-+-+n n n n n )1n 2n1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ n876n 321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ n n nnn a a a a --∞→+-lim ••8100.0••810000.0nn n21)1(21211212121122⋅-+-+-++++nb)(11+：1212=1,与M 交于点A 、B ，L 与φ交于点C 、D ，求22||||lim CD AB n ∞→1)n(n 3221n +++⋅+⋅= n ＝1,2,3……,b 1)n(n a nn+= n ＝1,2,3……,用极限定义证明21lim =∞→n n b 85年练习（数学归纳法）1．由归纳原理分别探求：1凸n 边形的内角和fn= ; 2凸n 边形的对角线条数fn= ;3平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数fn=2．平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成fn 个区域，则fn1=fn3．当n 为正奇数时，求证nn被整除，当第二步假设n=2─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。
