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直线与平面垂直（三)——斜线在平面上的射影、直线与平面所成的角教学要求：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念。
2．根据概念先找直线射影后确定线面角，从而熟练求解直线和平面所成角。
3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等。
一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质:2．直线和平面的位置关系(直线在平面内、平行和相交)。
二、讲解新课:1．斜线、垂线、射影⑴垂线自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点。
斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
例１．（1）判断正误:①一条直线在平面上的射影一定是直线；()②两平行直线在同一平面内的射影是平行线;( ）③两相交直线在同一平面内的射影是相交直线;( ）④两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。
（）（２)①两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_______＿_____;②直线,a b在α上的射影是两条相交直线，则a与b的位置关系是____＿＿_＿＿＿＿＿__＿__＿；③两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线,则这两条直线的位置关系是___＿_＿_____＿_。
２．射影长相等定理从平面外同一点．．．．．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ⑴射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。
⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长。
⑶垂线段比任何一条斜线段都短。
如:⑴ O Ｂ=O Ｃ⇒A Ｂ=AC OB >ＯC ⇒ＡＢ>ＡC ；⑵ AB=AC ⇒OB=ＯC ＡＢ>A Ｃ⇒ＯB >ＯＣ;⑶ OA <A Ｂ,O Ａ<ＡC 。
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
