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第三章机器人运动学和动力学3.1 机械手运动的表示方法3.2 手爪位置和关节变量的关系3.3 雅可比矩阵3.4 手爪力和关节驱动力的关系3.5 机械手运动方程式的求解2019/3/812019/3/82第三章机器人运动学和动力学3.1机械手运动的表示方法3.1.1机械手的结构回转关节棱柱关节关节变量手爪姿态运动学2019/3/83图3.2 2自由度机械手的连杆机构3.1机械手运动的表示方法3.1.2机械手的机构和运动学手爪位置r;关节变量θ有：写为：运动学方程式。
2019/3/843.1机械手运动的表示方法3.1.2机械手的机构和运动学正运动学与逆运动学2019/3/85图3.3 2自由度机械手的逆运动学3.1机械手运动的表示方法3.1.2机械手的机构和运动学手爪力F与关节驱动力静态时的关系：静力学2019/3/86图3.4 手爪力和关节驱动力3.1机械手运动的表示方法3.1.3运动学、静力学、动力学的关系驱动力矩与关节位置关节速度、关节加速度的关系动力学2019/3/87图3.5 与动力学有关的各量3.1机械手运动的表示方法3.1.3运动学、静力学、动力学的关系2019/3/88图3.6 手爪力和关节驱动力3.1机械手运动的表示方法3.1.3运动学、静力学、动力学的关系ΣB基坐标系ΣE 手爪坐标系B p E ∈R 3x1:手爪坐标系原点在基坐标中的位置向量B R E ∈R 3x3:坐标变换矩阵2019/3/89图3.7 基准坐标系和手爪坐标系3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.1手爪位置和姿态的表示方法同一点P在两个坐标系中的坐标：假设：可写为：2019/3/810图3.8 两个坐标系和位置向量的分量3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.2姿态变换矩阵图3.8 两个坐标系和位置向量的分量B R A：姿态坐标变换阵有如下性质：2019/3/8113.2手爪位置和关节变量的关系3.2.2姿态变换矩阵两个坐标系中位姿关系：上式称为齐次变换矩阵2019/3/812图3.9 位置和姿态的变换3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换对二自由度机械手2019/3/813图3.10 齐次变换矩阵的计算3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换利用上式的确步骤：1）建立连杆坐标系，并用连杆长度和关节变量，求相邻坐标系的位姿关系2）求相邻坐标系的齐次变换矩阵；3）利用上式求总变换2019/3/814图3.10 齐次变换矩阵的计算3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换2019/3/815图3.10 齐次变换矩阵的计算3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换2019/3/816图3.10 齐次变换矩阵的计算3.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换2019/3/8173.2手爪位置和关节变量的关系3.2.3齐次变换图3.10 齐次变换矩阵的计算3.3雅可比矩阵3.3.1雅可比矩阵的定义机器人正运动学方程：，这里其中：n>m:冗余机器人2019/3/8183.3雅可比矩阵3.3.1雅可比矩阵的定义2019/3/819例：两自由度机械手的雅可比矩阵2019/3/8203.3雅可比矩阵3.3.1雅可比矩阵的定义图3.2 2自由度机械手的连杆机构2019/3/821图3.11 雅可比矩阵的物理意义3.3雅可比矩阵3.3.2关节速度和手爪速度的几何学关系2019/3/822图3.11 雅可比矩阵的物理意义3.3雅可比矩阵3.3.2关节速度和手爪速度的几何学关系2019/3/823图3.12 杠杆及作用在它两端上的力3.4手爪力和关节驱动力的关系3.4.1虚功原理手爪力关节驱动力2019/3/824图3.13 机械手的虚位移和施加的力3.4手爪力和关节驱动力的关系3.4.2机械手静力学关系式的推导2019/3/825图3.13 机械手的虚位移和施加的力3.4手爪力和关节驱动力的关系3.4.2机械手静力学关系式的推导3.4手爪力和关节驱动力的关系3.4.2机械手静力学关系式的推导图3.14 求生成FA或FB的驱动力2019/3/8262019/3/827图3.15 平移运动作为回转运动的解析3.5机械手运动方程式的求解3.5.1惯性矩绕一端旋转惯性矩绕重心旋转惯性矩28图3.16 a.绕杆一端回转的惯性矩I；b.绕重心旋转的惯性矩Iab3.5机械手运动方程式的求解3.5.1惯性矩2019/3/82019/3/829图3.17 刚体的运动3.5机械手运动方程式的求解3.5.2牛顿-欧拉方程式2019/3/830图3.18 1自由度机械手3.5机械手运动方程式的求解3.5.2牛顿-欧拉方程式2019/3/831图3.18 1自由度机械手3.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式Lagrange方程T:系统动能；q j:广义坐标；Q j :对应于广义坐标的广义力当主动力为势力时，方程变为：L:Lagrange函数2019/3/8323.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式当主动力中有非势力时：Q j :为非势的广义力当含有粘性阻尼时，方程变为：，Φ：瑞利耗散函数2019/3/8333.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式例：图示为振动系统方程1.动能2.势能2019/3/8343.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式3.耗散函数拉格朗日函数2019/3/8352019/3/8362019/3/8372019/3/838图3.18 1自由度机械手3.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式第三章机器人运动学和动力学2019/3/8392019/3/8402019/3/841图3.19 2自由度机械手3.5机械手运动方程式的求解3.5.3拉格朗日运动方程式第三章机器人运动学和动力学2019/3/8422019/3/8432019/3/8442019/3/8452019/3/8462019/3/8472019/3/8482019/3/8492019/3/850。
第3章工业机器人静力计算及动力学分析第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析章节题目：第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析[教学内容 ]3.1工业机器人速度雅可比与速度分析3.2工业机器人力雅可比与静力计算3.3工业机器人动力学分析[教学安排 ]第3 章安排6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45 分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30 分钟，机器人力雅可比30 分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60 分钟，关节空间和操作空间动力学30 分钟。
通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
[知识点及其基本要求]1、工业机器人速度雅可比（掌握）2、速度分析（掌握）3、操作臂中的静力（掌握）4、机器人力雅可比（掌握）5、机器人静力计算的两类问题（了解）6、拉格朗日方程（熟悉）7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解）8、关节空间和操作空间动力学（了解）[重点和难点 ]重点： 1、速度雅可比及速度分析2、力雅可比3、拉格朗日方程4、二自由度平面关节机器人动力学方程难点： 1、关节空间和操作空间动力学[教学法设计 ]引入新课：至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。
机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。
新课讲解：第一次课第三章工业机器人静力计算及动力学分析3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析一、工业机器人速度雅可比y1 f 1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：y2f2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )，可写成 Y=F(X) ，y6f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )dy 1f 1dx 1f 1dx 2f 1dx 6x 1x 2x 6将其微分，得： dy 2f 2dx 1f 2dx 2f 2 dx 6 ，也可简写成 dY Fdx 。
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
第3章工业机器人运动学和动力学概要工业机器人运动学和动力学概要工业机器人是现代工业生产中的重要设备之一，它通过精确的运动控制来实现各种复杂的操作，如搬运、装配和焊接等。
在实际应用中，了解工业机器人的运动学和动力学是至关重要的。
本文将介绍工业机器人运动学和动力学的概要，以便读者对其有一个全面的了解。
1. 运动学概述工业机器人的运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及到坐标系的定义、机器人臂的关节角度、位置和姿态的表示等内容。
1.1 坐标系的定义工业机器人常用的坐标系有世界坐标系、基坐标系和工具坐标系。
世界坐标系是一个固定不变的参考系，用来描述物体在整个工作区域内的位置。
基坐标系是机器人臂的起始位置的参考系，它通常位于机器人基座上。
工具坐标系是机器人末端执行器的参考系，它用于描述机器人进行任务时末端执行器的位置和姿态。
1.2 关节角度、位置和姿态的表示工业机器人的姿态可以用欧拉角、四元数或旋转矩阵表示。
关节角度表示机器人各个关节的角度值，它反映了机器人臂的当前状态。
位置表示机器人末端执行器的空间位置，可以用笛卡尔坐标系或关节坐标系表示。
2. 动力学概述工业机器人的动力学研究机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它涉及到力学模型、运动方程和运动控制等内容。
2.1 力学模型工业机器人的力学模型是描述机器人在运动过程中所受到的力和力矩的数学模型。
常用的力学模型有刚体模型和柔性模型。
刚体模型假设机器人的各个部件都是刚性的，柔性模型考虑了机器人部件的弯曲和振动等变形情况。
2.2 运动方程工业机器人的运动方程用来描述机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它由动力学方程和约束方程组成。
动力学方程描述机器人关节角度、速度和加速度之间的关系，约束方程描述机器人末端执行器的位置和姿态。
2.3 运动控制工业机器人的运动控制是指通过控制机器人的电机和执行器来实现机器人的预定运动轨迹。
常用的运动控制方法有逆运动学、轨迹规划和力控制等。
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
4*1列阵中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。
图3.2中，矢量的方向用4*1列阵可表达为矢量所坐落的点O为坐标原点，可用4*1列阵表示为4.动坐标系位姿的描述在机器人坐标系中，运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系。
动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述，现以下述实例说明之。
(1连杆的位姿表示机器人的每一个连杆均可视为一个刚体，若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间上是唯一确定的，可用唯一一个位姿矩阵进行描述。
设有一个机器人的连杆，若给定了连杆PQ上某点的位置和该连杆在空间的姿态，则称该连杆在空间是完全确定的。
如图所示，O为连杆上任一点，OXYZ为与连杆固接的一个动坐标系，即为动系。
连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置可用一齐次坐标表示为图3.1 连杆的位姿表示连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。
令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位矢量，各单位方向矢量在静系上的分量为动系各坐标轴的方向余弦，以齐次坐标形式分别表示为由此可知，连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：例3.1图中表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB = 2，YB = 1，ZB = 0。
在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的4 4矩阵表达式。
解X B的方向列阵Y B 的方向列阵Z B的方向列阵坐标系{B}的位置阵列图3.2 动坐标系{B}的位姿表示则动坐标系{B}的4 4矩阵表达式为(2手部的位姿表示机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示，如图3.3所示。
坐标系{B}可以这样来确定；取手部的中心点为原点O B；关节轴为Z B 轴，Z B轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为Y B轴，Y B轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；X B轴与Y B轴及Z B轴垂直，X B轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n = o a，指向符合右手法则。
图3.3 手部的位姿表示手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢量为n、o、a。
于是手部的位姿可用4 4矩阵表示为图3.4 抓握物体Q的手部例3.2图3.4表示手部抓握物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体，写出表达该手部位姿的矩阵表达式。
解因为物体Q形心与手部坐标系OXYZ的坐标原点O相重合，则手部位置的 41列阵为手部坐标系X轴的方向可用单位矢量n来表示：n：，，，，同理，手部坐标系Y轴与Z轴的方向可分别用单位矢量o和a来表示：o：，，a：，，根据式(1.8可知，手部位姿可用矩阵表示为(3目标物位姿的描述如图3.5所示，楔块Q在图3.5(a所示位置，其位置和姿态可用8个点描述，矩阵表达式为若让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot(Z，–90°表示，再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0表示，则楔块成为图3.5(b所示的情况。
此时楔块用新的8个点来描述它的位置和姿态，其矩阵表达式为图3.5 目标物的位置和姿态描述3.1.2 齐次变换和运算受机械结构和运动副的限制，在工业机器人中，被视为刚体的连杆的运动一般包括平移运动、旋转运动和平移加旋转运动。
我们把每次简单的运动用一个变换矩阵来表示，那么，多次运动即可用多个变换矩阵的积来表示，表示这个积的矩阵称为齐次变换矩阵。
这样，用连杆的初始位姿矩阵乘以齐次变换矩阵，即可得到经过多次变换后该连杆的最终位姿矩阵。
通过多个连杆位姿的传递，我们可以得到机器人末端执行器的位姿，即进行机器人正运动学的讨论。
1. 平移的齐次变换如图3.6所示为空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x, y, z平移至A′(x′, y′, z′, 即或写成图3.6 点的平移变换记为: a′=Trans(Δx, Δy, Δza其中,Trans(Δx, Δy,Δz称为平移算子,Δx、Δy、Δz分别表示沿X、Y、Z轴的移动量。
即:注: ①算子左乘: 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。
②算子右乘: 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。
③该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换, 如机器人手部的平移变换。
2．旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图3.7所示。
A(x, y, z绕Z轴旋转θ角后至A′(x′, y′, z′,A与A′之间的关系为：推导如下:因A点是绕Z轴旋转的, 所以把A与A′投影到XOY平面内, 设OA=r, 则有同时有其中, , 即所以即由于Z坐标不变, 因此有写成矩阵形式为记为: a′=Rot(z, θa其中, 绕Z轴旋转算子左乘是相对于固定坐标系, 即同理，图3.8所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况。
kx、k y、k z分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且k2x+k2y+k2z=1。
可以证明, 其旋转齐次变换矩阵为：注: ①该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。
反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k及转角θ。
②变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。
③左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。
图3.8 点的一般旋转变换例3.3已知坐标系中点U的位置矢量U=[7 3 2 1]T，将此点绕Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变换后所得的点W。
图两次旋转变换解3.1.3 工业机器人的连杆参数和齐次变换矩阵1. 连杆参数及连杆坐标系的建立以机器人手臂的某一连杆为例。
如图3.9所示,连杆n两端有关节n和n+1。
描述该连杆可以通过两个几何参数: 连杆长度和扭角。
由于连杆两端的关节分别有其各自的关节轴线,通常情况下这两条轴线是空间异面直线, 那么这两条异面直线的公垂线段的长an即为连杆长度，这两条异面直线间的夹角αn即为连杆扭角。
图 3.9 连杆的几何参数如图3.10所示，相邻杆件n与n-1的关系参数可由连杆转角和连杆距离描述。
沿关节n轴线两个公垂线间的距离即为连杆距离；垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角即为连杆转角。
这样, 每个连杆可以由四个参数来描述,其中两个是连杆尺寸, 两个表示连杆与相邻连杆的连接关系。
当连杆n旋转时, θn随之改变, 为关节变量,其它三个参数不变;当连杆进行平移运动时,dn随之改变, 为关节变量,其它三个参数不变。
确定连杆的运动类型, 同时根据关节变量即可设计关节运动副,从而进行整个机器人的结构设计。
已知各个关节变量的值, 便可从基座固定坐标系通过连杆坐标系的传递, 推导出手部坐标系的位姿形态。
建立连杆坐标系的规则如下:①连杆n坐标系的坐标原点位于n+1关节轴线上,是关节n+1的关节轴线与n 和n+1关节轴线公垂线的交点。
②Z轴与n+1关节轴线重合。
③X轴与公垂线重合;从n指向n+1关节。
④Y轴按右手螺旋法则确定。
连杆参数与坐标系的建立如表3.1所示。
表3.1 连杆参数及坐标系连杆的参数名称含义正负性质转角连杆n绕关节n的轴的转角右手法则关节转动时为变量距离连杆n绕关节n的轴的位移沿正向为正关节移动时为变量长度沿方向上连杆n的长度与正向一致尺寸参数，常量扭角连杆n两关节轴线之间的扭角右手法则尺寸参数，常量连杆 n的坐标系OnXnYnZn原点On 轴Xn 轴Yn 轴Zn位于关节n+1轴线与连杆n两关节轴线的公垂线的交点处沿连杆n两关节轴线之公垂线，并指向n+1关节根据轴Xn、Zn按右手法则确定与关节n+1轴线重合2．连杆坐标系之间的变换矩阵建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系之间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。
从n-1系到n系得变换步骤如下：(1 令n-1系绕Zn-1轴旋转角，使Xn-1与Xn平行，算子为Rot(z, 。
(2 沿Zn-1轴平移dn，使使Xn-1与Xn重合，算子为Trans(0,0,dn。
(3 沿Xn轴平移a n，使两个坐标系原点重合，算子为Trans(a n,0,0。
(4 绕Xn轴旋转角，使得n-1系与n系重合，算子为Rot(x, 。
该变换过程用一个总的变换矩阵An来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对于动系进行的，因此在运算中变换算子应该右乘。
于是连杆n的齐次变换矩阵为：实际上，很多机器人在设计时，常常使某些连杆参数取得特别值，如使或90度，也有使dn=0或a n=0，从而可以简化变换矩阵An的计算，同时也可简化控制。
